尤明懿

（1.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江 嘉興 314033）

0 引言

作為故障預測與設備健康管理 （PHM）技術的核心技術之一，基于狀態(tài)監(jiān)測的剩余壽命預測技術在近年來吸引了越來越多的研究[1-3]。剩余壽命預測模型的輸出構成了設備健康管理的基礎[4-7]。目前大多數(shù)剩余壽命預測模型試圖建立系統(tǒng)衰退過程的全局模型，這對于一些顯現(xiàn)出多種衰退模式的復雜系統(tǒng)是比較困難的[4]?；谙嗨菩缘膲勖A測方法是近來興起的技術，可以在無需衰退過程建模[8-9]或僅需個體衰退過程建模[10]的情況下給出合理的剩余壽命預測。

基于相似性的剩余壽命預測方法將某服役樣本在某一時刻的剩余壽命預測為各個參考樣本的局部估計的加權平均。這里，服役樣本是指一個正在運行的部件因而在其衰退過程的任何一個狀態(tài)監(jiān)測點（即采樣點）其實際的剩余壽命是未知的。參考樣本是指與服役樣本相同的、服役于相同工況下的歷史樣本。文獻 [8]概述了基于相似性的剩余壽命預測方法的假設。

一般地，在衰退過程中建模困難但有大量的歷史樣本時，基于相似性的剩余壽命預測方法是最有效的。然而，當前相關工作還很少[4,8-14]。大多數(shù)（如果不是全部的話）當前基于相似性的剩余壽命預測方法僅利用失效歷史樣本的衰退過程信息。隨著故障預測與健康管理技術的不斷發(fā)展，將會存在很多失效歷史樣本有限的場合。另一方面，就有可能存在大量接受預防維護或終止運行的樣本。在這種情況下，Tian等[15]報道了通過利用終止運行的歷史樣本來提升神經(jīng)網(wǎng)絡預測精度的工作。Wang提出[4]的想法也可以用在基于相似性的剩余壽命預測方法中，但并未報道具體的處理方案。此外，存在大量的失效歷史樣本時，利用接收預防維護或終止運行的歷史樣本是否有益在文獻 [15]中仍未予以研究。進一步地，也有必要探究其它利用接受預防維護或終止運行的歷史樣本的方法。

本文基于上述考慮，發(fā)展一個基于相似性的剩余壽命預測框架以同時利用失效與未失效歷史樣本。在該框架中，提出兩種估計未失效歷史樣本的壽命，進而利用其衰退過程信息的方案 （記為方案A和方案B）。其中，方案B與文獻 [15]中的總體思路相似但技術細節(jié)有很大的區(qū)別。本文的剩余部分安排如下：第一節(jié)給出基于相似性的剩余壽命預測框架，第二節(jié)通過一個系統(tǒng)的數(shù)值試驗評估本文提出的框架，第三節(jié)總結全文。

1 建模

1.1 基于相似性的剩余壽命預測方法要素與問題定義

文獻 [8]中曾論述了基于相似性的壽命預測方法的思想與要素，這里簡要總結這些要素，但在剩余壽命預測方案上有所拓展?；谙嗨菩缘氖Ｓ鄩勖A測方法要素如圖1所示。

圖1 基于相似性的剩余壽命預測方法要素 （其中剩余壽命預測方案有所拓展）

圖1中，D代表考察服役樣本與參考樣本間相似度的時間范圍；相似性測度函數(shù)S（·）是樣本（部件）狀態(tài)監(jiān)測變量的函數(shù)，用于衡量服役樣本與參考樣本間的相似度，相似性測度函數(shù)可以是歐幾里得距離函數(shù)[10]、概率函數(shù)[10]，或基于模糊邏輯的隸屬度函數(shù)[9]等。So←→ri（k） 是在服役樣本的第k個采樣點，服役樣本和參考樣本間的相似度。權重函數(shù)w（·）是相似度的函數(shù)，它根據(jù)不同參考樣本與服役樣本的相似度將不同的權重分配給這些參考樣本；將相似度代入權重函數(shù)就得到了權重w（So←→ri（k））， 為簡便計，記為 wi（k）。 最后，在服役樣本第k個采樣點其剩余壽命預測值PRL0（k）計算為每個參考樣本在其各自采樣點的 “參考剩余壽命”的加權平均。這里，參考剩余壽命指失效歷史樣本實際剩余壽命與未失效歷史樣本估計剩余壽命的集合。需要指出的是，每個參考樣本各自采樣點 Ni（k） 是在計算相似度 So←→ri（k） 的過程中確定的， 圖 1 中以 So←→ri（k） 與 PRLri（Ni（k）） 間的連線表示這一聯(lián)系。

