方麗菁， 盧衛(wèi)君， 黃文鈞

（廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530006）

曲率撓率的估計(jì)算法及其工藝嵌入

方麗菁， 盧衛(wèi)君， 黃文鈞

（廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530006）

幾何處理和計(jì)算機(jī)視覺的很多應(yīng)用依賴于幾何性質(zhì)，尤其是曲線的曲率和撓率。論文對非參數(shù)化的曲線提出了曲率和撓率的離散估計(jì)公式，以及消除噪音干擾的加權(quán)因子算法。還通過Maple程序，篩選統(tǒng)計(jì)出常見曲線的部分曲率和撓率參考值，提出理想曲率的大致范圍和理想撓率的大致范圍，并考慮嵌入到特定的工藝品中實(shí)驗(yàn)。

曲率估計(jì)算法；撓率估計(jì)算法；理想的曲率和撓率；工藝嵌入

曲線的幾何性質(zhì)是幾何處理中著重采掘的特性，它們直接導(dǎo)致在機(jī)械視覺[1]和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[2]的應(yīng)用。在平面的情形，許多應(yīng)用基于區(qū)域的曲率性質(zhì)，比如曲線逼近[3]，幾何壓縮[2]，尤其是Attneave在早期文獻(xiàn)后興起的角點(diǎn)檢測[4]。在三維空間情形，蘊(yùn)含重要性質(zhì)的曲率和撓率允許我們描述一條空間曲線如何彎曲和扭曲，因?yàn)榍时碚髑€在平面里的彎曲程度，而撓率表征曲線脫離既定平面的扭曲程度。曲率和撓率估計(jì)問題，一些學(xué)者已陸續(xù)提出些方法: Mokhatarian的高斯光滑法，通過撓率公式進(jìn)行撓率估計(jì)[5]；Kehtarnavaz的B-樣條技術(shù)[6]；Lewine的加權(quán)最小二乘擬合技術(shù)[2]；Raluben Medina提出的傅里葉變換法和最小二乘擬合法[7]，估計(jì)曲線上每一點(diǎn)的曲率值和撓率值。這些方法可應(yīng)用于醫(yī)學(xué)成像的動脈描述。文獻(xiàn)[8]提出一種新穎的辦法，基于空間曲線的局部幾何參數(shù)化，將曲線分解成若干極大模糊片段的離散幾何結(jié)論[9-11]擴(kuò)充到 3D離散型的曲率和撓率估計(jì)量。本文給出了3D曲線的一種離散的曲率和撓率估值公式，并參考文獻(xiàn)[2, 8]兩種算法以達(dá)到精度要求和消除噪音。此外我們通過對現(xiàn)有常見的曲線，通過Maple程序，篩選統(tǒng)計(jì)出比較理想的曲率和撓率參考值及對應(yīng)一些特殊曲率和撓率的曲線圖庫，提出理想曲率大致范圍在 0.0～2.0之間，理想撓率大致范圍在-0.5～0.5之間。我們嘗試?yán)美硐肭屎蛽下史秶L制些帶有特定曲率值或撓率值的近似曲線，希望嵌入到特定的工藝品中，以便對比實(shí)際效果。

1 曲線的曲率和撓率算法

正則曲線 r( t)的曲率和撓率有以下相應(yīng)的計(jì)算公式[12-13]

命題 1 對于未知參數(shù)表示的曲線C，在其上任取依次相鄰的4個點(diǎn) P1,P2,P3,P4。那么在點(diǎn)P2的近似曲率和在點(diǎn) P3的近似撓率分別由下面式子給出

證明：設(shè) P1T1, P2T2,P3T3分別是過點(diǎn)P1,P2和P3的切線，l(Pi,Pj)表示沿C從 Pi到 Pj的弧長。假設(shè) l(P1,P2) = l(P2,P3)=Δs ，

