夏長俊，顧文錦，楊秀霞

（海軍航空工程學(xué)院 a．飛行器工程系；b．控制工程系，山東 煙臺 264001）

大型、輕質(zhì)柔性臂空間機(jī)器人可以降低發(fā)射成本，增大機(jī)械臂操作的有效負(fù)載；同時增大了機(jī)械臂的操作空間，使空間機(jī)器人可以在更加廣闊的太空空間內(nèi)作業(yè)。但是，大型柔性臂空間機(jī)器人在進(jìn)行空間作業(yè)時，機(jī)械臂結(jié)構(gòu)會發(fā)生惱人的低頻振動，給空間機(jī)械臂定位以及運動規(guī)劃帶來很多困難。在空間機(jī)器人領(lǐng)域的研究大多是針對剛性臂空間機(jī)器人的，不考慮機(jī)械臂臂桿柔性對空間機(jī)器人作業(yè)任務(wù)的影響。在剛性臂空間機(jī)器人運動學(xué)建模方面，Z.Vafa 和S.Dubowsky[1]提出了虛擬機(jī)械臂VM(Virtual Manipulator)的概念；Y.Umetani 和K.Yoshida[2]根據(jù)線動量守恒和角動量守恒方程，提出了反映空間機(jī)器人工作空間與關(guān)節(jié)空間運動速度關(guān)系的廣義雅可比矩陣 GJM(Generalized Jacobian Matrix)；K.Yamada 和 K.Tsuchiya[3]，R.Mukherjee 和 Y.Nakamura[4]，Y.Yokokohji 和T.Toyoshima[5]等人采用不同的方法推導(dǎo)出GJM；GJM 成功地用于空間機(jī)器人的分解速度控制以及轉(zhuǎn)置雅可比控制，已經(jīng)成為描述空間機(jī)器人運動的重要理論基礎(chǔ)。在空間機(jī)器人軌跡規(guī)劃方面，T.Suzuki 和Y.Nakamura[6]提出空間機(jī)器人螺旋運動路徑規(guī)劃方法；Y.Nakamura 和R.Mukherjee[7]對自由漂浮空間機(jī)器人系統(tǒng)的非完整動力學(xué)性質(zhì)作了分析和利用，并應(yīng)用Lyapunov 方法進(jìn)行機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的路徑規(guī)劃。對剛性臂空間機(jī)器人的運動學(xué)建模以及軌跡規(guī)劃問題的研究，都是在解決空間機(jī)器人運動過程中的動量守恒問題、空間機(jī)器人本體和機(jī)械臂運動的耦合問題以及空間機(jī)器人的非完整約束問題。

對柔性臂空間機(jī)器人的研究多數(shù)是從動力學(xué)的角度出發(fā)[8-10]，解決柔性臂的跟蹤控制及振動抑制問題，很少從運動學(xué)角度研究柔性臂空間機(jī)器人，也鮮有從運動學(xué)角度出發(fā)對柔性臂空間機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，主要原因是柔性臂空間機(jī)器人的運動學(xué)建模以及軌跡規(guī)劃既要解決剛性臂空間機(jī)器人具有的上面3 個問題，還要解決機(jī)械臂連桿的彈性變形問題。空間機(jī)器人的柔性機(jī)械臂是一個無窮維的分布參數(shù)系統(tǒng)，考慮臂桿柔性的系統(tǒng)運動學(xué)方程非常復(fù)雜，很難將描述臂桿彈性變形的振動模態(tài)變量與機(jī)械臂關(guān)節(jié)的剛性轉(zhuǎn)角變量解耦。因此，建立柔性臂空間機(jī)器人的運動學(xué)模型必須用新的方法來描述柔性連桿彈性變形的運動變量。

文獻(xiàn)[11]中，T.Shimizu 等人提出了一種描述柔性機(jī)械臂連桿彈性變形的方法，他們利用柔性機(jī)械臂連桿末端的彎曲變形量以及變形角度作為運動變量，很好地描述了地面固定基座柔性機(jī)械臂的運動。本論文利用T.Shimizu 描述柔性連桿彈性變形的方法，建立大型柔性臂空間機(jī)器人的運動學(xué)模型，并為空間機(jī)器人的作業(yè)進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

1 柔性臂空間機(jī)器人的結(jié)構(gòu)

圖1 柔性臂空間機(jī)械人結(jié)構(gòu)模型

柔性臂空間機(jī)器人為搭載了具有柔性特征機(jī)械臂的航天器，圖1 為具有一般性意義的結(jié)構(gòu)模型。該空間機(jī)器人包括1 個剛性航天器本體，2 個柔性機(jī)械臂，每個柔性機(jī)械臂包括2 個柔性連桿和2 個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，機(jī)械臂的末端各有一個具有集中質(zhì)量的負(fù)載。

