劉 楊,徐淑琴,董麗麗,王云鶴
(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與建筑學(xué)院哈爾濱150030;2.中國農(nóng)業(yè)科學(xué)院農(nóng)田灌溉研究所,河南新鄉(xiāng)453003)
降水是自然界水循環(huán)的一個環(huán)節(jié),如能有效干預(yù)降水,對于防洪抗旱,指導(dǎo)生產(chǎn)都是有益處的。到目前為止,有多種方法對降雨量進(jìn)行擬合和預(yù)測,時間序列分析是其中的一種,對時間序列的研究起源于Yule(1927)[1],他提出建立自回歸(AR)模型;Walker(1931)[2]在AR模型啟發(fā)下,建立了滑動平均(MA)模型和自回歸滑動平均(ARMA)混合模型,初步奠定了時間序列分析方法的基礎(chǔ);Box和Jenkins (1970)[3]提出了一套比較完善的建模理論,使時間序列方法迅速發(fā)展起來。本文將采用時間序列分析方法對查哈陽地區(qū)1956—2008年的作物生育期月降雨量進(jìn)行擬合預(yù)測,探求該地區(qū)的作物生育期的降雨量變化規(guī)律,為合理制定灌溉制度,節(jié)約用水,為當(dāng)?shù)氐乃Y源可持續(xù)發(fā)展具有重要的深遠(yuǎn)的意義。
降雨量時間序列模型可由下列形式疊加表示為:
式中:Ht為降雨量;ft為趨勢變化項;pt為周期變化項;xt為隨機(jī)干擾項。
1.2.1 趨勢變化項的確定
趨勢項f(t)表示為:
對于(2)式可以采用回歸分析的方法求出系數(shù)c0,c1,c2,…ck和階數(shù)k,具體求解方法可借用Excel軟件中現(xiàn)成的回歸分析模板來實現(xiàn)[4]。為檢驗擬合結(jié)果,需要計算趨勢曲線擬合的相關(guān)系數(shù)R,若無最佳擬合函數(shù)則認(rèn)為無趨勢項或趨勢項不顯著[5]。
1.2.2 周期變化項的確定
趨勢函數(shù)確定后,再對扣除趨勢分量后的部分Yt進(jìn)行周期項分析,對周期項采用諧波分析方法[6,7]分析提取。對序列Yt,可用L個波疊加的形式表示為:
式中:L為諧波個數(shù),取n/2的整數(shù)部分;k為諧波序號,k=1,2,…,L;ak,bk為傅立葉系數(shù),其計算式為:
1.2.3 隨機(jī)干擾項的確定
消除了趨勢項和周期項后,得到隨機(jī)項時間序列,對于平穩(wěn)的隨機(jī)成分x(t),我們可以用線性平穩(wěn)隨機(jī)模型來表示它的統(tǒng)計特征,可以考慮建立AR(p)模型[8]。一般自回歸模型表示為:
式中:p為模型階數(shù),求解方法是對偏相關(guān)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析,采用AIC準(zhǔn)則[6-7]確定。φi為模型自回歸系數(shù),i=0,1,2,…,p。φi可采用尤爾-沃爾克估計法,應(yīng)用MATLAB求解。
式中:μ為均值,求出ε1,ε2,ε3,...εn,計算其自相關(guān)系數(shù)r1(ε),r2(ε),r3(ε),...rk(ε)。通過計算統(tǒng)計量:(ε)則Q漸近服從自由度(m-p-q)的x2分布。若Q<x2(0.05),則εt為相互獨立的假定可以接受。
查哈陽灌區(qū)始建于1939年,是我國東北地區(qū)四大灌區(qū)之一,根據(jù)查哈陽農(nóng)場1956—2008年每年的作物生育期(5—9月)降雨量觀測資料,對該地區(qū)降雨量變化進(jìn)行模擬,并預(yù)測未來發(fā)展趨勢,對農(nóng)場合理開發(fā)利用水資源具有重要的意義。查哈陽農(nóng)場1956—2008年作物生育期的月降雨量變化情況如圖1所示。