注意到 Δs→ 0時， Δ? → 0，我們有

于是得到點(diǎn) P2的曲率近似估計(jì)為（3）。

由于在 P3處的撓率表征了兩個密切平面Δ P1P2P3和 Δ P2P3P4之間相對于弧段 P2P3的偏離程度，記 Δψ 為這兩個密切平面的法向量P1P2×P2P3與 P2P3×P3P4的夾角，則有這樣我們得到點(diǎn) P3的撓率近似估計(jì)（4）。

以上給出的算法也許比較粗糙，為達(dá)到一定的精度要求，我們可以通過多點(diǎn)估值加以平均化。

2 曲率和撓率加權(quán)估計(jì)算法[2,8]

對于空間輪廓曲線 r(t) =(x (t),y(t),z(t ))，假定它是至少 C3的正則曲線，但 x(t),y(t),z(t)并未已知。不妨假定 P0=r( 0)， P0與鄰接的2q個點(diǎn)組成一個抗噪音區(qū)間 {P?q,P?q+1,…,P0,… ,Pq?1,Pq}。由于 r( t)在 t= 0處的Taylor展式為

根據(jù)曲率公式（1）和撓率公式（2），只要求解出3個未知量r0′ =r′ (0),r0′ =r′ (0),r0′=r0′ ′(0)，就可計(jì)算出近似曲線r1(t)在 t= 0處的曲率 k1(0)和撓率τ1(0)，進(jìn)一步可計(jì)算出原曲線 r( t)在 t= 0處的曲率 k (0)和撓率τ( 0)。容易驗(yàn)證 k (0) = k1(0)，τ( 0) = τ1(0)。有些文獻(xiàn)為了計(jì)算方便，直接取在本文我們采用加權(quán)因子算法。

2.1 曲率加權(quán)估計(jì)的算法

首先考慮通過加權(quán)最小二乘法得到 r0′ = r′(P0), r0′ =r′ (P0)的估計(jì)，然后根據(jù)（1）及曲率不依賴坐標(biāo)選取便得到曲率的估值。計(jì)算 r0′ ,r0′的分量x0′,x0′,y0′,y0′,z0′和 z0′，充分利用 P0點(diǎn)鄰近的2 q+1個點(diǎn) {P?q,P?q+1,… ,Pq}共同參與計(jì)算，以有效地消除了噪聲干擾。

點(diǎn) Pi的權(quán)重 wi必須是正數(shù)，且相對于(si為從點(diǎn) P0到點(diǎn) Pi的弧長)成反比例關(guān)系。例如，考慮加權(quán)因子的形式為 w= αexp(? β s2)/sk或簡單

i ii取wi= 1。令 Δlk表示向量 PkPk+1的長度，k=?q,? q +1,… ,q ，則si可以由（ i＞0）和來估計(jì)。

其次，由式(5)～(7)得到 r( t)在 P0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)估計(jì)r0′,r0′，（1）給出曲率估計(jì)。

2.2 撓率加權(quán)估計(jì)的算法

假定P0=r( 0)，遵循文獻(xiàn)[2]的方法，找出x0′,x0′和 x′(0 )使得x?分量加權(quán)方差函數(shù)

的逆矩陣解得，這里新的量

類似地，考慮 y0′ ,y0′ ,y0′和 z0′,z0′z0′分別對應(yīng)的y?分量和z?分量加權(quán)最小二乘方程

這樣通過加權(quán)最小二乘方程組（8）～（10），得到 r( t)在 P0點(diǎn)的一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)估計(jì)r0′,r0′,r0′，（2）給出撓率估計(jì)。

