趙立權(quán)，于軾群

(1.東北電力大學(xué)信息工程學(xué)院，吉林吉林132012;2.中國(guó)聯(lián)通哈爾濱分公司，哈爾濱150001)

獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是解決盲源分離問(wèn)題的主要方法之一，它僅利用信源信號(hào)非高斯相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件，從接收到的混合信號(hào)中估計(jì)出信源信號(hào)。復(fù)值ICA算法是針對(duì)復(fù)值域信號(hào)的一種新的信號(hào)處理方法，目前主要應(yīng)用于盲解卷積、無(wú)線通信、功能性核磁圖像處理、陣列信號(hào)處理等方面［1-4］。隨著ICA算法理論的逐漸發(fā)展和成熟，近些年來(lái)，復(fù)值ICA算法受到了越來(lái)越多學(xué)者的廣泛關(guān)注，涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的算法［3-11］。復(fù)值快速獨(dú)立分量分析(Fast Independent Component Analysis，F(xiàn)astICA)一種典型的批處理固定點(diǎn)復(fù)值ICA算法［5］，后來(lái)的許多復(fù)值ICA算法都是在它的基礎(chǔ)之上發(fā)展起來(lái)的，典型的改進(jìn)算法就是基于Huber M估計(jì)函數(shù)的復(fù)值ICA算法［7］，該算法相對(duì)原算法性能更好，為了進(jìn)一步提高算法的性能，本文從復(fù)值ICA代價(jià)函數(shù)所采用的非線性函數(shù)角度出發(fā)，對(duì)穩(wěn)健性更好Tukey雙權(quán)函數(shù)進(jìn)行修正后作為代價(jià)函數(shù)的非線性函數(shù)，推導(dǎo)出運(yùn)算速度更快的改進(jìn)的復(fù)值ICA算法。

1 復(fù)值ICA數(shù)學(xué)模型

復(fù)值ICA的基本數(shù)學(xué)模型如下:

ICA的基本假設(shè)條件只是為了保證ICA算法有解，但是畢竟信源信號(hào)S和混合矩陣A都未知，因此通過(guò)ICA算法得到的信源信號(hào)的估計(jì)Y相對(duì)信源信號(hào)S存在一定的不確定性。例如式(1)可以寫成如下形式:

式中:Λ=diag(a1ejθ1，a1ejθ2，…，anejθn)，an和θn為任意不為零的值;Λ－1是Λ的逆矩陣;P是任意可逆的單位置換矩陣;P－1是P的逆矩陣。矩陣Λ和P是任意的，那么得到A'=AΛ－1P－1和S'=PΛS也是任意的，但是A'S'得到的混合信號(hào)X是固定的，所以復(fù)值ICA對(duì)接收到的信號(hào)X進(jìn)行分離，得到的對(duì)信源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)可能是S'或者S，S'和S的幅度、相位和順序不一樣，因此產(chǎn)生了復(fù)值ICA對(duì)信源信號(hào)估計(jì)的不確定性。在ICA研究中，人們更多關(guān)注的是信號(hào)的波形，只要分離信號(hào)和信源信號(hào)的波形一樣，就認(rèn)為算法是有效的。

2 復(fù)值FastICA算法

復(fù)值FastICA算法是由赫爾辛基工業(yè)大學(xué)的Bingham和Hyv?rine仿照實(shí)值FastICA算法，提出的一種經(jīng)典的針對(duì)復(fù)數(shù)信號(hào)ICA算法［5］。該算法是一種批處理的固定點(diǎn)迭代算法，算法不需要設(shè)置學(xué)習(xí)速率，收斂速度快。

復(fù)值FastICA算法和其它批處理ICA方法一樣，都需要對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。設(shè)n維接收信號(hào)X=［x1，x2，…，xn］T，為了簡(jiǎn)便，假設(shè)接收信號(hào)X經(jīng)過(guò)預(yù)處理后得到的白化信號(hào)為Z=BX，B為白化矩陣。對(duì)于白化后的信號(hào)的盲分離，復(fù)值FastICA算法選擇“自下而上”的ICA方法構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，在代價(jià)函數(shù)中采用非線性函數(shù)近似高階統(tǒng)計(jì)量。其代價(jià)函數(shù)定義為:

式中:G為非線性函數(shù);W=［w1，w2，…，wn］T為n維的復(fù)值分離向量;Z為白化后的信號(hào)滿足E{ZZH}=I。在復(fù)值獨(dú)立分量分析中一般假設(shè)信源信號(hào)的幅值為1，WHZ是對(duì)信源信號(hào)的估計(jì)，因此也應(yīng)滿足幅值為1的條件，即E{WHZ2}=E{WHZZHW}=WHW=1，W滿足歸一化條件。

在E{WHZ2}=WHW=I的約束條件下，復(fù)值FastICA算法代價(jià)函數(shù)為:

式中:β為拉格朗日乘子;采用牛頓迭代算法對(duì)代價(jià)函數(shù)式(4)進(jìn)行優(yōu)化，得到分離向量的迭代公式:

式中:g是G的導(dǎo)數(shù)，g'是g的導(dǎo)數(shù)?？蛇x擇的三種非線性函數(shù)的具體表示式如下［5］:

3 改進(jìn)的復(fù)值FastICA算法

復(fù)值FastICA算法的穩(wěn)健性好壞取決于所采用的非線性函數(shù)，為了提高算法性能，文獻(xiàn)［7］提出了一種改進(jìn)的復(fù)值FastICA算法，該算法采用Huber M估計(jì)函數(shù)作為代價(jià)函數(shù)中的非線性函數(shù)，相對(duì)原FastICA算法穩(wěn)健性更好。其所采用的Huber M估計(jì)函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式如下:

雖然文獻(xiàn)［7］中采用的非線性函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但是由于其二階導(dǎo)數(shù)中存在求矩陣的逆，即“u－3/2”項(xiàng)，工程上實(shí)現(xiàn)矩陣逆運(yùn)算比較復(fù)雜，而且增加了計(jì)算量。

為了避免矩陣求逆運(yùn)算，減少計(jì)算量，提高算法運(yùn)算速度，本文采用Tukey函數(shù)作為代價(jià)函數(shù)中的非線性函數(shù)［12］。在式(3)和式(5)式中，非線性函數(shù)均以估計(jì)函數(shù)的平方作為變量，為此本文對(duì)Tukey函數(shù)進(jìn)行修正，將原變量看作是修正后變量的平方，即修正后的Tukey函數(shù)為

其中:g(u)和g'(u)分別為G(u)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。從上式數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，修正后的Tukey函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不含有矩陣求逆運(yùn)算，因此減少了計(jì)算量。

圖1是Tukey函數(shù)和Huber函數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)，其中Tukey函數(shù)閾值a=2，Huber函數(shù)閾值θ=0.9(文獻(xiàn)［7］中取θ=0.9性能比較理想)。從圖中可以看出，Tukey函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在超過(guò)閾值后為常數(shù)，因此對(duì)超過(guò)閾值的奇異值點(diǎn)有較好抑制性。而Huber函數(shù)超過(guò)閾值后為直線，因此對(duì)奇異值點(diǎn)抑制性能較差。

圖1 非線性函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

4 實(shí)驗(yàn)仿真和結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)仿真中，采用獨(dú)立分量分析算法中常用的

性能指標(biāo)(Performance Index，PI)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，用來(lái)度量算法誤差大小的標(biāo)準(zhǔn)，其具體表達(dá)式如下:

式中:C=WHBA，W是白化后信號(hào)的分離矩陣，B是白化信號(hào)，A是混合矩陣。性能指標(biāo)J的取值越小，表示分離誤差越小。

實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證算法的有效性。

信源信號(hào)為一個(gè)exp(j100πt)、一個(gè)BPSK信號(hào)和一個(gè)QAM信號(hào)，采樣點(diǎn)為1 000點(diǎn)，隨機(jī)產(chǎn)生復(fù)值混合矩陣A為:

圖2 信源信號(hào)

圖3 復(fù)值混合信號(hào)

圖2是信源信號(hào)的波形圖，圖3是混合信號(hào)，圖4是從復(fù)值混合信號(hào)中分離出的信號(hào)，即信源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)。圖4第一個(gè)圖和圖2的第二個(gè)圖對(duì)應(yīng)、圖4的第二個(gè)圖和圖2的第三個(gè)圖對(duì)應(yīng)、圖4的第三個(gè)圖和圖2的第一圖對(duì)應(yīng)。對(duì)比圖4和圖2可以看出，分離信號(hào)和信源信號(hào)波形基本一樣，證明了算法的是有效的，同時(shí)二者之間存在順序、相位的不確定性，該不確定性是復(fù)值ICA固有不確定性，通過(guò)進(jìn)一步處理后并不影響實(shí)際應(yīng)用。

圖4 信源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)

實(shí)驗(yàn)2驗(yàn)證算法的性能。

為了從統(tǒng)計(jì)角度驗(yàn)證算法的性能，在實(shí)驗(yàn)1信源信號(hào)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行1 000次運(yùn)算取平均值，每次運(yùn)算的復(fù)值混合矩陣都隨機(jī)產(chǎn)生，其中基于Huber函數(shù)的FastICA算法門限值取θ=0.9，原FastICA算法采用G1(y)=(a+y)0.5，因?yàn)槲墨I(xiàn)［7］仿真證明此時(shí)這個(gè)兩種算法性能比較好。本文提出的基于Tukey函數(shù)的FastICA算法門限取。

圖5 采樣與性能指標(biāo)直方圖

圖6 采樣點(diǎn)與運(yùn)行時(shí)間關(guān)系曲線

圖5是采樣點(diǎn)與性能指標(biāo)關(guān)系直方圖。從圖中可以看出，在較低采樣點(diǎn)時(shí)本文提出基于Tukey函數(shù)的復(fù)值ICA算法誤差新能要好于其它算法，但是隨著采樣點(diǎn)數(shù)量的增加，本文算法誤差性能與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法基本一樣，但是始終都比原FastICA算法性能要好。

圖6是得到圖5性能時(shí)算法收斂所需的平均運(yùn)行時(shí)間與采樣點(diǎn)關(guān)系曲線，從曲線可以看出三種算法中，本文算法的運(yùn)行時(shí)間最短，證明了本文算法的計(jì)算量小。綜合圖5和圖6可得，本文算法誤差性能與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法性能相當(dāng)，但是比其運(yùn)行時(shí)間短，也就是計(jì)算量小。而且在低采樣時(shí)，本文算法誤差最小。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在復(fù)值FastICA算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的復(fù)值FastICA算法。本文算法誤差性能好于原復(fù)值FastICA算法，與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法相比，本文算法在采樣點(diǎn)較少時(shí)誤差性能更好，大采樣點(diǎn)時(shí)基本一樣，但是本文算的運(yùn)算時(shí)間明顯小于原FastICA算法及基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法，即本文算法的計(jì)算量更小。

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