大多數(shù) （如果不是全部的話）當前基于相似性的剩余壽命預測方法僅利用失效歷史樣本的衰退過程信息，則剩余壽命的預測方案為：

其中 ARLri（Ni（k）） 為參考樣本 i在其第 Ni（k）個采樣點的實際剩余壽命，Q為失效歷史樣本數(shù)。

與失效的歷史樣本不同，未失效的歷史樣本在其衰退過程中的任何一點ARLri（Ni（k））是未知的，需估計為 ERLri（Ni（k））。 這里， ERLri（Ni（k））指參考樣本i在其第Ni（k）個采樣點的估計剩余壽命。因此，現(xiàn)在的問題是如何估計ERLri（Ni（k））。該問題可以簡化為估計未失效樣本失效時間的問題， 因為 ERLri（Ni（k））= （EMi-Ni（k））·△t，其中EMi為未失效參考樣本從其第一個采樣點至 （潛在）失效采樣點數(shù)的估計值，△t為狀態(tài)監(jiān)測采樣間隔。

1.2 利用失效與未失效歷史樣本的基于相似性的剩余壽命預測框架

本小節(jié)首先提出兩種估計未失效歷史樣本壽命估計方案，進而給出利用失效與未失效歷史樣本的、基于相似性的剩余壽命預測框架。

在第一個方案 （方案A）中，未失效歷史樣本的EMi首先通過僅利用失效樣本的、基于相似性的剩余壽命預測方法予以估計。然后，基于所有失效與未失效歷史樣本再預測服役樣本的剩余壽命。使用方案A的、基于相似性的剩余壽命預測框架如圖2所示。

圖2中，Q為失效樣本數(shù)，P為未失效樣本數(shù)，H為非負整數(shù)且 （H+1）·△t=D （參看圖1），這意味著連續(xù) （H+1）個采樣點用于衡量服役樣本與參考樣本間的相似度。圖2中，估計過程指估計EMp的過程，執(zhí)行過程指使用全部歷史樣本預測服役樣本剩余壽命的過程。估計過程中，使用未失效樣本接受預防維護或終止運行前最后的 （H+1）個點以估計EMp，因為它們反映了樣本最接近其 （潛在）失效時刻的狀態(tài)。

在第二個方案 （方案B）中，與方案A對每個未失效歷史樣本EMp一一估計的方法不同，對所有未失效樣本的EMp同時予以估計。使用方案B的、基于相似性的剩余壽命預測框架如圖3所示。

圖2 使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架

圖3中，該框架的執(zhí)行過程與圖2中的一致。然而，圖3中的估計過程與圖2中的有很大的區(qū)別。估計過程的總體思想是同時估計EMp以優(yōu)化基于相似性的剩余壽命預測方法在預測失效歷史樣本剩余壽命時的總體表現(xiàn)。圖3中，同時估計EMp的原因是它們在執(zhí)行過程中也是同時被使用。值得指出的是，與這里的方法不同，Tian等[15]對接受終止運行的歷史樣本壽命進行一一估計；同時，在文獻[15]中神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入、輸出也與基于相似性的剩余壽命預測方法不同。僅用失效歷史樣本進行表現(xiàn)評估的原因是，只有它們在其各個采樣點的實際剩余壽命是已知的。估計過程中每次僅對一個失效歷史樣本的剩余壽命進行預測的原因是，這樣可以使評估過程中使用的 （Q+P-1）個參考樣本最接近執(zhí)行過程將要使用的 （Q+P）個參考樣本。圖3中，總體表現(xiàn)是根據(jù)需要定義的，可以是均方差[15]，平均預測誤差[8]，SCORE指標[16]等。也可以定義這樣的一個總體表現(xiàn)指標，給予接近樣本失效時的預測誤差更高的權重。

