鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

文獻(xiàn)［1］對(duì)例題2的解答是利用了像電荷等效法，使問題得以簡化，但對(duì)微分方程的積分過程較難，其結(jié)果出現(xiàn)了偏差，因此有必要尋求簡單解法．

題目：如圖1所示，一質(zhì)量為m的點(diǎn)電荷q到接地的無限大導(dǎo)體平板的距離為d（導(dǎo)體平板固定），從靜止?fàn)顟B(tài)松開，問經(jīng)過多長時(shí)間它將碰上導(dǎo)體平板？

圖1

解析：原解是建立如圖2所示坐標(biāo)系Ox，并以一個(gè)像電荷q′＝－q等效代替接地的無窮大導(dǎo)體平板，利用初始條件x0＝d，v0＝0，應(yīng)用有關(guān)規(guī)律得出微分方程

圖2

考慮到坐標(biāo)x隨時(shí)間t的增加而減小，將微分方程化簡為

對(duì)上式分離變量并積分得

上述解答過程是正確的，只是結(jié)果有誤，應(yīng)改為

最簡單的驗(yàn)證方法是量綱法，即把各物理量的國際單位代入關(guān)系式，看等式兩邊的單位是否一致．

對(duì)于原題，除了應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的微積分解答外，還可利用開普勒第三定律和折合質(zhì)量來解答．

對(duì)于兩個(gè)相互作用的物體，若動(dòng)量守恒，則相當(dāng)于在保持原相互作用力的條件下，其中一個(gè)等效質(zhì)量為的物體跟一個(gè)固定不動(dòng)的物體的相互作用，把等效質(zhì)量m′稱為折合質(zhì)量．當(dāng)利用折合質(zhì)量應(yīng)用有關(guān)公式解題時(shí)，只有原作用力和時(shí)間保持不變，而式中的位移、速度和加速度都為相對(duì)位移、相對(duì)速度和相對(duì)加速度．

原題實(shí)際上是求解兩個(gè)點(diǎn)電荷在相互作用的靜電力作用下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，下面先以一個(gè)相似的力學(xué)問題為例進(jìn)行分析，然后通過類比，即可推廣到電學(xué)問題．

由于萬有引力的大小隨物體間的距離而變化，因此物體在萬有引力作用下的直線運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，不能應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間．那么，如何求解物體在萬有引力作用下做直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間呢？

【例1】空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并碰撞，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間．

解析：在保持原相互作用力的情況下，若認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)m2靜止不動(dòng)，則m1的折合質(zhì)量為相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)m1′向固定不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)m2運(yùn)動(dòng)，其直線軌跡可視為狹長的橢圓，質(zhì)點(diǎn)m2位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，半長軸，半短軸b≈0．由開普勒第三定律可知，質(zhì)點(diǎn)m1′沿狹長橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期跟半徑為a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，由萬有引力提供向心力得

則周期

所以兩質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間為

對(duì)于前面提到的原題，以像電荷等效處理后，與上述力學(xué)題相似，而且是一種完全對(duì)稱的特殊情形，很容易解答，但為了顯示規(guī)律的普遍性，可把原題推廣到一般情形，即相當(dāng)于下面的例題．

【例2】有兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2，帶電荷量分別為Q1和Q2的點(diǎn)電荷，在相距為l的兩點(diǎn)由靜止釋放，只在靜電引力作用下從運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間為多少？下面先利用折合質(zhì)量和開普勒第三定律來解答這個(gè)一般問題，然后代入特殊條件，即可得到原題正確的結(jié)果．

解析：兩個(gè)點(diǎn)電荷從靜止開始做變加速直線運(yùn)動(dòng)，因相互作用過程中動(dòng)量守恒，將在系統(tǒng)的質(zhì)心O處相遇．若假設(shè)m2固定不動(dòng)，則m1的折合質(zhì)量為，即相當(dāng)于質(zhì)量為的點(diǎn)電荷Q1在靜電引力作用下，向固定不動(dòng)的點(diǎn)電荷Q2運(yùn)動(dòng)．由于庫侖力跟萬有引力相似，故帶電粒子的橢圓運(yùn)動(dòng)也遵循開普勒第三定律．因此，可把點(diǎn)電荷Q1向Q2的直線運(yùn)動(dòng)，視為Q1繞Q2的狹長橢圓運(yùn)動(dòng)，且Q2位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，接近于端點(diǎn)，則該橢圓的半長軸半短軸b≈0，運(yùn)動(dòng)周期等于Q1繞Q2做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

故所求時(shí)間為

這種等效法和類比法，通過利用熟知的物理規(guī)律，避免了高等數(shù)學(xué)的積分過程，顯得非常簡捷，而兩種解法殊途同歸，可互為驗(yàn)證．

綜上可見，對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在有心力相互作用下的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問題，既可利用微積分求解，也可利用折合質(zhì)量和開普勒第三定律求解，特別是這種初等方法，可化難為簡，巧妙快捷．

1 趙長青．大學(xué)物理教學(xué)中如何培養(yǎng)等效思維．物理通報(bào)，2010（3）：17