為方便討論，本文所用到的坐標(biāo)系及符號定義如下：

∑I為慣性坐標(biāo)系；∑0為空間機(jī)器人本體坐標(biāo)系；∑i0為本體坐標(biāo)系∑0平移到第i個機(jī)械臂的第1個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處的坐標(biāo)系；∑ij( 1≤i≤ 2，1≤j≤ 2)為第i個機(jī)械臂的第j個連桿的固連坐標(biāo)系；∑ije為第i個機(jī)械臂的第j個連桿的末端坐標(biāo)系；為空間機(jī)器人本體質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系∑I內(nèi)的位置；θ0(t)為空間機(jī)器人本體質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系∑I內(nèi)的姿態(tài)角；wij(xij,t)為柔性連桿Linkij在坐標(biāo)xij和時間t時的橫向應(yīng)變；w'11e為連桿Link11末端的切向量在坐標(biāo)系∑11中的轉(zhuǎn)角；w'21e為連桿Link21末端的切向量在坐標(biāo)系∑21中的轉(zhuǎn)角；θij(t)為機(jī)械臂關(guān)節(jié)電機(jī)Motorij在時間t時的剛性轉(zhuǎn)角。

柔性連桿上任一點的彈性變形wij(x,t)是無窮多個僅與x有關(guān)的振型模態(tài)函數(shù)Wk(x)和僅與t有關(guān)的簡諧振動函數(shù)δk(t)乘積的疊加。在實際應(yīng)用中，一般取有限項的和，保留適當(dāng)?shù)恼裥湍B(tài)，可以得到較高的精度，所以wij(x,t)可寫為

式中，N為所取的振型模態(tài)數(shù)。

2 柔性臂空間機(jī)器人的運動學(xué)方程

2.1 位置運動學(xué)方程

式中，R表示坐標(biāo)變換矩陣。

機(jī)械臂2 的末端在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的位置為

構(gòu)造一個向量Ire，其包含機(jī)械臂1 和機(jī)械臂2的末端位置方程，則可得出柔性臂空間機(jī)器人的末端位置運動學(xué)方程：

它表示機(jī)械臂柔性變形的廣義坐標(biāo)。則，

式(5)表明，柔性臂空間機(jī)器人機(jī)械臂末端位置既是空間機(jī)器人本體位置和姿態(tài)的函數(shù)，又是機(jī)械臂剛性轉(zhuǎn)角和柔性變形的函數(shù)，對其求導(dǎo)，得

式中，

是函數(shù)f的雅可比矩陣。

2.2 柔性臂空間機(jī)器人動量守恒

不考慮軌道動力學(xué)情況下，自由漂浮空間機(jī)器人所受的合外力為0。因此，空間機(jī)器人的線動量及角動量(動量矩)保持守恒。

1)線動量守恒?？臻g機(jī)器人總的線動量是空間機(jī)器人本體動量、連桿 Link11的動量、連桿Link12的動量、機(jī)械臂1 末端負(fù)載的動量、連桿Link21的動量、連桿Link22的動量以及機(jī)械臂2 末端負(fù)載的動量的和。假設(shè)空間機(jī)器人系統(tǒng)在初始時刻的線動量為0，系統(tǒng)的動量守恒方程可表示為

2)動量矩守恒。假設(shè)空間機(jī)器人系統(tǒng)在初始時刻的動量矩為0，系統(tǒng)的動量矩守恒方程可表示為

2.3 基于廣義雅可比矩陣的微分運動學(xué)方程

聯(lián)合式(8)和(9)，可得：

即，

H1是空間機(jī)器人的質(zhì)量慣量矩陣，可逆。變換式(11)為

式(12)顯示了自由漂浮狀態(tài)下柔性臂空間機(jī)器人本體位姿與機(jī)械臂剛性轉(zhuǎn)角和柔性變形量之間的運動速率關(guān)系。把式(12)代入式(6)，可得柔性臂空間機(jī)器人基于廣義雅可比矩陣的微分運動學(xué)方程：

至此表明，式(13)表示了更具有一般性意義的空間機(jī)器人運動學(xué)模型，它包含了臂桿柔性因素對空間機(jī)器人末端位置運動的影響，剛性臂空間機(jī)器人運動學(xué)方程只是它的一個特殊形式。

3 柔性臂空間機(jī)器人軌跡規(guī)劃

如果空間機(jī)器人在完成任務(wù)的過程中，要求機(jī)械臂的末端嚴(yán)格按照直角坐標(biāo)空間內(nèi)期望的軌跡運動，則對這類任務(wù)的運動規(guī)劃就是直角坐標(biāo)連續(xù)軌跡規(guī)劃。