圖3 使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架

1.3 示例

本小節(jié)給出一個利用失效與未失效歷史樣本的基于相似性的剩余壽命預測方法示例。

圖1中，要素D已在1.2小節(jié)予以討論。實際中，D（或H）的取值可以根據(jù)操作經(jīng)驗進行確定。一個主要的法則是最近的連續(xù) （H+1）個采樣點應能反映樣本的當前狀態(tài)。

與文獻 [8]一樣，本文采用距離函數(shù)：

式 （2） 中， s （k，H，i，m） 計算了服役樣本在時段[（k-H）·△t，k·△t）]中的狀態(tài)監(jiān)測變量與參考樣本 i在時段 [（m-H）·△t，m·△t）] 中的狀態(tài)監(jiān)測變量的距離，其中服役樣本k≥H+1，失效參考樣本H+1≤m≤Mi，未失效參考樣本H+1≤m≤Gi。這里，Mi為失效參考樣本從其第一個采樣點至失效的采樣點數(shù)，Gi為未失效參考樣本從其第一個采樣點至接受預防維護或終止運行前最后一個采樣點的采樣點數(shù)。需要指出的是，本文考察的是單變量 （單個狀態(tài)監(jiān)測變量）情形，多變量情形可參看文獻[4]。

在服役樣本的第k個采樣點，其與參考樣本i的相似度為：

在計算 So←→ri（k） 的過程中，確定 Ni（k） 以滿足

根據(jù)式 （4），參考樣本i在其第Ni（k）個采樣點的參考剩余壽命為：

權重函數(shù)則是文獻 [11]中的權重函數(shù)的簡單拓展：

其中zi（k）定義為：

式 （7）中，參數(shù)α控制了權重分配的方案，增加α的值意味著將更多的權重集中在與服役樣本相似度高的參考樣本上[17]。權重分配方案對基于相似性的剩余壽命預測方法表現(xiàn)的影響可參看文獻[17]。

基于式 （6）中的權重與式 （5）中的參考剩余壽命，服役樣本在其第k個采樣點的預測剩余壽命為：

式中EMp基于圖2或圖3中的估計過程予以估計。

作為比較，相應的僅利用失效歷史樣本的基于相似性的剩余壽命預測方法的預測值如式 （1）所示，且可擴展為：

最后，與文獻 [17]中的一樣，圖3中的總體表現(xiàn)在本文中定義為：

式中 PRLrq（k）、 ARLrq（k）分別為失效歷史樣本 q 在其第k個采樣點的預測剩余壽命和實際剩余壽命。

定義了此總體表現(xiàn)，則基于相似性的剩余壽命預測方法對于服役樣本的表現(xiàn)也以此指標考核，即

式 （11） 中，R 為服役樣本數(shù)， PRLoj（k）、 ARLoj（k）分別為服役樣本j在其第k個采樣點的預測剩余壽命和實際剩余壽命。一個主要的區(qū)別在于式 （10）中的PRLrq（k）是基于剩余 （Q+P-1） 個參考樣本預測的，而式 （11） 中的PRLrq（k）是基于全部 （Q+P）個參考樣本預測的。

2 數(shù)值試驗

2.1 仿真數(shù)據(jù)

本節(jié)介紹隨機衰退模型，并利用該模型產生參考樣本與 （測試用）服役樣本的衰退過程以評估1.3節(jié)中基于相似性的剩余壽命預測方法的表現(xiàn)。該隨機衰退模型已廣泛應用于部件剩余壽命的研究中，其最簡形式為：

式中，lnθ服從參數(shù)為 （μ0，） 的正態(tài)分布， β服從參數(shù)為 （μ1，） 的正態(tài)分布， ε（t）服從參數(shù)為 （0，σ2t）的正態(tài)分布。文獻 [18-19]詳細論述了式 （12）的推導過程。

本文中，參照文獻 [11]設置lnθ和β的參數(shù)，總結如表1所示。

表1 隨機衰退模型參數(shù)

為確定參考樣本與 （測試用）服役樣本的實際壽命，進而確定每個采樣點其實際剩余壽命，應定義一失效閥值，一旦樣本的衰退變量大于該閥值即認為樣本失效。本文定義失效閥值L=200。圖4演示了3個仿真的衰退過程與失效閥值，其中任意選取的服役樣本A（衰退過程加粗線條）的預測剩余壽命將在后文演示。實際衰退過程與圖中所示過程類似的有：軸承衰退過程中的振幅[18-19]，BGA封裝在隨機振動中關鍵焊點回路兩端電壓[20]，某激光裝置使用過程中的電流[21]，鉆頭在使用過程中的推力[22]，渦輪蠕變過程的應變量[23]等?？梢?，所仿真的衰退過程是符合工程實際的。

