李保剛

(海軍航空工程學(xué)院，a.兵器科學(xué)與技術(shù)系;b.研究生管理大隊，山東煙臺 264001)

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)機性能的不斷提升和空戰(zhàn)模式的不斷變化，對空空導(dǎo)彈的制導(dǎo)技術(shù)提出了越來越高的要求。當(dāng)前，任何單一的制導(dǎo)方式都已無法滿足導(dǎo)彈在復(fù)雜電磁環(huán)境下的作戰(zhàn)要求，復(fù)合制導(dǎo)成為現(xiàn)代先進空空導(dǎo)彈的主要制導(dǎo)方式，它不僅用于中遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈，而且也開始用于近距空空導(dǎo)彈。如第四代近距空空導(dǎo)彈，因其射程最大可達(dá)20 km左右［1-2］，故多采用捷聯(lián)慣導(dǎo)與紅外成像末制導(dǎo)相結(jié)合的復(fù)合制導(dǎo)技術(shù)，以達(dá)到增大射程、提高截獲概率的目的。

在眾多的復(fù)合制導(dǎo)研究領(lǐng)域中，中末導(dǎo)引律設(shè)計和中末制導(dǎo)交接班方法是兩項關(guān)鍵技術(shù)。導(dǎo)引律是制導(dǎo)系統(tǒng)控制導(dǎo)彈所遵循的規(guī)律，導(dǎo)彈飛行彈道的特性、運動參數(shù)的變化和需用過載的大小都與導(dǎo)引律有關(guān)［3］，而中末導(dǎo)引律設(shè)計的好壞直接影響到導(dǎo)彈的飛行效率和命中概率。這其中既涉及到各種數(shù)學(xué)模型的建立和優(yōu)化，又涉及到中末多種導(dǎo)引律的合理選擇，以利于中制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段的有機銜接;而如何實現(xiàn)從中制導(dǎo)到末制導(dǎo)的平穩(wěn)過渡，則是中末制導(dǎo)交接班所要解決的問題。

1 中末導(dǎo)引律設(shè)計

1.1 中制導(dǎo)律的選擇

對于第四代近距空空導(dǎo)彈而言，越肩發(fā)射已成為一種非常重要的發(fā)射方式，其典型特征為導(dǎo)彈向前發(fā)射，攻擊后方或側(cè)后方目標(biāo)。由于此時離軸角已增至180°，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引方式已不能滿足導(dǎo)彈越肩發(fā)射中制導(dǎo)的要求。因此，需要重新選擇和設(shè)計適合導(dǎo)彈越肩發(fā)射的中制導(dǎo)律［4-5］。