自由漂浮模式下的空間機(jī)器人連續(xù)軌跡規(guī)劃，就是規(guī)劃機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的運動，控制機(jī)械臂末端跟蹤期望的軌跡。

假設(shè)期望空間機(jī)器人末端按如下軌跡變化：

假設(shè)末端軌跡連續(xù)可微，可以對末端軌跡進(jìn)行微分(對于分段可微函數(shù)，可以采用適當(dāng)?shù)倪^渡軌跡)，即：

則期望的關(guān)節(jié)角為

柔性臂空間機(jī)器人的連續(xù)軌跡規(guī)劃中，考慮了柔性臂的彈性振動對機(jī)械臂末端位置的影響，這將使規(guī)劃的機(jī)械臂關(guān)節(jié)運動能夠補(bǔ)償柔性臂彈性振動對機(jī)械臂末端位置的影響。但是，基于速度級運動學(xué)的軌跡規(guī)劃方法，有時會受雅可比矩陣奇異的影響。雅可比矩陣的奇異性不僅依賴系統(tǒng)的運動學(xué)參數(shù)，還依賴于動力學(xué)參數(shù)，即與系統(tǒng)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)，所以稱空間機(jī)器人機(jī)械臂的運動奇異為動力學(xué)奇異[12]。在軌跡規(guī)劃及運動控制中，避免雅可比矩陣奇異的方法有奇異值分解法、阻尼最小方差法等[13-14]。

4 軌跡規(guī)劃仿真分析

4.1 仿真方法與流程

空間機(jī)器人機(jī)械臂末端軌跡的表示方法有多項式法、B 樣條函數(shù)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等多種方法，本文采用5 次多項式的方法來表示：

對式(19)進(jìn)行求導(dǎo)，可得空間機(jī)器人機(jī)械臂末端運動速率。在規(guī)劃了機(jī)械臂末端運動軌跡及運動速率的條件下，對第1 節(jié)敘述的柔性臂空間機(jī)器人進(jìn)行連續(xù)軌跡規(guī)劃仿真。

仿真程序使用MATLAB functions 文件編寫，程序流程是由時間驅(qū)動，時間步長為1×10?3s，也就是柔性臂桿振動的采樣頻率為1×103Hz。仿真中使用3 階振動模態(tài)來近似柔性臂的彈性振動，計算得柔性臂的第3 階振動模態(tài)固有頻率為17.7 Hz，振動采樣頻率滿足香農(nóng)采樣定理。

在滿足計算精度要求的情況下，程序中的積分運算都采用歐拉法，這樣既簡化了程序，又加快了仿真運算速度。采用阻尼最小方差法來解決雅可比矩陣奇異時的規(guī)劃。仿真程序流程如圖 2 所示。

圖2 仿真程序流程圖

4.2 仿真結(jié)果分析

仿真中，柔性雙臂空間機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定如下：

空間機(jī)器人本體質(zhì)量m0= 1 ×104kg，本體繞質(zhì)心慣量I0= 1 ×105kg ?m2。

4 個機(jī)械臂連桿的幾何質(zhì)量參數(shù)相同。臂桿長度L= 8m，質(zhì)量密度ρA=50kg/m，抗彎剛度EI= 1 × 1 06N ?m2，振動模態(tài)及頻率可以通過計算得出。

仿真計算得出了空間機(jī)器人2 個機(jī)械臂的4 個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角位置，如圖3 所示。從圖中觀察，規(guī)劃的機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角連續(xù)、光滑。機(jī)械臂若按照圖3 所示的關(guān)節(jié)位置運動，機(jī)械臂末端準(zhǔn)確沿著規(guī)劃的軌跡運動，機(jī)械臂末端位置并沒有因為臂桿的彈性振動而發(fā)生振動，如圖4、圖5 所示。對規(guī)劃的機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角做離散傅里葉變換，得出機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的幅頻特性曲線，如圖6 所示。通過關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的幅頻特性曲線，發(fā)現(xiàn)規(guī)劃的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角運動有振動現(xiàn)象，且振動頻率是機(jī)械臂柔性連桿的固有頻率，由此表明，機(jī)械臂連續(xù)軌跡規(guī)劃通過關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的振動運動補(bǔ)償了柔性連桿的固有振動對機(jī)械臂末端位置的振動影響，使機(jī)械臂的末端嚴(yán)格按照規(guī)劃的軌跡運動，也實現(xiàn)了抑制機(jī)械臂末端位置振動的效果。