圖4 3個仿真的衰退過程與失效閾值

采用式 （12）中的模型與表1中的參數(shù)，仿真了1000組衰退過程，時間范圍t=0，1，…，100，△t。在1000組仿真衰退過程中，與文獻 [17]中一樣，首先任選100個在t=100前失效的樣本作為參考樣本，另任選500個失效的樣本作為服役樣本以考察基于相似性的剩余壽命預測方法的表現(xiàn)。此外，再任選20個失效的樣本以進一步處理為接受預防維護或終止運行的未失效樣本。這將在下一小節(jié)予以介紹。

2.2 試驗方案與準備

本小節(jié)具體闡述數(shù)值試驗方案，并討論將20個失效樣本處理為未失效樣本的方法。

實際中，會有失效歷史樣本非常有限 （如5個）的情況，也會有存在大量失效歷史樣本 （如100個）的情況。為全面了解利用失效與未失效歷史樣本的基于相似性的剩余壽命預測方法的表現(xiàn)，有必要對這些情況做全面的考察。為此，將100個失效參考樣本劃分為20組，每組5個樣本。表2總結了使用不同失效歷史樣本的基于相似性的剩余壽命預測方法對500個服役樣本的總體表現(xiàn)。其中，與文獻 [17]一致，采納參數(shù)值α=4，D=10·△t。

表2 使用不同失效參考樣本的、基于相似性的剩余壽命預測方法的表現(xiàn)

表2中，PER’的第一列對應于利用第1，2，……，20組失效參考樣本時的表現(xiàn)，即基于相似性的剩余壽命預測方法的參考樣本數(shù)為5；PER’的第二列對應于利用第1和2，……，19和20組失效參考樣本時的表現(xiàn)，即基于相似性的剩余壽命預測方法的參考樣本數(shù)為10；以此類推。Mean(PER’)為各列PER’的均值。

表2中，容易理解利用不同失效參考樣本的PER’會有所不同。此外，隨著越來越多的失效參考樣本運用于基于相似性的剩余壽命預測方法中，Mean(PER’)逐漸減小，即預測表現(xiàn)逐漸提升。對于每種情況 （即失效參考樣本數(shù)分別為5，10，20，50），將根據(jù)平均表現(xiàn)，比較利用和不利用20個未失效樣本的、基于相似性的剩余壽命預測方法。

下面介紹將20個失效歷史樣本處理為未失效歷史樣本的方法。首先，基于這20個失效歷史樣本的PER’計算得13.67，與表2中PER’對應的第3列結果進行比較，顯示這些樣本并無特殊。為了將20組直至失效的衰退過程轉變成被預防維護或終止運行活動所終止的過程，將樣本失效前的一部分衰退過程截去。這樣做的關鍵點是截去的衰退過程時間長度。本文，該時間長度定義為：

式（13）中： tr～N（（μ3/5），（σ3/5）2）=N（11.51，6.86）；

μ3——20個失效歷史樣本的壽命均值；

這樣定義Tr的主要考慮是，隨著故障預測與健康管理技術的不斷發(fā)展，我們可以開展基于狀態(tài)監(jiān)測的維護時序規(guī)劃，將預防維護或終止運行安排在接近樣本失效的時刻，以充分利用樣本的使用壽命。因此，在樣本壽命還剩20%左右的時刻開展預防維護或終止運行活動并不是十分困難的。圖5演示了3組截斷的衰退過程。

圖5 三組截斷的衰退過程 （用以仿真接受預防維護或終止運行的樣本的衰退過程）

2.3 試驗結果

本小節(jié)給出數(shù)值試驗的結果。使用方案A和方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架的表現(xiàn)總結于表3和表4。表3中，PER’的第一列對應于利用第1，2，……，20組失效參考樣本和20個未失效參考樣本時的表現(xiàn)，即基于相似性的剩余壽命預測方法的參考樣本數(shù)為25；PER’的第一列對應于利用第1和2，……，19和20組失效參考樣本和20個未失效參考樣本時的表現(xiàn)，即基于相似性的剩余壽命預測方法的參考樣本數(shù)為30；以此類推。Mean(PER’)_A為各列 PER’ 的均值。表4中的各列結果含義相同，只以Mean(PER’)_B表明各列結果的均值是基于方案B取得的。

