莊 浩， 高貴龍， 范志強(qiáng)， 王明峰， 鄭亦莊

(溫州大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院， 溫州 325035)

0 引言

近年來，量子邏輯門作為量子計(jì)算的基本元素之一已經(jīng)得到了廣泛的研究.各種各樣制備量子邏輯門的方案相繼被提出.常見的單比特邏輯門有：Z門、X門、Y門等，常見的雙比特門有Hardmand 門、控制相位門(C-P門)、控制非門(C-NOT門)、交換門(iswap門)等.這些基本門的性質(zhì)和制備方法也已得到了廣泛的研究，在實(shí)驗(yàn)上一些門也已被制備出來，如在腔電動(dòng)力學(xué)中(C-QED)制備原子的量子門[1,2]，在離子囚禁系統(tǒng)中制備的量子門[3]，在超導(dǎo)系統(tǒng)中制備的量子門[4,5]，在光學(xué)系統(tǒng)中制備光子的量子門[6，7]，量子點(diǎn)系統(tǒng)中制備的量子門[8]等.雖然已經(jīng)在理論上證明任意的多比特量子門都可以分解為單比特量子門和雙比特控制量子門，但隨著比特?cái)?shù)目的增加，單比特門和控制門的數(shù)目和組成的結(jié)構(gòu)將變得越來越復(fù)雜，并且在實(shí)驗(yàn)上操作起來也會(huì)變得更加麻煩，誤差也會(huì)越來越大.在實(shí)驗(yàn)上每一次單比特操作都會(huì)帶來一定的誤差，經(jīng)過多次操作之后必然會(huì)使誤差變的很大.所以直接實(shí)現(xiàn)多比特量子邏輯門變的尤為重要.

近些年來，一些直接來實(shí)現(xiàn)多量子比特邏輯門的方案已被提出，如n比特同時(shí)控制單個(gè)比特的邏輯門[9，10]、單比特同時(shí)控制n個(gè)比特的量子邏輯門[11]等.多比特量子邏輯門可被廣泛的應(yīng)用于量子計(jì)算[12]、量子糾錯(cuò)[13]、量子克隆[14]、量子糾纏態(tài)的制備中[15].

含有約瑟夫森結(jié)的超導(dǎo)量子系統(tǒng)做為量子計(jì)算機(jī)的最佳候選者之一，它有很多優(yōu)點(diǎn)，比如便于擴(kuò)展、便于操作和控制等，因而已經(jīng)得到廣泛的研究.尤其是近些年來，隨著科學(xué)技術(shù)的提高，改進(jìn)后的超導(dǎo)比特的消相干時(shí)間已可以達(dá)到μs級(jí)別，這使得超導(dǎo)比特已經(jīng)成為量子信息科學(xué)的最熱門研究對(duì)象之一.超導(dǎo)比特包括：電荷比特、磁通比特、相比特[16，17].超導(dǎo)比特之間的耦合方式也有很多種，電荷比特之間可以通過電容直接耦合起來，也可以通過一個(gè)中介如一維線性諧振腔(TLR)耦合起來，或者通過另一個(gè)電荷比特作為中介將兩個(gè)電荷比特耦合起來，而磁通比特則可以通過電感將其耦合起來，或是通過一個(gè)中介如可等價(jià)為量子諧振腔的LC電路將其耦合起來等等[17].最近幾年超導(dǎo)系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)上也已取得了很大的發(fā)展，如已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上制備出了薛定諤貓態(tài)，量子邏輯門，GHZ態(tài)[18]等.

基于超導(dǎo)量子系統(tǒng)的發(fā)展，提出一種在超導(dǎo)系統(tǒng)中來實(shí)現(xiàn)磁通比特的1→n控制相位門的制備方案.與以往方案不同，我們選用磁通比特作為基本比特，選用LC電路作為耦合中介來實(shí)現(xiàn)磁通比特1→n控制相位門.本文有以下幾部分構(gòu)成，第二部分將介紹我們所用的模型及其此系統(tǒng)的哈密頓量，第三部分將給出具體的實(shí)現(xiàn)過程，第四部分討論此種方案在實(shí)驗(yàn)上的可行性并給出總結(jié).

1 系統(tǒng)及其哈密頓量

選取的系統(tǒng)如圖1(b)所示，由n個(gè)磁比特和1個(gè)LC諧振腔組成.磁比特通過自身電感與LC電路耦合起來，假設(shè)磁比特彼此之間相隔的足夠遠(yuǎn)，因而磁比特之間沒有直接的耦合作用.磁比特的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，它由一個(gè)含有3個(gè)約瑟夫森結(jié)的超導(dǎo)線圈構(gòu)成，其中的兩個(gè)大結(jié)具有相同的約瑟夫森能和相同的電容即滿足條件EJ1=EJ2=EJ和CJ1=CJ2=CJ，另外的一個(gè)小結(jié)滿足條件EJ3=αEJ和CJ3=αCJ，在一定條件下磁比特可等價(jià)于與一個(gè)二能級(jí)的人造原子.此結(jié)構(gòu)的磁比特可以通過一個(gè)外加的磁通Φe和一個(gè)隨時(shí)間變化的外磁通Φf(t)來進(jìn)行調(diào)節(jié).在一定條件下此系統(tǒng)的哈密頓量可描述為[19,20]：

圖1 (a)基本的磁比特模型；(b)實(shí)現(xiàn)N個(gè)磁化比特耦合模型(a) 基本的磁比特，可以通過外加磁場(chǎng)來調(diào)節(jié).(b) 通過一個(gè)可以等效為量子諧振腔的LC電路作為中介將N個(gè)磁比特耦合起來.

