陳小昊，陳曉懷，李高峰

（合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，合肥230009）

0 前 言

測(cè)量不確定度是指測(cè)量結(jié)果變化的不肯定，是表征被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍內(nèi)的一個(gè)估計(jì)，是測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用以表示被測(cè)量值的分散性。

根據(jù)測(cè)量不確定度定義，在測(cè)量實(shí)踐中如何對(duì)測(cè)量不確定度進(jìn)行合理的評(píng)定，這是必須解決的基本問題。測(cè)量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小，測(cè)量結(jié)果必須包括不確定度才是完整并有意義的。目前常用的測(cè)量不確定度評(píng)定方法是由 《測(cè)量不確定度指南》中提出的A類和B類評(píng)定方法。由一系列觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析來評(píng)定，稱為A類評(píng)定；不是用一系列觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析法，而是基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率分布來評(píng)定，稱為B類評(píng)定［1－3］。

針對(duì)A類、B類評(píng)定的局限性，本文提出了一種基于貝葉斯理論的不確定度評(píng)定方法，該方法是綜合歷史信息和當(dāng)前樣本信息，建立貝葉斯不確定度評(píng)定模型，最后通過后驗(yàn)分布得出不確定度。實(shí)例說明貝葉斯評(píng)定對(duì)單次測(cè)量、小樣本測(cè)量以及大樣本測(cè)量都有較合理的評(píng)定效果［4］。

1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論

貝葉斯理論是將參數(shù)μ看作隨機(jī)變量，并具有反映實(shí)驗(yàn)前μ所有信息的先驗(yàn)分布，通過對(duì)工件測(cè)量得到測(cè)量樣本X＝ （x1，x2，…，xn）后，由歷史信息確定的先驗(yàn)分布和當(dāng)前樣本信息就能夠得出μ的后驗(yàn)分布，其中后驗(yàn)分布包含了μ的所有信息。

貝葉斯理論可用以下公式表示：

式中h（μ｜x）為后驗(yàn)分布密度函數(shù)；p（μ）為先驗(yàn)分布密度函數(shù)；L （μ｜x）為樣本的似然函數(shù)。

由式（1）得出：

當(dāng)?shù)谝浑A段測(cè)量樣本為X1時(shí)：

當(dāng)?shù)诙A段測(cè)量樣本為X2時(shí)：

依此類推可得：

其中測(cè)量樣本X1，X2，…，Xm相互獨(dú)立，由式 （2）可知，前一次的后驗(yàn)分布可以作為后一次的先驗(yàn)分布［5－6］。

2 基于貝葉斯理論的不確定度評(píng)定模型

當(dāng)測(cè)量結(jié)果取n次測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，利用h（μ｜x）∝p（μ）L （μ｜x）進(jìn)行建模，用測(cè)量均值μ的后驗(yàn)密度函數(shù)h（μ｜x）的期望E［h（μ｜x）］來表示被測(cè)量真值的估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)差來表示標(biāo)準(zhǔn)不確定度［7］。由歷史測(cè)量數(shù)據(jù)得出先驗(yàn)均值μ0和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差τ，并設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則可以認(rèn)為：

所以均值μ的先驗(yàn)密度函數(shù)為：

假如當(dāng)前測(cè)量樣本為X＝ （x1，x2，…，xn）T，則樣本的均值為

樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為：

則當(dāng)前樣本的聯(lián)合密度函數(shù) （似然函數(shù)）為：

將式 （3）和式 （4）代入式 （1）得出后驗(yàn)分布為：

其中：

由式 （5）和式 （6）的推導(dǎo)可知，后驗(yàn)分布是先驗(yàn)分布與當(dāng)前測(cè)量樣本通過建立貝葉斯模型產(chǎn)生的，也就是歷史信息與當(dāng)前樣本信息的綜合，比僅僅利用當(dāng)前樣本信息更具合理性，而貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷就是從后驗(yàn)分布來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的。在有些不易多次測(cè)量或者受測(cè)量條件限制的情況下，就不能通過測(cè)量批量數(shù)據(jù)來進(jìn)行A類不確定度評(píng)定，或者說此時(shí)的A類不確定度評(píng)定結(jié)果不可靠，這時(shí)就可以借助于歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合當(dāng)前小樣本的測(cè)量來運(yùn)用貝葉斯方法進(jìn)行不確定度評(píng)定。另外貝葉斯方法評(píng)定不確定度具有繼承性，每次評(píng)定之前，都可以把上次評(píng)定結(jié)果當(dāng)作先驗(yàn)信息，然后結(jié)合當(dāng)前信息得出后驗(yàn)分布，最后再進(jìn)行不確定度評(píng)定。

表示被測(cè)量值分散性的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為σ，它綜合了歷史信息和當(dāng)前樣本信息，包含的信息量大，對(duì)單次測(cè)量、小樣本測(cè)量以及大樣本測(cè)量有很好的評(píng)定效果。

3 實(shí)例應(yīng)用

用MH3D－DCC型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在環(huán)境條件基本相同的情況下，分2個(gè)不同時(shí)段，對(duì)50mm 0級(jí)標(biāo)準(zhǔn)量塊進(jìn)行測(cè)量，每一時(shí)段測(cè)量15個(gè)數(shù)據(jù)，按時(shí)間先后順序依次得到2組數(shù)據(jù)，見表1［8］。

