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        基于敏度分析的框架抗震優(yōu)化

        2012-02-13 09:01:44劉齊茂燕柳斌
        振動(dòng)與沖擊 2012年17期
        關(guān)鍵詞:一階二階層間

        劉齊茂,燕柳斌

        (1.廣西工學(xué)院 土木建筑系,廣西 柳州 545006;2.廣西大學(xué) 土木建筑學(xué)院,南寧 530004)

        結(jié)構(gòu)的抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的范疇,具有計(jì)算量巨大、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題建模非常復(fù)雜等特點(diǎn),因此該領(lǐng)域的研究進(jìn)展非常緩慢。根據(jù)各國規(guī)范的規(guī)定、震害經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果及工程實(shí)例分析,在地震作用下采用多高層建筑結(jié)構(gòu)層間相對位移作為衡量結(jié)構(gòu)變形能力從而判斷結(jié)構(gòu)是否滿足建筑功能要求的指標(biāo)是合理的。因此Zou等[1]建立以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為目標(biāo),同時(shí)滿足層間相對位移和設(shè)計(jì)變量約束的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,分別以振型分解反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法為基礎(chǔ)推導(dǎo)出抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提出優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,是一種有效和實(shí)用的抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,但該方法也存在不足,如只要求地震響應(yīng)過程中層間相對位移在某些時(shí)點(diǎn)(加速度峰值及鄰近的一些時(shí)點(diǎn))滿足約束條件,但實(shí)際上,當(dāng)在優(yōu)化過程中出現(xiàn)比較柔的結(jié)構(gòu)時(shí),層間相對位移響應(yīng)的最大值并不一定出現(xiàn)在加速度峰值及鄰近的一些時(shí)點(diǎn),故該方法得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)在地震響應(yīng)過程中不一定能滿足約束條件,可能得到不可行的解。Lagarosa等[2]以時(shí)程分析法為基礎(chǔ),并考慮材料的非線性,采用進(jìn)化算法求解了以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為目標(biāo),同時(shí)滿足層間相對位移和設(shè)計(jì)變量約束的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,但該方法由于采用隨機(jī)搜索方法,存在計(jì)算工作量過大的缺點(diǎn)。黃冀卓等[3]以鋼框架質(zhì)量最輕和結(jié)構(gòu)總動(dòng)應(yīng)變能最小為目標(biāo),基于相關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范,給出了抗震鋼框架多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種合理提法,采用Pareto遺傳算法求解抗震鋼框架多目標(biāo)優(yōu)化問題,得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的妥協(xié)解。結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域,結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)方法從數(shù)學(xué)的角度看可分為零階優(yōu)化方法(非梯度類算法)[4]、一階優(yōu)化方法[5]和二階優(yōu)化方法。零階優(yōu)化方法不需要計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù),如粒子群方法[6]、遺傳算法[7-8]和模擬退火算法[9]。一階優(yōu)化方法需要計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)如共軛梯度法[10],一階優(yōu)化方法關(guān)鍵是計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)(也稱敏度分析),國內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)發(fā)展了多種敏度分析方法[11-12]。二階優(yōu)化方法不僅需要計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù),而且需要計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)(也稱Hessian矩陣分析),如牛頓類算法[13],結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算難度非常大,因此在國內(nèi)外很少見到報(bào)道。通常,二階優(yōu)化方法的計(jì)算效率高于一階優(yōu)化方法,一階優(yōu)化方法的計(jì)算效率高于零階設(shè)計(jì)方法。

        本文的主要工作是Newmark-β法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了層間相對位移對設(shè)計(jì)變量一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式,建立結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,構(gòu)造求解結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)問題二階優(yōu)化算法。最后演示了一個(gè)三層兩跨的平面框架進(jìn)行抗震優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化結(jié)果表明本文的抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

        1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

        框架具有i=1,2,3,…,N個(gè)單元組,單元的橫截面為矩形,如圖1所示,橫截面的寬度(be)和高度(he)為設(shè)計(jì)變量。

        為了討論的方便,設(shè)計(jì)變量向量定義為:

        框架抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,由設(shè)計(jì)變量表示為:

        其中:ρ為材料的密度;li為第i個(gè)單元組中單元的長度;ni為第i個(gè)單元組所含單元的數(shù)目。

        圖1 平面梁單元Fig.1 Plane beam element

        對高層建筑結(jié)構(gòu)而言,結(jié)構(gòu)的側(cè)移通常成為設(shè)計(jì)的控制指標(biāo)。高層建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)必須限制結(jié)構(gòu)的層間相對位移,因?yàn)檫^大的層間相對位移會(huì)使主體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂縫甚至破損,使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加內(nèi)力,嚴(yán)重使會(huì)加速結(jié)構(gòu)的倒塌,使填充墻及建筑裝修出現(xiàn)裂縫或破損,使電梯軌道變形過大,使人不舒服,影響使用?!督ㄖ拐鹪O(shè)計(jì)規(guī)范》[14]規(guī)定,以彈性方法計(jì)算的層間相對位移應(yīng)滿足以下條件:

        式中,ΔuJ(t)為在t時(shí)刻第J層的彈性層間相對位移;uJ(t)和uJ-1(t)分別為在t時(shí)刻相鄰的第J和J-1樓層的水平位移;HJ為第J層的高度;θJ為抗震設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定的第J層層間轉(zhuǎn)角;TT為地震的持續(xù)時(shí)間。

        在抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)中,除了考慮層間相對位移的約束外,構(gòu)件的強(qiáng)度和延性約束也是非常重要的,但由于問題本身很復(fù)雜,在本文中只考慮層間相對位移的約束(假設(shè)結(jié)構(gòu)的側(cè)移是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制指標(biāo)),但文中的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法將可推廣到考慮構(gòu)件的強(qiáng)度和延性約束、同時(shí)考慮受到靜力和動(dòng)力約束的情況,抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)問題通過式(1)~式(4)描述為:

        本文將采用高效的牛頓類優(yōu)化算法求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型式(5),優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可通過積分型罰函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗袩o約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,然后計(jì)算罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的梯度和海森矩陣,從而可構(gòu)造高效的牛頓類優(yōu)化算法。由式(5)可見,要計(jì)算罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的梯度和海森矩陣,必須計(jì)算層間相對位移和質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)。質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是很容易解決的問題,因此層間相對位移對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵。

        2 一、二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算

        2.1 層間位移及其對設(shè)計(jì)變量的一、二階導(dǎo)數(shù)

        2.1.1 層間相對位移

        初始條件:

        其中:M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;x(t)、(t)、(t)分別為相對于地面的結(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度;Eu為一向量,在節(jié)點(diǎn)線位移u方向、v方向和節(jié)點(diǎn)角位移θ方向上分別為1、0、0。

        結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣采用瑞利阻尼如下:

        其中,

        式中,ω1、ω2分別為結(jié)構(gòu)的第一、二階固有頻率;ζ1、ζ2為阻尼比,本文取 ζ1=ζ2=0.05。

        將采用Newmark-β法求解(6)、式(7),框架在地震作用下層間相對位移響應(yīng)的計(jì)算步驟如下:

        (1)初始計(jì)算

        其中,積分參數(shù)δ≥0.5,β=0.25(0.5+δ)2;⑤ 計(jì)算有效的剛度矩陣K*:

        (2)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的響應(yīng)

        ① 計(jì)算t+Δt時(shí)刻有效的荷載向量F*:

        ② 計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移x(t+Δt):

        ③ 計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)加速度(t+Δt):

        ⑤ 用式(4)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的層間相對位移ΔuJ(t+Δt);

        (3)重復(fù)(2)步驟①~⑤即可獲得各個(gè)時(shí)刻的層間相對位移。

        2.1.2層間位移對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)

        式(13)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次,得:

        其中,

        式(17)和式(18)分別通過式(11)和式(12)對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次獲得。

        通過式(16)計(jì)算t+Δt時(shí)刻位移對設(shè)計(jì)變量di的一階導(dǎo)數(shù)后,式(14)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次,得:

        通過式(19)計(jì)算t+Δt時(shí)刻加速度對設(shè)計(jì)變量di的一階導(dǎo)數(shù)后,式(15)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次,得:

        式(4)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次,得到層間相對位移對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù):

        式(16)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量dj進(jìn)一步求導(dǎo),得:

        其中:

        式(23)和式(24)分別由式(17)和式(18)對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次獲得。

        由式(22)求得?2x(t+ Δt)/(?di?dj)后,式(19)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量dj求導(dǎo),得:

        式(21)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量dj求導(dǎo),得:

        (1)初始計(jì)算

        其中,積分參數(shù)δ≥0.5,β=0.25(0.5+δ)2;

        ⑥ 由式(11)計(jì)算K*。

        (2)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的響應(yīng)

        ① 由式(13)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移x(t+Δt);

        ② 由式(14)計(jì)算t+Δt時(shí)刻 的節(jié)點(diǎn)加速度(t+Δt);

        ③ 由式(15)計(jì)算(t+Δt)時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)速度(t+Δt);

        ④由式(4)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的層間相對位移ΔuJ(t+Δt);

        ⑤ 由式(16)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)?x(t+Δt)/?di;

        ⑦ 由式(20)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)速度對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)(t+Δt)/?di;

        ⑧ 由式(21)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的層間相對位移對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)?ΔuJ(t+Δt)/?di;

        ⑨ 由式(22)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)?2x(t+ Δt)/(?di?dj);

        ⑩ 由式(25)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)加速度對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)?2(t+Δt)/(?di?dj);

        (11) 由式(26)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)速度對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)?2(t+Δt)/(?di?dj);

        (12) 由式(27)計(jì)算t+Δt時(shí)刻的層間相對位移對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)?2ΔuJ(t+Δt)/(?di?dj)。

        (3)重復(fù)執(zhí)行①~(12)步即可求得地震過程中各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)。

        2.2 結(jié)構(gòu)質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)

        式(2)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)一次得結(jié)構(gòu)質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)如下:

        式(28)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量進(jìn)一步求導(dǎo)得結(jié)構(gòu)質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)如下:

        3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解

        將數(shù)學(xué)模型(5)的約束條件規(guī)則化,得到等效的數(shù)學(xué)模型如下:

        3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的轉(zhuǎn)變

        不等式優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(30)可通過罰函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗袩o約束的積分形式的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,為了求導(dǎo)的方便本文采用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù),如下:

        其中:罰系數(shù)rk是一遞減數(shù)列,當(dāng)rk→0,罰函數(shù)P(d,rk)的最小值逼近約束優(yōu)化問題的最小值。因此,求解不等式約束優(yōu)化問題(30)轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖幌盗袩o約束優(yōu)化問題如下:

        罰系數(shù)的初始值r1由下式計(jì)算:

        其中:d0為初始設(shè)計(jì)點(diǎn),p0=1~50。在本文中p0=10。

        罰系數(shù)rk根據(jù)下式遞減:

        其中:c=10~50,本文取c=10;k為搜索過程中使用罰函數(shù)的個(gè)數(shù)。

        3.2 罰函數(shù)的梯度和海森矩陣

        罰函數(shù)的梯度和海森矩陣即罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù),式(31)兩邊分別對設(shè)計(jì)變量di求導(dǎo)一次得罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量一階導(dǎo)數(shù)如下:

        式(35)兩邊對設(shè)計(jì)變量dj進(jìn)一步求導(dǎo)得罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的二階導(dǎo)數(shù)如下:

        通過式(35)和式(36)計(jì)算罰函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的一階和二階導(dǎo)數(shù)后即可獲得罰函數(shù)的梯度和海森矩陣。

        3.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的求解

        利用梯度和海森矩陣信息,構(gòu)造求解不等式約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(30)的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法,其步驟如下:

        第1步 選擇可行的初始設(shè)計(jì)點(diǎn)d0,由式(33)計(jì)算罰系數(shù)的初始值,定義收斂容差ε1=10,令k=1;

        第2步 從設(shè)計(jì)點(diǎn)dk-1出發(fā),采用 Marquardt方法[15]求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(32)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)dk;用Marquardt方法求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型(32)的步驟:

        ② 令i=0,λ(0)=105;

        ⑤i≥MI?是,執(zhí)行第(11)步;否,執(zhí)行第⑥步;

        ⑥計(jì)算

        ⑩ 令λ(i)=2λ(i),返回第⑥步;