通常，中遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈采用的中制導(dǎo)方法為捷聯(lián)慣導(dǎo)+無線電指令修正，但對于近距空空導(dǎo)彈而言，受制于中制導(dǎo)的使用條件，導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段難以連續(xù)測量目標(biāo)運動參數(shù)，因此，在中遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈中常采用的連續(xù)獲得目標(biāo)運動信息的方法并不適合近距空空導(dǎo)彈。理論分析可知，若無指令修正，中制導(dǎo)時間越長，截獲目標(biāo)的概率就越小。因此，控制中制導(dǎo)飛行時間對于提高近距格斗導(dǎo)彈命中精度十分重要。故應(yīng)盡量縮短曲線彈道，采用快速逼近直線彈道的控制技術(shù)，為此，可供選擇的中制導(dǎo)律有奇異攝動最優(yōu)中制導(dǎo)律、預(yù)測比例導(dǎo)引律、最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律等。文獻(xiàn)［6］指出，若無數(shù)據(jù)鏈指引與修正，導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段使用奇異攝動最優(yōu)中制導(dǎo)律攻擊機動目標(biāo)會造成較大的目標(biāo)指示誤差，且此制導(dǎo)律計算復(fù)雜，對彈上設(shè)備要求較高，因此，奇異攝動最優(yōu)中制導(dǎo)律適用于帶數(shù)據(jù)鏈修正的中遠(yuǎn)距空空導(dǎo)彈，用于攻擊較遠(yuǎn)距離、運動簡單的目標(biāo)。預(yù)測比例導(dǎo)引是一種事先確定預(yù)測攔截點，然后使導(dǎo)彈向預(yù)測攔截點飛行的制導(dǎo)方式。它可使飛行彈道快速逼近直線彈道，從而彈道較為平直，導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段的飛行時間較短，數(shù)學(xué)模型簡單，易于工程實現(xiàn)。但當(dāng)目標(biāo)存在較大機動時，同奇異攝動最優(yōu)中制導(dǎo)律一樣，也會造成較大的目標(biāo)指示誤差。最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律以導(dǎo)彈末速度最大為性能指標(biāo)，制導(dǎo)律形式較為簡單，彈載計算量小，對目標(biāo)的機動具有較強的反應(yīng)能力。因此，從工程實現(xiàn)的難易程度、中制導(dǎo)時間的長短、對機動目標(biāo)的反應(yīng)能力等方面綜合考慮，在第四代近距空空導(dǎo)彈的中制導(dǎo)段采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律能夠滿足越肩發(fā)射的需要。此外，由于末制導(dǎo)選擇使用比例導(dǎo)引律，因此，近距空空導(dǎo)彈的中制導(dǎo)段采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律可以相對簡化中末交接算法，有利于中末交接的平穩(wěn)過渡。由于本文只研究導(dǎo)彈的彈道運動，不考慮其姿態(tài)運動，因此做如下假設(shè):1)導(dǎo)彈和目標(biāo)均看作質(zhì)點;2)導(dǎo)彈和目標(biāo)在同一水平面運動;3)轉(zhuǎn)彎期間導(dǎo)彈質(zhì)量和受到的推力大小不變。

以載機發(fā)射導(dǎo)彈時的位置O為原點(M0)，導(dǎo)彈初始速度方向為X軸，建立直角坐標(biāo)系。導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎段與目標(biāo)的幾何關(guān)系如圖1所示。圖中:M為導(dǎo)彈位置;T為目標(biāo)位置;v為導(dǎo)彈速度矢量;vt為目標(biāo)速度矢量;P為導(dǎo)彈推力;A為氣動阻力;N為氣動法向力;γ為導(dǎo)彈航跡角(v與OX軸的夾角);γt為目標(biāo)航跡角(vt與OX軸的夾角);q為目標(biāo)視線角(彈目視線MT與OX軸的夾角);θ為推力與OX軸的夾角。

圖1 轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)彈與目標(biāo)的位置幾何關(guān)系Fig.1 The geometrical relationship between missile and target during turn phase

由圖1所示幾何關(guān)系，可以得到以下狀態(tài)方程

切向與法向加速度分別為

為計算方便，以原點O為中心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系OXY，使OX軸與初始目標(biāo)視線M0T0重合，得到坐標(biāo)系OX'Y'，如圖2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系后的導(dǎo)彈與目標(biāo)的位置幾何關(guān)系Fig.2 The geometrical relationship between missile and target after rotating reference frame

由坐標(biāo)系OXY到坐標(biāo)系OX'Y'的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程為

其中，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

越肩發(fā)射的轉(zhuǎn)彎段要求導(dǎo)彈的彈道角能夠滿足導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)的要求，同時使導(dǎo)彈末速度滿足末制導(dǎo)的要求，這是個典型的最優(yōu)控制問題?？蓺w納為導(dǎo)彈在推力的作用下，在一定時間內(nèi)轉(zhuǎn)過某個角度的航向角，并使導(dǎo)彈的末速度最大。即在彈道的末端消除垂直初始視線的速度分量，從而使指向目標(biāo)的速度最大［7-8］。用泛函指標(biāo)描述為

這樣就得到了一個終點時間固定，終點狀態(tài)自由的最優(yōu)控制問題，其中推力矢量角θ'為控制量，即u(t)=θ'(t)。

初始條件

終端條件

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)

H［x(t)，u(t)，λ(t)，t］= λT(t)f［x(t)，u(t)，t］(10)式中:λ(t)=［λ1(t)，λ2(t)，λ3(t)，λ4(t)］T為拉格朗日乘子向量;f［x(t)，u(t)，t］為狀態(tài)方程。