為了計(jì)算簡便，我們?nèi)∷械拇疟忍氐念l率相同都為wq，所有磁比特的經(jīng)典拉比頻率也相同都為Ω，所有磁比特與LC諧振腔的耦合常數(shù)也相同都為g，所有的隨時(shí)間變化的外加脈沖的頻率都為w，此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量可表示為：

H=H0+HI(2)

當(dāng)wq=w時(shí)，在相互作用繪景中哈密頓量(2)可表示為：

+H.c(4)

當(dāng)拉比頻率滿足條件Ω?|Δ|，g，可以略去高頻振蕩項(xiàng)，此時(shí)系統(tǒng)的有效哈密頓量為[22，23]：

(5)

哈密頓量(5)的時(shí)間演化算符可寫為如下形式[24，25]：

(6)

經(jīng)過時(shí)間t=τ=2π/Δ后，得到B(τ)=0和A(τ)=g2τ/4Δ，此時(shí)可得：

(7)

由(3)式和(7)式，得到此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量為：

(8)

2 實(shí)現(xiàn)磁比特的1→n控制相位門

本節(jié)將展示如何來實(shí)現(xiàn)磁比特的1→n的控制相位門的實(shí)現(xiàn).

第一步，選取n+1個(gè)磁比特通過電感與LC諧振腔耦合起來，如圖1所示，此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量為：

取演化時(shí)間滿足條件t1=τ1=2π/Δ，并且取所有的拉比頻率都為Ω(可以通過外加變化的磁場(chǎng)Φf,j(t)來調(diào)節(jié))，耦合常數(shù)都為g，Δ=w-wc，則由上節(jié)可得此時(shí)系統(tǒng)的演化算符為：

其中：

第二步，通過調(diào)節(jié)第一個(gè)磁比特的外加磁場(chǎng)Φx,1來調(diào)節(jié)第一個(gè)磁比特的頻率wq,1，使得wq,1?wc，即此時(shí)第一個(gè)磁比特與LC諧振器不發(fā)生作用；并且調(diào)節(jié)第一個(gè)磁比特的外加變化的磁場(chǎng)Φf,1(t)=0，即Ω1=0；則此時(shí)系統(tǒng)的哈密頓量為：

取除第一磁比特外的其余所有磁比特的頻率都為w′，所有的拉比頻率都為Ω′(可以通過外加變化的磁場(chǎng)Φf,j(t) 來調(diào)節(jié))，耦合常數(shù)都為g，Δ′=w′-wc，取演化時(shí)間滿足條件t2=τ=2π/Δ，則此時(shí)系統(tǒng)的演化算符為：

(11)

經(jīng)過以上三步，可得系統(tǒng)的演化算符為：

其中：Up(1,j)=exp[-i2λτ(σx,1+σx,j-σx,1σx,j)]取2λτ=(2k+1)π/4時(shí)Up(1,j)=exp[-i(2k+1)π(σx,1+σx,j-σx,1σx,j)/4]

可證明：

U(1,j)|e1〉|ej〉=|e1〉|ej〉

U(1,j)|e1〉|gj〉=|e1〉|gj〉

U(1,j)|g1〉|ej〉=|g1〉|ej〉

U(1,j)|g1〉|gj〉=-|g1〉|gj〉(14)

由式(13)和(14)可看出我們同時(shí)實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)磁比特對(duì)其它n個(gè)磁比特的相位控制，即實(shí)現(xiàn)了磁比特的1→n控制相位門，并且可以看出此控制相位門的操作時(shí)間與比特?cái)?shù)無關(guān)，始終為3τ.

3 結(jié)束語

下面討論此方案的實(shí)驗(yàn)可行性，主要討論操作時(shí)間.在實(shí)驗(yàn)上g～2π×200 MHz，Ω～2π×400 MHz[20-26]，我們?nèi)=2π×150 MHz，Δ=2π×100 MHz，Ω=2π×400 MHz，可算得總的操作時(shí)間為30 ns.在實(shí)驗(yàn)上，磁比特的消相干約為1.5μs[27]，這意味著在系統(tǒng)的消相干時(shí)間內(nèi)可實(shí)現(xiàn)50次1→n控制相位門的操作，這足以實(shí)現(xiàn)一些簡單的量子計(jì)算.

總的來說，和以往方案不同的是，選用了磁通比特作為基本比特，選用LC電路作為耦合中介來實(shí)現(xiàn)磁通比特1→n控制相位門.我們通過對(duì)外加磁場(chǎng)的簡單調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)了磁比特的1→n控制相位門，此門的操作時(shí)間與比特?cái)?shù)目無關(guān)，因而可以在較短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一個(gè)比特同時(shí)控制任意多個(gè)比特的控制相位操作，我們還簡單分析了此方案的實(shí)驗(yàn)可行性.

