周慶欣

(哈爾濱商業(yè)大學基礎科學學院，哈爾濱150028)

Markov鏈是一種特殊的隨機過程，它具有Markov性，即未來狀態(tài)不受過去狀態(tài)影響.Markov性所表達的是在已知“現在”的條件下，“將來”與“過去”是獨立的，這種性質也稱“無后效性”［1］.企業(yè)在經營管理中，經常會碰到對市場經濟的預測與決策問題，運用Markov鏈進行市場預測是一個有效的方法.本文將通過實例介紹Markov鏈在這方面的應用.

運用Markov鏈進行經濟預測時，遵循的基本步驟［2］是:

1)構造狀態(tài)空間E;

2)建立狀態(tài)轉移概率矩陣P;

3)運用轉移概率進行初步市場預測并通過平穩(wěn)分布進行分析.

1 對商品銷售情況進行預測

設某商品的銷售狀態(tài)滿足齊次Markov鏈，且跟蹤其在過去的24個季度的銷售情況，有如下數據:

0010 1100 0101 0011 0010 1000

其中:0表示暢銷，1表示滯銷.

現運用Markov鏈對以上數據進行分析預測.

1)構造狀態(tài)空間

商品的零售價格情況分為兩種狀態(tài):暢銷0、滯銷1，故狀態(tài)空間E={0，1}

2)建立狀態(tài)轉移概率矩陣P

在上面的24個銷售數據中0出現了15次，1出現了9次，且0→0有7次，0→1有7次，1→0有7次，1→1有2次，最后狀態(tài)為0，故

設Si(n)表示第n個季度銷售情況處于第i個狀態(tài)的概率，則向量Sn=(S0(n)，S1(n))表示第n個季度的狀態(tài)概率向量.有Sn+1=SnP(n=1，2，3，…)，由于第24個季度處于暢銷，不妨設S24=(1，0)，則可預測今后各個季度的銷售情況.例如:

第25個季度的狀態(tài)概率向量

遞推可得 S26=(0.638 9，0.361 1);S27= (0.600 3，0.399 7);S28=(0.611 0，0.389 0).即目前暢銷的情況下，未來第4個季度仍暢銷的可能性為0.611 0;未來第4個季度滯銷的可能性為0.389 0.

3)運用轉移概率進行初步市場預測并通過平穩(wěn)分布進行分析

下面，通過Markov鏈的平穩(wěn)分布來預測銷售情況［3］.從轉移概率矩陣P可看到，該Markov鏈是不可約、非周期、有限狀態(tài)，故其存在平穩(wěn)分布［4］.

這個結果表明:如果轉移概率矩陣保持不變，那么銷售情況的狀態(tài)概率Si(n)→πi，(n→∞)，i =0，1，即一個和初始狀態(tài)無關的值，并穩(wěn)定下來.從中可以看出暢銷可能性為0.608 6，遠遠大于滯銷可能性0.391 4，說明長期銷售該商品，該商品最終暢銷的可能性較大.

2 對企業(yè)利潤的預測

2.1 預測期望利潤

設某公司每月至多接受2份訂單，Xn表示第n個月接受的訂單數，并設Xn為一齊次Markov鏈.設E={0，1，2}為狀態(tài)空間，其中狀態(tài)i表示“公司接受份訂單”，i=0，1，2.由資料分析，接受訂單的轉移概率矩陣為

利潤矩陣為

其中:rij表示第1個月接受i份訂單的條件下，第2個月有j份訂單時的利潤.

設Vi(n)表示開始接到i份訂單(i=0，1，2)，經過n個月后公司的期望利潤，則

即有遞推公式

設Vi(0)=0，即初始利潤為0，則可得V0(1)=13，V1(1)=19，V2(1)=43.這表示三種前提下，經過1個月后公司的期望利潤.