表1 50mm 0級(jí)標(biāo)準(zhǔn)量塊長(zhǎng)度測(cè)量數(shù)據(jù)Table1 Length data with measuring 50mm 0class standard gauge blocks

分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的均值，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差，均值的標(biāo)準(zhǔn)差，見表2。

表2 兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征值Table 2 Statistic characteristic values of two sets of data／mm

把第一組數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息，即先驗(yàn)均值和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ0＝50.000 1mm，τ＝32.762×10－5mm。把第二組數(shù)據(jù)看作當(dāng)前樣本信息，分別對(duì)單次測(cè)量、小樣本測(cè)量以及大樣本測(cè)量進(jìn)行A類評(píng)定和貝葉斯評(píng)定，將不確定度的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而驗(yàn)證貝葉斯評(píng)定的可靠性。

3.1 單次測(cè)量的不確定度評(píng)定

取第二組數(shù)據(jù)的第一個(gè)數(shù)據(jù)x21＝50.001 3 mm，利用貝塞爾公式得出第二組數(shù)據(jù)的單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差s2＝111.931×10－5mm，由A類評(píng)定得出：被測(cè)量塊長(zhǎng)度的估計(jì)值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：

單次測(cè)量的貝葉斯評(píng)定如下：

已知先驗(yàn)均值和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ0＝50.000 1mm，τ＝32.762×10－5mm，結(jié)合當(dāng)前單次測(cè)量數(shù)據(jù)x21＝50.001 3mm，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差s2＝111.931×10－5mm，運(yùn)用貝葉斯評(píng)定式（5）和式 （6）分別得出后驗(yàn)均值和后驗(yàn)均值標(biāo)準(zhǔn)差為：

3.2 小樣本測(cè)量 （n＝3）的不確定度評(píng)定

取第二組數(shù)據(jù)的前3個(gè)數(shù)據(jù)x21，x22，x23作為小樣本，由A類評(píng)定定義知，把第二組前3個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為被測(cè)量塊長(zhǎng)度的估計(jì)值，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σˉx（3）作為量塊長(zhǎng)度測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。所以被測(cè)量塊長(zhǎng)度的估計(jì)值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：

小樣本測(cè)量的貝葉斯評(píng)定如下：

已知先驗(yàn)均值和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ0＝50.000 1mm，τ＝32.762×10－5mm，結(jié)合當(dāng)前小樣本的均值單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差s2＝111.931×10－5mm，運(yùn)用貝葉斯評(píng)定式（5）和式 （6）分別得出后驗(yàn)均值和后驗(yàn)均值標(biāo)準(zhǔn)差為：

3.3 大樣本測(cè)量 （取第二組所有數(shù)據(jù)作為當(dāng)前樣本）的不確定度評(píng)定

由A類評(píng)定定義知，把第二組所有數(shù)據(jù)的平均值ˉx作為被測(cè)量塊長(zhǎng)度的估計(jì)值，把平均值的標(biāo)準(zhǔn)差σˉx作為量塊長(zhǎng)度測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則被測(cè)量塊長(zhǎng)度的估計(jì)值與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：

大樣本測(cè)量的貝葉斯評(píng)定如下：

已知先驗(yàn)均值和均值的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ0＝50.000 1mm，τ＝32.762×10－5mm，結(jié)合當(dāng)前樣本均值ˉx＝50.000 2mm，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差s2＝111.931×10－5mm，運(yùn)用貝葉斯評(píng)定式（5）和式 （6）分別得出后驗(yàn)均值和后驗(yàn)均值標(biāo)準(zhǔn)差為：

通過以上計(jì)算得出表3。

表3 單次測(cè)量、小樣本測(cè)量以及大樣本測(cè)量的兩種不同評(píng)定方法比較Table 3 Two different evaluation methods of single measurement，the measurement of small samples and large sample measurement

由表3可見，無(wú)論是單次測(cè)量、小樣本測(cè)量還是大樣本測(cè)量，貝葉斯評(píng)定比A類評(píng)定所計(jì)算的均值較為接近真值，而且不確定度變化小，評(píng)定更為合理。

4 結(jié) 論

根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得出先驗(yàn)信息，結(jié)合當(dāng)前的測(cè)量數(shù)據(jù)得出后驗(yàn)分布，從而計(jì)算出被測(cè)量的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度，這就是基于貝葉斯理論的不確定度評(píng)定方法。通過對(duì)測(cè)量實(shí)例進(jìn)行A類評(píng)定與貝葉斯評(píng)定，體現(xiàn)了貝葉斯評(píng)定能夠充分利用先驗(yàn)信息，在上次評(píng)定結(jié)果的基礎(chǔ)上結(jié)合當(dāng)前樣本信息進(jìn)行評(píng)定，在單次測(cè)量、小樣本測(cè)量以及大樣本測(cè)量的情況下，根據(jù)貝葉斯方法都能得到比較可靠的結(jié)果，評(píng)定更為合理和有效。

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