[1] P. Domokos, J. Raimond, M. Brune, et al. Cavity QED simple cavity-QED two-bit universal quantum logic gate: The principle and expected performances[J].Physical Review A, 1995,52:3554-3559.

[2] A. Rauschenbeutel, G. Nogues, S. Osnaghi,et al. Cavity QED coherent operation of a tunable quantum phase gate in cavity QED[J]. Physical Review Letters, 1999,83:5166.

[3] D. Leibfried, B. DeMarco, V. Meyer, et al. Ion trap experimental demonstration of a robust, high-fidelity geometric two ion-qubit phase gate[J].Nature, 2003,422: 412-415.

[4] T. Yamamoto, Y.A. Pashkin, O. Astafiev,et al. Demonstration of conditional gate operation using superconducting charge qubits[J]. Physical Review Letters, 2003,425:941.

[5] K.H. Song, Z.W. Zhou, G.C. Guo, et al.Quantum logic gate operation and entanglement with superconducting quantum interference devices in a cavity via a raman transition[J]. Physical Review A, 2005,71:310.

[6] J. O′brien, G. Pryde, A. White, et al.Photo gate demonstration of an all-optical quantum controlled-NOT gate[J]. Nature, 2004,426:264-266.

[7] Z. Zhao, A.N. Zhang, Y.A. Chen, et al.Photo gate experimental demonstration of a nondestructive controlled-NOT quantum gate for two independent photon qubits[J]. Physical Review Letters, 2005,94:501.

[8] X. Li, Y. Wu, D. Steel, et al.Quantum dot An all-optical quantum gate in a semiconductor quantum dot[J]. Science,2003, 301:809.

[9] T. Monz, K. Kim, W. H?nsel, et al. Duo men realization of the quantum toffoli gate with trapped ions[J]. Physical Review Letters, 2009,102:501.

[10] C.-P. Yang, S. Han. Duo men realization of an n-qubit controlled-U gate with superconducting quantum interference devices or atoms in cavity QED[J]. Physical Review A, 2006,73:317.

[11] C.-P. Yang, Y.-x. Liu, F. Nori. Duo men phase gate of one qubit simultaneously controlling n qubits in a cavity[J]. Physical Review A, 2010,81:323.

[12] L.K. Grover, ji suan. Quantum computers can search rapidly by using almost any transformation[J], Physical Review Letters,1998, 80:4329.

[13] P.W. Shor, jiu cuo. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory[J]. Physical Review A,1995,52:2493.

[14] S.L. Braunstein, V. Bu?ek, M. Hillery, et al. Quantum-information distributors: Quantum network for symmetric and asymmetric cloning in arbitrary dimension and continuous limit[J]. Physical Review A, 2001,63:313.

[16] Y. Makhlin, G. Sch n, A. Shnirman, et al. Quantum-state engineering with Josephson-junction devices[J]. Reviews of modern physics, 2001,73:357.

[17] G. Wendin, V. Shumeiko. Superconducting quantum circuits, qubits and computing[J], Arxiv preprint cond-mat, 2005,508:729.

[18] L. DiCarlo, M. Reed, L. Sun, et al. GHZ nature preparation and measurement of three-qubit entanglement in a superconducting circuit[J]. Nature,2010, 467:574-578.

[19] Y.-x. Liu, L.F. Wei, J.R. Johansson, et al.Hamiltonian lian superconducting qubits can be coupled and addressed as trapped ions[J]. Physical Review B, 2007,76:518.

[20] Y.-x. Liu, C.P. Sun, F. Nori. Hamiltonian liang scalable superconducting qubit circuits using dressed states[J]. Physical Review A, 2006,74:321.

[21] T.P. Orlando, J.E. Mooij, L. Tian, et al.Superconducting persistent-current qubit[J]. Physical Review B, 1999,60:398.

[22] S.-B. Zheng, jin si. Quantum-information processing and multiatom-entanglement engineering with a thermal cavity[J]. Physical Review A, 2002,66:303.

[23] E. Solano, G.S. Agarwal, H. Walther, et al.Strong-Driving-Assisted multipartite entanglement in cavity QED[J]. Physical Review Letters, 2003,90:903.

[24] A. S?rensen, K. M?lmer, bian hua. Entanglement and quantum computation with ions in thermal motion[J]. Physical Review A, 2000,62:311.

[25] X. Wang, A. S?rensen, K. M?lmer, et al.Multibit gates for quantum computing[J]. Physical Review Letters, 2001,86:3907.

[26] A. Fedorov, A.K. Feofanov, P. Macha, et al. Rabi frequency strong coupling of a quantum oscillator to a flux qubit at Its symmetry point[J]. Physical Review Letters, 2010,105:503.

[27] P.J. Leek, M. Baur, J.M. Fink, et al. Coherence time cavity quantum electrodynamics with separate photon storage and qubit readout modes[J]. Physical Review Letters, 2010,104:504.