圖3 2 個機(jī)械臂的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角

圖4 1 號機(jī)械臂末端位置

圖5 2 號機(jī)械臂末端位置

圖6 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的幅頻特性

由于在規(guī)劃過程中，沒有對空間機(jī)器人本體姿態(tài)及質(zhì)心位置做限制，空間機(jī)器人本體姿態(tài)及質(zhì)心位置在規(guī)劃的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角運動的作用下發(fā)生運動，其運動如圖7、8 所示。

圖7 空間機(jī)器人本體姿態(tài)

圖8 空間機(jī)器人本體質(zhì)心位置

5 結(jié)論

空間機(jī)器人機(jī)械臂末端的精確定位既受到機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的影響，又受到空間機(jī)器人本體位姿及機(jī)械臂柔性因素的影響，而這3 個因素又是相互耦合的?；谶\動學(xué)模型的柔性臂空間機(jī)器人軌跡規(guī)劃可以綜合3 個因素對柔性臂末端位置的影響，特別是考慮了機(jī)械臂桿彈性振動對機(jī)械臂末端位置的影響，使柔性臂的末端準(zhǔn)確沿著期望的軌跡運動。本文的仿真表明，規(guī)劃的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角振動運動補(bǔ)償了柔性連桿的固有振動對機(jī)械臂末端位置的振動影響，使機(jī)械臂的末端嚴(yán)格按照期望的軌跡運動。

本文建立的柔性臂空間機(jī)器人“雙廣義雅可比矩陣”形式的運動學(xué)模型比單純的剛性臂空間機(jī)器人廣義雅可比矩陣更具有一般性意義，它不僅適用于柔性臂空間機(jī)器人，而且也適用于剛性臂空間機(jī)器人、剛性臂和柔性臂結(jié)合的空間機(jī)器人。以柔性臂空間機(jī)器人運動學(xué)模型為基礎(chǔ)，可以對柔性臂空間進(jìn)行振動分析、軌跡規(guī)劃等研究，柔性臂空間機(jī)器人運動學(xué)模型的建立，為從運動學(xué)角度研究柔性臂空間機(jī)器人提供了理論基礎(chǔ)。

[1] VAFA Z, DUBOWSKY S. On the dynamics of manipulators in space using the virtual manipulator approach[C]//Proceedings 1987 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Raleigh, NC, USA, 1987∶579-585.

[2] UMETANI Y, YOSHIDA K. Resolved motion rate control of space manipulators with generalized jacobian matrix[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1989,5(3)∶303-314.

[3] YAMADA K, TSUCHIYA K. Efficient computation algorithms for manipulator control of a space robot[J]. Transactions of the Society of Instrument and Control Engineers, 1990,26(7)∶765-772.

[4] MUKHERJEE R, NAKAMURA Y. Formulation and efficient computation of inverse dynamics of space robots[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992,8(3)∶400-406.

[5] YOKOKOHJI Y, TOYOSHIMA T, YOSHIKAWA T. Efficient computational algorithms for trajectory control of free-flying space robots with multiple arms[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1993,9(5)∶571-580.

[6] SUZUKI T, NAKAMURA Y. Planning spiral motion of nonholonomic space robots[C]//Proceedings of the 1996 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Minneapolis∶ USA, 1996∶718-725.

[7] NAKAMURA Y, MUKHERJEE R. Exploiting nonholonomic redundancy of free-flying space robots[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1993,9(4)∶499-506.

[8] 洪在地, 贠超, 陳力. 柔性臂漂浮基空間機(jī)器人建模與軌跡跟蹤控制[J]. 機(jī)器人, 2007,29(1)∶92-96.

[9] 王從慶, 張承龍. 自由浮動柔性雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)建模與抑振控制[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2007, 26(2)∶192-196.

[10] 洪昭斌, 陳力. 柔性空間機(jī)械臂基于奇異攝動法的魯棒跟蹤控制和柔性振動主動控制[J]. 工程力學(xué), 2010,27(8)∶191-197.

[11] SHIMIZU T, SASAKI M, OKADA T. Tip position control of a two links flexible manipulator based on the dynamic extension technique[C]//SICE Annual Conference 2007. Japan∶ Kagawa University, 2007∶ 868-873.

[12] PAPADOPOULOS E, DUBOWSKY S. Dynamic singularities in free-floating space manipulators[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1993,115∶44-52.

[13] 顧曉勤, 劉延柱. 空間機(jī)械臂動力學(xué)奇點與回避[J]. 宇航學(xué)報, 1998,19(4)∶32-36.

[14] 吳劍威, 史士財, 劉宏. 自由飄浮空間機(jī)器人笛卡爾避奇異運動規(guī)劃[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報, 2009,37 (11)∶5-8.