考慮到導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎時間一般要求很短，在這段時間內(nèi)導(dǎo)彈的速度很低，其氣動力較小，矢量推力起主要作用，因此，導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎期間可忽略氣動力。則簡化后的哈密爾頓函數(shù)為

由?H/?u=0 得

協(xié)態(tài)方程為

由橫截條件解得 λ1(t)= λ2(t)=0，λ3(t)=-1，λ4(t)=C(C為常值)，則可得最佳推力矢量角是一常值。初始的推力矢量角由式(15)確定

即

轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系OXY中為

由式(17)可以看出，上述轉(zhuǎn)彎控制律與初始目標(biāo)視線角、導(dǎo)彈初始速度以及轉(zhuǎn)彎時間有關(guān)，實際上是使導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎完成時指向目標(biāo)的初始位置。

當(dāng)目標(biāo)在導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎過程中速度較大或作大過載機動時，導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎完成時可能會丟失目標(biāo)，即目標(biāo)位置超出導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的捕獲范圍。因此，導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎完成時應(yīng)指向目標(biāo)的當(dāng)前時刻位置，在此引入目標(biāo)的預(yù)測位置量，即，用

坐標(biāo)系OXY中導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎段的最優(yōu)軌跡為

1.2 末制導(dǎo)律的選擇

與中制導(dǎo)相比，末制導(dǎo)有以下3個特點:

1)末制導(dǎo)段要以脫靶量為性能指標(biāo)，要求把導(dǎo)彈導(dǎo)引到能保證與目標(biāo)交會的一定范圍內(nèi)，保證引信可靠起爆并對目標(biāo)可靠殺傷;

2)在末制導(dǎo)段應(yīng)使導(dǎo)彈能量消耗盡可能小，這樣才能保證在與目標(biāo)交會時，導(dǎo)彈具有最大的飛行速度，從而提高交會精度;

3)末制導(dǎo)段導(dǎo)引頭可直接獲得機動目標(biāo)的運動信息，因此在末制導(dǎo)段可直接對目標(biāo)的位置、速度和加速度的狀態(tài)實時估計。

基本比例導(dǎo)引律由于具有嚴(yán)格的理論分析與證明以及良好的工程可實現(xiàn)性，因而在國內(nèi)外空空導(dǎo)彈中得到普遍的應(yīng)用。它要求導(dǎo)彈在飛行過程中，其速度矢量的轉(zhuǎn)動角速度與目標(biāo)視線的轉(zhuǎn)動角速度成一定的比例關(guān)系［9］。優(yōu)點是彈道比較平直，技術(shù)上容易實現(xiàn)，能對付機動的目標(biāo)和截?fù)舻涂诊w行的目標(biāo)，并且導(dǎo)引的精度較高，因此，近距空空導(dǎo)彈采用基本比例導(dǎo)引律作為末制導(dǎo)控制律較為合適。幾何關(guān)系如圖3所示。

圖3 末制導(dǎo)段導(dǎo)彈與目標(biāo)幾何關(guān)系Fig.3 The geometrical relationship between missile and target during terminal guidance phase

圖中:M為導(dǎo)彈;T為目標(biāo);v為導(dǎo)彈速度矢量;vt為目標(biāo)速度矢量;γ為導(dǎo)彈航跡角;γt為目標(biāo)航跡角;η為導(dǎo)彈前置角(v與彈目視線MT的夾角);ηt為目標(biāo)前置角(vt與彈目視線MT的夾角);q為目標(biāo)視線角(OX軸與彈目視線MT的夾角);R為導(dǎo)彈與目標(biāo)間的相對距離。