根據(jù)上述建模方法,利用Excel軟件中現(xiàn)成的回歸分析模板來實現(xiàn),趨勢項模型為:
f(x)=-0.0001t2+0.0221t+82.813 R=0.02
經(jīng)對各個諧波方差檢驗,達(dá)到顯著水平的諧波只有1,112號。各諧波方差貢獻(xiàn)率分別為30.92%和3.24%,其F統(tǒng)計量分別為58.6450與4.3882,均大于Fα=3.05,達(dá)到顯著水平。故提取第1、112個諧波建立周期項模型:周期項變化圖形見圖2所示。
圖1 1956—2008年查哈陽農(nóng)場月降雨量變化曲線圖
圖2 1956—2008年查哈陽農(nóng)場月降雨量周期項變化曲線圖
2.3.1 x(t)正態(tài)性檢驗[9-11]
2.3.2 根據(jù)偏相關(guān)分析確定模型階數(shù)
根據(jù)偏相關(guān)圖初步定AR模型階數(shù)p=14,選定k=3,5,14,利用AIC準(zhǔn)則進(jìn)一步識別模型階數(shù)是否合適。AIC(13) =2104.3;AIC(14)=2101.8;AIC(15)=2103;根據(jù)AIC準(zhǔn)則確定模型階數(shù)p=14為最好。
2.3.3 AR模型檢驗
主要檢驗殘差ε項是否獨立。采用自相關(guān)系數(shù)綜合檢驗法,經(jīng)過計算,統(tǒng)計量265,顯著水平 α=0.05時,查 χ2表得,故εt是相互獨立的假定可以接受。
獨立隨機(jī)序列εt的正態(tài)性檢驗:Cs(ε)=1.126,方差=0.5574×103,均值為-0.1069。該序列為εt~(0,0.1489)的正態(tài)分布。
因此,隨機(jī)項模型:x(t)=D(t)+ε(t)=0.1336xt-3+ 0.2136xt-5+0.1520xt-14+ε(t)εt~(0,0.1489),隨機(jī)變化項圖形見圖3。
將趨勢項、周期項、隨機(jī)項疊加,就得到降雨量變化時間序列預(yù)測模型,即
應(yīng)用時間序列模型對查哈陽農(nóng)場1956—2008年作物生育期的月降雨量序列進(jìn)行擬合,見圖4所示,從圖4可以看出,建立的降雨量時間序列模型擬合效果較好。計算模型的平均相對誤差為2.35%,后驗差比值C=0.0235,小誤差頻率p=1,擬合準(zhǔn)確率1,滿足精度要求,該模型可應(yīng)用于預(yù)報該地區(qū)未來降雨量。運用該模型預(yù)測未來3 a(2009—2011)中5—9月的月降雨量,預(yù)測曲線見圖5所示。
1)選擇53 a的查哈陽農(nóng)場月降雨量觀測資料進(jìn)行分析,通過對序列趨勢項、周期項、隨機(jī)項的識別和提取,建立降雨預(yù)測模型。從擬合曲線圖形上可以看出資料的序列越長,建立的模型其代表性也就越好,預(yù)報精度也越高,是一種很好的模擬預(yù)測模型,該模型能夠反映該地區(qū)降雨量變化規(guī)律,對于預(yù)測未來年份降雨的豐枯狀況、水資源量的大小以及洪澇等方面都有重要的意義。同樣也為評價當(dāng)?shù)厮Y源利用效率提供資料,為管理和規(guī)劃當(dāng)?shù)氐乃Y源提供了可靠的依據(jù)。
2)在模型的應(yīng)用過程中,確定有效諧波數(shù)L和自回歸模型階數(shù)P是建模的關(guān)鍵,應(yīng)經(jīng)反復(fù)計算,選擇使模擬殘差達(dá)到最小的L和P。
圖3 1956—2008年查哈陽農(nóng)場月降雨量隨機(jī)變化項圖
圖4 1956—2008年月降雨量時間序列模型擬合曲線
圖5 查哈陽農(nóng)場未來3 a 5—9月月降雨量預(yù)測曲線
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