        第3 步P(dk-1,rk)-P(dk,rk)≤ε1?是,dk為最優(yōu)設(shè)計(jì),輸出結(jié)果,停止計(jì)算;否,執(zhí)行第④步;

        第4步 由式(34)計(jì)算罰系數(shù)rk+1,k=k+1,回到第②步。

        4 數(shù)值算例

        一個(gè)三層兩跨的平面框架如圖2所示,假設(shè)每個(gè)樓層的質(zhì)量為30 t,框架材料的彈性模量為20 GPa,阻尼比為5%,梁和柱的截面尺寸空間見圖2的上方,層間轉(zhuǎn)角限值為1/450,則第一層層間相對位移的限值為0.012 m,第二、三層的層間相對位移限值為0.008 m。

        支座1,5,9受到El Centro水平地震加速度時(shí)程的激勵(lì),El Centro水平加速度峰值為0.349 g,記錄時(shí)長為 8 s,步長 Δt=0.02 s。

        從初始可行設(shè)計(jì)出發(fā),通過4.3節(jié)的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法獲得一系列優(yōu)化設(shè)計(jì)如表1所示。

        由表1和表2可見,隨著罰系數(shù)逐步趨向于0,目標(biāo)函數(shù)即結(jié)構(gòu)的質(zhì)量越來越小,優(yōu)化設(shè)計(jì)逐步趨向于最優(yōu)設(shè)計(jì)(r4=0.327和r5=0.032 7獲得的優(yōu)化設(shè)計(jì)),收斂時(shí)前后兩次最優(yōu)設(shè)計(jì)的質(zhì)量不變,說明收斂精度非常高。初始可行設(shè)計(jì)的質(zhì)量為156 735 kg,最優(yōu)設(shè)計(jì)的質(zhì)量為57 043 kg,結(jié)構(gòu)的質(zhì)量減輕了99 692 kg,最優(yōu)設(shè)計(jì)的質(zhì)量僅為初始可行設(shè)計(jì)的36.39%,優(yōu)化效果明顯。在優(yōu)化過程中僅僅用了5個(gè)罰系數(shù),說明優(yōu)化算法的效率非常高。由表2還可看出,即使僅使用1個(gè)罰系數(shù)(r1=327),得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)也能得到極大的改善(質(zhì)量由156 735 kg下降為82 876 kg,優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量為初始可行設(shè)計(jì)的52.88%)。

        圖2 三層兩跨的平面框架Fig.2 A three-storey,two-bay planar frame

        表1 初始可行設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)(單位:mm)Tab.1 Initial feasible design and optimal design(Units:mm)

        表2 初始可行設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量(單位:kg)Tab.2 Weight of the initial feasible design and optimal design(Units:kg)

        初始可行設(shè)計(jì)和一系列優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量如表2所示。

        5 結(jié)論

        (1)提出一種計(jì)算層間相對位移對設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的方法,該方法只需要進(jìn)行一次動(dòng)力響應(yīng)分析就可完成,具有非常高的計(jì)算效率。

        (2)提出框架的抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型適用于結(jié)構(gòu)的側(cè)移是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制指標(biāo)的情況(如高層建筑)。當(dāng)還要考慮其他設(shè)計(jì)指標(biāo)時(shí),需要在優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中增加響應(yīng)的約束條件。

        (3)采用積分型罰函數(shù)將顯含時(shí)間參數(shù)的不等式約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗胁缓瑫r(shí)間參數(shù)的無約束優(yōu)化問題,并且提出積分型罰函數(shù)梯度和海森矩陣的計(jì)算方法。但由于采用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù),因此初始設(shè)計(jì)必須為可行的設(shè)計(jì)。

        (4)提出的優(yōu)化算法充分利用梯度和海森矩陣的信息確定搜索的方向和步長,不需要進(jìn)行一維搜索,下降速度快,具有良好的收斂性,能獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)。算例表明該優(yōu)化算法具有非常高的效率,并且在優(yōu)化過程中能獲得一系列可行的優(yōu)化設(shè)計(jì)供工程設(shè)計(jì)人員選用。

        (5)本文的抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)方法雖然只輸入了一條地震波,但實(shí)際上可以同時(shí)輸入多條地震波,只需要在優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中增加多個(gè)時(shí)程響應(yīng)約束即可,計(jì)算方法基本不變。

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