導(dǎo)彈與目標(biāo)間的相對運動關(guān)系可用下式表示

比例導(dǎo)引法的導(dǎo)引方程為

式中，K為比例系數(shù)。

2 中末制導(dǎo)交接班方法設(shè)計

對于采用復(fù)合制導(dǎo)方式的空空導(dǎo)彈而言，無論是中距攔射導(dǎo)彈，還是近距格斗導(dǎo)彈，都必然會涉及到中末制導(dǎo)交接班問題。具體來說，中末制導(dǎo)交接班就是指由中制導(dǎo)向末制導(dǎo)過渡的過程。中末制導(dǎo)交接班需要完成兩個方面的基本工作:中末段導(dǎo)引頭交接班和中末段彈道交接班。中末段導(dǎo)引頭交接班是指在允許的誤差條件下，把導(dǎo)彈平穩(wěn)、快速地導(dǎo)向某空域并使導(dǎo)引頭自動截獲目標(biāo):中末段彈道交接班是保證中制導(dǎo)段與末制導(dǎo)段的平滑過渡。

對于紅外近距格斗導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭交接班來說，中末交接班應(yīng)滿足兩個基本要求:距離截獲、角度截獲。距離截獲是指當(dāng)彈目距離達(dá)到末制導(dǎo)導(dǎo)引頭作用距離之內(nèi)時，即認(rèn)為實現(xiàn)了距離截獲;角度截獲是指在中制導(dǎo)末段，必須使目標(biāo)落在末制導(dǎo)導(dǎo)引頭作用視場內(nèi)，這樣才能保證導(dǎo)彈順利進入末制導(dǎo)。

對于導(dǎo)彈的中末彈道交接班則要求中末制導(dǎo)段彈道在銜接處平滑過渡。彈道過渡包括一階平滑過渡和二階平滑過渡。一階平滑過渡是指在銜接處保證兩彈道速度方向一致，即Δθm=0;二階平滑過渡是指在過渡點保證兩彈道的速度矢量與法向加速度方向都一致，即Δθm=0，Δθ·m=0。若末制導(dǎo)采用比例導(dǎo)引律，則彈道只取決于比例導(dǎo)引系數(shù)和目標(biāo)視線角速度，因此自動滿足一階平滑過渡，但需設(shè)計二階平滑過渡的條件。為了保證導(dǎo)彈在中末交接時的平滑過渡，本文應(yīng)用拉格朗日三階插值算法構(gòu)造了一種中末交接班的平滑過渡交接律［10］。

設(shè)t0、t1分別為交接班開始和結(jié)束時間，T=t1-t0為交班時間，另再取交接班前T時刻t-1和交接班后T時刻t2，各時刻加速度值分別為 ac(t-1)、ac(t0)、am(t1)、am(t2)，構(gòu)造拉格朗日型插值多項式作為交接段加速度

式中，Ii(t)(i=-1，0，1，2)，為 3 次插值基函數(shù)，函數(shù)值滿足表1。

表1 3次插值基函數(shù)表Table 1 Cubic base function

得到

式中，插值基函數(shù)與 ac(t-1)、ac(t0)、am(t1)、am(t2)無關(guān)，由插值節(jié)點 t-1、t0、t1、t2所決定。當(dāng) t=t0時，ajj(t)=ac(t0)，當(dāng) t=t1時，ajj(t)=am(t1)，實現(xiàn)順利過渡。這種平滑交接方式，不要求交接點彈道加速度為零，能適應(yīng)不同導(dǎo)引彈道的平滑過渡，產(chǎn)生的彈道航向誤差小，待定參數(shù)只有一個，即交班時間T。

3 彈道仿真結(jié)果

基于上述分析，下面給出近距空空導(dǎo)彈在不同目標(biāo)進入角條件下的復(fù)合制導(dǎo)彈道仿真結(jié)果。其中，中制導(dǎo)采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律，末制導(dǎo)采用基本比例導(dǎo)引法，中末交接班采用平滑過渡交接律。并且與中末制導(dǎo)階段均采用基本比例導(dǎo)引律的彈道仿真結(jié)果進行了對比。圖4～圖15所示為一些典型情況下的仿真結(jié)果。