血清HDL-C水平反映了遺傳和環(huán)境因素間的相互作用，據(jù)研究報(bào)道，50%以上人類HDL-C水平的變異由遺傳因素所引起［4］。DNA甲基化是一種可遺傳性的、與心腦血管危險(xiǎn)因素相關(guān)的可修飾的表觀遺傳標(biāo)記，而且人類基因組約70%的CpG位點(diǎn)存在甲基化。脂質(zhì)代謝的調(diào)控基因眾多，本研究的目的是識別與血清脂質(zhì)水平相關(guān)的DNA甲基化差異位點(diǎn)。本研究通過在新疆維吾爾族、哈薩克族、漢族自然人群中的研究發(fā)現(xiàn)，新疆維吾爾族、哈薩克族老年低高密度脂蛋白膽固醇血癥可能與RANK基因甲基化率變異有關(guān)，RANK基因甲基化率增高可能是低高密度脂蛋白膽固醇血癥的危險(xiǎn)因素。

算法1實(shí)現(xiàn)撓率的估計(jì)，提供了估計(jì)曲率、撓率及3個基本向量的一種方法。知道了3個基本向量，我們便于以它們?yōu)樾碌淖鴺?biāo)標(biāo)架，畫出近似曲線 r1(t)，具體見第4節(jié)。

Algorithm 1 Estimate torsion for space curves算法1 空間曲線的撓率估計(jì)1: call Set 3D Weighted Least Squares Variables; 2: call SOLVE■■■■■ ′′′■■■■■■■■■ ′ ′ ′■■■■■■■ ′ ′ ′■■= aaaxyz aaaxyz aaaxyz 124000 235000 456000■bbb bbb bbb■■■■xyz xyz xyz ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2 ,3 ,3 ,3■■3: k = r′ ×r′ r′ ; 3 4: r r r r r ; 5: τ =′×′?′ ′×′′() 2 T r r ; 6: ( ) =′′N r rTT; 7: =′? ′?N N N; 8: B = T ×N; =

3 由初始的曲率值和撓率值畫出近似曲線

如果給定了某未知曲線的自然方程，即曲率函數(shù)和撓率函數(shù)，那么根據(jù)曲線論基本定理，我們通過Frenet公式得到這條曲線滿足的常微分方程組

看作向量形式的 12個未知實(shí)函數(shù)，弧長s ∈ [a,b]，任意給定的初始值 r0,t0,n0,b0滿足r( s)=r0, t( s) =t0, n (s0) =n0, b (s0)=b0且t0,n0,b0為右手系、單位正交。一般來說，這樣的微分方程組的求解過程是比較困難，但有些時候即使不存在顯式解，但其數(shù)值解也能產(chǎn)生一個解曲線。由于近十多年來計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的發(fā)展，一般我們也可以做到這一點(diǎn)。比如運(yùn)用Maple解給定曲率和撓率函數(shù)的微分方程組（11），其相關(guān)程序可參見文獻(xiàn)[12]，可以得到相應(yīng)的解析曲線，進(jìn)而繪制出曲線。

現(xiàn)實(shí)中我們碰到且感興趣問題，多數(shù)并不是給定一定區(qū)域內(nèi)的曲率和撓率函數(shù)，而是隨機(jī)或離散的輸入特定的初始曲率值和撓率值，這樣的曲線如何繪制出來？我們結(jié)合文獻(xiàn)[13]相關(guān)思想整合出下面命題。

命題 2 給定兩個數(shù) κ0＞ 0,τ0，則存在一條空間三次曲線

使得在參數(shù) s= 0處它的曲率和撓率分為κ( 0)=κ0和τ ( 0)= τ0。

繪制給定曲率值和撓率值的局部近似曲線（12），我們可以先繪制它在 3個坐標(biāo)平面的投影曲線圖[13]，然后合成為空間 R3中的曲線。

4 理想的曲率和撓率的工藝嵌入

4.1 理想的曲率和撓率變動區(qū)間

對于一些常見的曲線，我們通過Maple程序（見[12]）計(jì)算下述一些特定曲線在某些特殊點(diǎn)的曲率和撓率

等。經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析這些常見曲線的曲率撓率數(shù)據(jù)，得出曲線比較理想的曲率和撓率的取值范圍：理想曲率大致范圍在 0.0～2.0之間，理想撓率大致范圍在-0.5～0.5之間。