2.2 企業(yè)經營中決策的制定

下面要研究的問題是:公司決策者如何根據利潤預測模型，在策略費用不計的情況下對生產經營進行調整，使得利潤盡可能最大［5－6］.

設策略A的轉移概率矩陣為之前矩陣

今有策略B的轉移概率矩陣為

1)短期經營，策略不變

如果以每月期望利潤為決策目標，由先前假設可知:Vi(1)，V'i(1)分別表示在策略A，B下，表示開始接到i份訂單(i=0，1，2)，經過1個月后公司的期望利潤.由 知:

在策略A下，公司經營1個月后

同理，在策略B下，公司經營1個月后

遞推可得:

在策略A下，公司經營2個月后

在策略B下，公司經營2個月后(單位:萬元)

在短期經營，策略不變的條件下，同理可以計算出兩種策略下，公司數月后經營的期望利潤.從這些數據可知:如果公司僅短期經營2個月，在目前有2份訂單的情況下，由V1(2)＜V'1(2)知，公司采用策略B收益大;在目前沒有訂單的情況下，由(2)知，公司采用策略A收益大.

2)短期經營，策略可變

由于每一期所處的狀態(tài)僅與前一期所處狀態(tài)有關，因此，對于最優(yōu)策略而言即為使得每一期策略最優(yōu).由1)中的數據可知，若前一期有0份訂單，由(1)知，公司采用策略A收益大;若前一期有1份訂單，由(1)知，公司采用策略B收益大;若前一期有2份訂單，由V2(1)(1)知，公司采用策略B收益大.即此時公司采用何種策略應視目前公司所接受訂單數而定.例如:第1期1份訂單—A→ 第2期2份訂單—B→第3期2份訂單—B→ ………

3)長期經營，策略可變

情形與2)相同，此處略.

4)長期經營，策略不變

設π0，π1，π2分別表示在策略A下接受0，1，2份訂單的穩(wěn)態(tài)概率.由平穩(wěn)方程π=πP得

同理，解得在策略B下接受0份，1份，2份訂單的穩(wěn)態(tài)概率為

于是，在長期經營的情況下，兩種策略的月平均利潤分別為

(單位:萬元)

故企業(yè)應采用策略B，使得利潤盡可能大.

3 結語

本文應用隨機過程中的Markov鏈理論對產品銷售情況、產品利潤進行預測，構造相應的預測模型.企業(yè)通過該模型就可預測其產品“未來”所處狀態(tài)，這對企業(yè)的經營調整，最優(yōu)策略選取有著很大幫助，進而使企業(yè)投入最少、收益最大.本文通過實例分析，運用Markov分析法，對商品銷售情況及企業(yè)利潤進行預測，展示了市場經濟預測與決策的全過程.Markov分析法簡潔、易行、有效，適用于經濟預測的諸多方面，但由于應用Markov分析法前提要求過程具有Markov性(即:已知“現在”的條件下，“將來”與“過去”是獨立的，并且要求轉移概率矩陣保持不變，這兩點在現實問題中不易滿足)所以模型仍具有一定的局限性.

［1］ 王 軍，王 娟.隨機過程及其在金融領域中的應用［M］.北京:清華大學出版社，2007:91－96.

［2］ 宋慶龍，宋程成.馬爾科夫鏈在市場經濟預測中的應用［J］.商業(yè)研究，2009(2):46－49.

［3］ 柳金甫，孫洪祥，王 軍.應用隨機過程［M］.北京:清華大學出版社，2006:138－146.

［4］ 樊平毅.隨機過程理論與應用［M］.北京:清華大學出版社，2005:177－181.

［5］ 紀躍芝，史 磊.馬爾科夫鏈及其在經濟預測中的應用［J］.長春工業(yè)大學學報，2003，24(2):26－28.

［6］ 曾慶雙，趙旭東.It?型區(qū)間變時滯Markov切換系統時滯相關H∞性能［J］.哈爾濱商業(yè)大學學報:自然科學版，2011，27 (1):57－63.