對于使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架，使用MATLAB 7.10的廣義模式搜索 （generalized pattern search）算法估計EMp。圖6演示了基于第一組5個失效樣本估計EMp的優(yōu)化過程。

圖6 基于第一組5個失效樣本的EMp優(yōu)化過程，p=1，…，20

圖7演示了基于第一組5個失效樣本的樣本A（見圖4）的預測剩余壽命，圖中同樣給出了每個采樣點的實際剩余壽命。圖7中，值得指出的一點是當樣本實際剩余壽命很少時 （即圖7中t=50以后），基于3種方法的剩余壽命預測結果很相近。原因是當接近樣本A失效時，樣本A與各個 （接近失效的衰退過程被截去的）未失效樣本相似度很低，因而在預測樣本A剩余壽命時 （根據(jù)式 （8））這些未失效樣本的貢獻很小。

表3 使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架的表現(xiàn)

表4 使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架的表現(xiàn)

圖7 基于第一組5個失效樣本的樣本A的預測剩余壽命

圖8畫出了不同失效參考樣本數(shù)情況下的Mean(PER’)，Mean(PER’)_A 和 Mean(PER’)_B?；?PER’的含義，如果 Mean(PER’)＞Mean(PER’)_A，則使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架表現(xiàn)優(yōu)于對應的傳統(tǒng)方法。對于使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架也是同樣的邏輯。

圖8 不同失效參考樣本數(shù)情況下的Mean(PER’)，Mean(PER’)_A 和 Mean(PER’)_B

圖8中的結果，使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架表現(xiàn)始終優(yōu)于傳統(tǒng)的基于相似性的剩余壽命預測方法，這顯示利用未失效樣本的益處。當失效歷史樣本很有限時 （如5個）這樣的益處最為顯著，而當存在大量的失效歷史樣本時 （如100個）其益處就不太明顯了。另一方面，使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架在失效歷史樣本數(shù)很有限時 （如5個）表現(xiàn)甚至差于傳統(tǒng)的基于相似性的剩余壽命預測方法，但當失效歷史樣本逐漸增多時其表現(xiàn)迅速提升并最終超越使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架。這個結果的原因是當失效歷史樣本很有限時，這些樣本無法全面代表服役樣本，而優(yōu)化的EMp僅適用于這些有限的失效樣本。當失效歷史樣本逐漸增多時，這些樣本越來越能夠代表全體服役樣本的特性，因而相應地優(yōu)化了的EMp的表現(xiàn)提升了。這個發(fā)現(xiàn)提示，當失效歷史樣本有限時采納使用方案A的基于相似性的剩余壽命預測框架，而在失效歷史樣本很多時采納使用方案B的基于相似性的剩余壽命預測框架。

3 結束語

為工程實踐所驅使，本文提出一個基于相似性的剩余壽命預測框架以同時利用失效與未失效（由于預防維護或終止使用等）歷史樣本。在該框架中，提出兩種估計未失效歷史樣本壽命，進而利用其衰退過程信息的方案 （記為方案A和方案B）。一個系統(tǒng)的數(shù)值試驗驗證了在存在有限失效歷史樣本與存在大量失效歷史樣本的情況下，基于方案A的框架始終優(yōu)于對應的傳統(tǒng)方法。此外，試驗結果揭示基于方案B的框架在失效歷史樣本有限的情況下并不有效，但隨著可獲得的失效歷史樣本的增多其表現(xiàn)迅速提升。

本文強調了利用未失效歷史樣本的益處。在提出的框架中，所有的失效與未失效樣本均予以使用。然而，使用可用的一部分歷史樣本 （即所有歷史樣本的子集）是否能帶來表現(xiàn)的提升仍是一個開放的問題，而對應的選擇機制值得進一步研究。同樣地，將基于相似性剩余壽命預測方法推廣至非連續(xù)監(jiān)測的衰退過程也是很有裨益的。

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