這里所謂的理想是指幾何外形的光滑和順眼即美觀問題[14]。比如按鼻子的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，理想的鼻梁形態(tài)是在睜眼時重瞼線的高度開始到鼻尖形成溫柔的曲線輪廓（見圖1）。理想的鼻尖曲率半徑為8～12毫米，8毫米以下、12毫米以上均不理想，亦即鼻尖的理想曲率為0.0833～0.125之間。又如DNA超螺旋線的曲率撓率, 有人給出了兩組曲率和撓率的特殊值(κ,τ)=(1.998,0.0132)和(κ,τ)= (7.9854,0.2139)[15]；還有人通過采樣計(jì)算得到羊毛纖維形的平均曲率為 0.64mm?1，平均撓率為 0.09mm?1[16]。

至于這些數(shù)據(jù)的精度還有待進(jìn)一步通過更多的曲率撓率數(shù)據(jù)庫以及實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的反饋來修正。

圖1 鼻梁輪廓線的美學(xué)對比

4.2 嵌入實(shí)例

我們的目標(biāo)或想法，建立一定量的曲率和撓率大致理想的范圍，以及它們相應(yīng)的曲線段圖像，根據(jù)工藝的特性和我們預(yù)備賦予的幾何表現(xiàn)力，粘貼上帶有特定的曲率撓率曲線加以改良。對于一些物件，如垃圾桶、裝飾鐘、瓶子、水龍頭、TOTO小便斗、凳子、簡易衣架等，考慮在某些局部上采用挖補(bǔ)匹配的手法嵌入這樣具有理想的曲率和撓率的輪廓線，從而構(gòu)建出新穎的曲撓造型。

我們想做幾個實(shí)驗(yàn)：

實(shí)驗(yàn) 1 按曲率0.0833～0.125在指定的人臉上構(gòu)建鼻梁，特別是鼻梁的輪廓線，變換幾種模型，供矯正者選擇。通過曲線方程（12）輸入τ0= 0,κ0= 0.0833～0.125之間的幾個數(shù)，容易得到所謂理想的鼻梁輪廓線（如圖2）。

圖2 帶有理想曲率的鼻梁輪廓線

實(shí)驗(yàn) 2 輸入 κ0在0.0～2.0之間的若干數(shù)值，及τ0取-0.5～0.5之間的數(shù)值，通過方程（12）看哪些局部生成的曲線跟下面的扭曲長椅圖3吻合，嵌入特定點(diǎn)處的曲率和撓率值的片段曲線加工整合出新型的扭曲長椅, 這樣的扭曲長椅置于戶外，為陌生的人提供不同的空間，誰也不用礙著誰。

圖3 扭曲的長椅

5 結(jié)論與展望

我們想開展的工作，建立曲率和撓率局部圖庫，結(jié)合帶有加權(quán)的曲率撓率估計(jì)算法，通過近似曲線，實(shí)現(xiàn)在特定工藝的某些局部作嵌入曲率和撓率的手術(shù)，使其更加突出包裝的性能，更富有觀賞性。由于設(shè)備和技術(shù)上的問題，我們的嵌入實(shí)驗(yàn)還不是很成熟。此外，我們同樣碰到紋理圖像分割處理的困難[17]，如何將圖像中屬于同一種紋理的像素映射為相似的矢量，進(jìn)一步將矢量映射為類別標(biāo)號，實(shí)現(xiàn)從特征集合到分割結(jié)果的轉(zhuǎn)化，局部上如何做些小手術(shù)嵌入我們希望的曲率和撓率。這些棘手的問題，我們正考慮采納顧險(xiǎn)峰和丘成桐等提出的紋理映射方法來探索[18]。

[1] Poyato A C, Garc?a N L F, Carnicer R M, et al. A method for dominant points detection and matching 2d object identification [C]//ICIAR, 2004, 1: 424-431.