圖4 復(fù)合制導(dǎo)彈道曲線Fig.4 Trajectory of compound guidance

圖5 全程比例導(dǎo)引彈道曲線Fig.5 Trajectory of proportional guidance

圖6 轉(zhuǎn)彎段過載曲線Fig.6 Overload during turn phase

圖7 導(dǎo)彈速度曲線Fig.7 Velocity of the missile

通過以上彈道仿真曲線對比圖，可以分析得出以下幾點結(jié)論。

1)圖4、圖5表明，采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引中制導(dǎo)+比例導(dǎo)引末制導(dǎo)方式的彈道要比全程采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)方式的彈道更短，導(dǎo)彈可以更迅速地飛往目標(biāo)，既節(jié)約飛行時間又增加導(dǎo)彈對目標(biāo)的截獲概率，這說明在中制導(dǎo)段，近距空空導(dǎo)彈采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引律要優(yōu)于比例導(dǎo)引律。

圖8 復(fù)合制導(dǎo)彈道曲線Fig.8 Trajectory of compound guidance

圖9 全程比例導(dǎo)引彈道曲線Fig.9 Trajectory of proportional guidance

圖10 轉(zhuǎn)彎段過載曲線Fig.10 Overload during turn phase

圖11 導(dǎo)彈速度曲線Fig.11 Velocity of the missile

2)圖4、圖8、圖12表明，導(dǎo)彈在復(fù)合制導(dǎo)中末交接時彈道都很平滑，可知，平滑過渡交接班方法能夠滿足各種發(fā)射條件下的中末制導(dǎo)彈道交接班要求，實現(xiàn)了彈道的平滑過渡。

3)圖9、圖13表明，在大離軸角發(fā)射的情況下，采用全程比例導(dǎo)引制導(dǎo)的導(dǎo)彈不能捕獲目標(biāo)，導(dǎo)彈脫靶;圖8、圖12則表明采用最優(yōu)預(yù)測比例導(dǎo)引中制導(dǎo)+比例導(dǎo)引末制導(dǎo)的導(dǎo)彈仍能快速完成轉(zhuǎn)彎，命中后方目標(biāo)，從而使導(dǎo)彈具備越肩發(fā)射能力。

圖12 復(fù)合制導(dǎo)彈道曲線Fig.12 Trajectory of compound guidance

圖13 全程比例導(dǎo)引彈道曲線Fig.13 Trajectory of proportional guidance

圖14 轉(zhuǎn)彎段過載曲線Fig.14 Overload during turn phase

圖15 導(dǎo)彈速度曲線Fig.15 Velocity of the missile

4)圖11、圖15表明，當(dāng)導(dǎo)彈大離軸角發(fā)射時，轉(zhuǎn)彎段的導(dǎo)彈速度先減小后逐漸增大。導(dǎo)彈速度先減小的原因是由于導(dǎo)彈矢量推力與空氣動力的合力方向與導(dǎo)彈速度方向正好相反。導(dǎo)彈速度的減小雖然在一定程度上損失了末速度，但實現(xiàn)了導(dǎo)彈的快速轉(zhuǎn)向，從而有效減小了導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)彎半徑。

5)圖10、圖11、圖14、圖15表明，在大離軸角發(fā)射的轉(zhuǎn)彎段期間，隨著導(dǎo)彈速度逐漸減小，導(dǎo)彈過載值逐漸增至最大值，當(dāng)轉(zhuǎn)彎臨近結(jié)束時，導(dǎo)彈過載又呈減小的趨勢。

6)文中所設(shè)計的最優(yōu)預(yù)測比例中制導(dǎo)律，無需載機通過指令校正的方式提供目標(biāo)信息，只需要目標(biāo)的方位信息即可，比較適合無數(shù)據(jù)修正的近距空空導(dǎo)彈中制導(dǎo)段使用。

4 結(jié)束語

文中通過對近距空空導(dǎo)彈中制導(dǎo)律和末制導(dǎo)律的選擇，分析了中末制導(dǎo)交接班的基本要求，應(yīng)用拉格朗日三階插值算法構(gòu)造了一種中末交接班的平滑過渡交接律。對不同初始條件下，復(fù)合制導(dǎo)和單一制導(dǎo)方式的導(dǎo)彈彈道、復(fù)合制導(dǎo)下的轉(zhuǎn)彎段過載和導(dǎo)彈速度進行了仿真，并給出了相應(yīng)的分析結(jié)論，為進一步深入研究第四代近距空空導(dǎo)彈復(fù)合制導(dǎo)技術(shù)提供了一種較好的借鑒思路和參考方法。

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