[2] Lewiner T, Gomes J, Lopes H, et al. Curvature and torsion estimators based on parametric curve fitting [J]. Computers & Graphics, 2005, 29(5): 641-655.

[3] Salmon J P, Debled-Rennesson I, Wendling L. A new method to detect arcs and segments from curvature profiles [C]//ICPR , 2006, 3: 387-390.

[4] Attneave E. Some informational aspects of visual perception [J]. Psychol. Rev. 1954, 61(3): 183-193.

[5] Mokhtarian F. A theory of multiscale, torsion-based shape representation for space curves [J]. Computer Vision and Image Understanding, 1997, 68: 1–17.

[6] Kehtarnavaz N D, de Figueiredo R J P. A 3d contour segmentation scheme based on curvature and torsion [J]. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1988, 10: 707-713.

[7] Medina R, Wahle A, Olszewski M E, et al. Curvature and torsion estimation for coronary-artery motion analysis [C]// SPIE Medical Imaging, 2004, 5369: 504-515.

[8] Phuong Nguyen T, Rennesson I D. Curvature and torsion estimators for 3D curves [C]//Proceedings of ISVC, 2008, 1: 688-699.

[9] Debled-Rennesson I, Feschet F, Rouyer-Degli J. Optimal blurred segments decomposition of noisy shapes in linear time [J]. Computers & Graphics, 2006, 30(1): 30-36.

[10] Feschet F, Tougne L. Optimal time computation of the tangent of a discrete curve. Application to the curvature[C]//DGCI. 1999, 1568: 31-40.

[11] Coeurjolly D, Svensson S. Estimation of curvature along curves with application to fibres in 3d images of paper [C]//Scandinavian Conference on Image Analysis, Springer LNCS, Springer-Verlag LNCS. 2003, 2749: 247–254.

[12] John Oprea. Differential Geometry and Its Applications (Second Edition) [M]. Prentice Hall/Pearson, 2005: 1-36, 47-50.

[13] 陳維桓, 微分幾何[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2006: 23-56.

[14] 王國瑾, 汪國昭, 鄭建民. 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)[M].北京: 高等教育出版社, 海德堡: 施普林格出版社, 2001: 341-359.

[15] El Hassan M A, Calladine C R. Curvature and torsion of infinitely repeating DNA sequences: a geometric investigation [J]. Mathematical Physical and Engineering Sciences, 1997, 453(1957): 365-386.

[16] Marsh C, Tsang B, Wilkins A. Free wool-fibre shapes [J]. AUTEX Research Journal, 2003, 3(4): 153-159.

[17] 馮大淦. 基于特征的紋理圖像分割技術(shù)研究[D].西安: 西北工業(yè)大學(xué), 2006.

[18] Wang L, Gu X, Yau S T. Uniform texture synthesis and texture mapping using global parameterization [J]. The Visual Computer, 2005, 21(8-10): 801-810.

Estimate algorithms and embedded crafts of curvature and torsion

Fang Lijing, Lu Weijun, Huang Wenjun
( College of Mathematics and Computer Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi 530006, China )

Many applications of geometry processing and computer vision rely on geometric properties of curves, particularly their curvatures and torsions. This paper proposes some methods to estimate the curvature and the torsion, based on some algorithms for weighted least-squares fitting and local arc-length approximation in order to eliminate noises. By Maple procedure, statistical analysis of some selected common curves is carried out to get partial values of their curvatures and torsions, and then an approximate interval about ideal curvatures and ideal torsions is put forward. Furthermore, several test models for embedding specific ideal curvature or ideal torsion in crafts are taken into account.

curvature estimation algorithm; torsion estimation algorithm; ideal curvature and torsion; embedded craft

O 186.11; TP 391.72

2095-302X (2012)02-0009-05

2011-09-30

廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（桂科基0448019）

方麗菁（1960-），女，廣西南寧人，副教授，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代微分幾何。