劉文光，陳國平

(1.南京航空航天大學(xué) 飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制教育部重點實驗室，南京 210016;2.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330036)

工程實踐中，裂紋梁的振動問題一直受到廣泛的重視。結(jié)構(gòu)裂紋根據(jù)其運動特征可分為張開式裂紋和呼吸式裂紋。長期以來，人們在分析裂紋結(jié)構(gòu)的振動特性時，通常假定裂紋始終處于張開狀態(tài)。譬如Papadopoulos等［1］、Chondros等［2］在研究裂紋擴展對結(jié)構(gòu)振動的影響時，都假定裂紋為張開狀態(tài)。實際上裂紋受到壓力時，裂紋將處于閉合狀態(tài)。所以，裂紋結(jié)構(gòu)受到振動激勵作用，仍然采用張開式裂紋不符合實際情況。后來，Chondros等［3］、Abraham 和 Brandon［4］、Cheng等［5］、杜彥衛(wèi)等［6］、楊海燕等［7］提出多種不同的呼吸式裂紋模型。與張開式裂紋模型相比，呼吸式裂紋可以更加客觀地描述裂紋結(jié)構(gòu)的振動行為和疲勞裂紋擴展現(xiàn)象。

長期處于振動激勵下，結(jié)構(gòu)裂紋可能擴展并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性發(fā)生改變;尤其在共振激勵下，即使很小的激勵也會產(chǎn)生較大振幅的動響應(yīng)，并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動疲勞問題。對此，國內(nèi)外學(xué)者對裂紋結(jié)構(gòu)的振動疲勞相關(guān)問題開展了一系列研究。諸如，Dentsoras和Dimarogonas［8］研究了共振時激勵頻率和結(jié)構(gòu)阻尼對裂紋梁疲勞裂紋擴展壽命的影響。劉文光［9］研究了軸向共振控制的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴展壽命。然而，上述文獻在分析結(jié)構(gòu)共振疲勞壽命時，沒有考慮結(jié)構(gòu)裂紋表面摩擦引起的能量耗散。實際上，能量耗散容易產(chǎn)生摩擦阻尼，該特性對裂紋梁的振動疲勞裂紋擴展具有重要作用，尤其是共振疲勞時阻尼效應(yīng)非常明顯。然迄今為止，該方面的研究報導(dǎo)極少。

為了考慮摩擦阻尼對疲勞裂紋擴展的影響，本文基于Coulomb模型和能量耗散理論推導(dǎo)裂紋表面摩擦阻尼損耗因子，利用廣義Forman方程模擬疲勞裂紋擴展，討論摩擦阻尼變化對疲勞裂紋擴展的影響，進一步提高振動疲勞裂紋擴展分析精度。

1 呼吸裂紋梁的振動模型

考慮圖1所示的含表面裂紋懸臂梁，其幾何尺寸為:長L、寬b、高h、裂紋深度為a;裂紋位置與固支端的距離為xc。定義ζ=a/h為相對裂紋深度。

圖1 裂紋梁振動模型(均質(zhì)、各向同性)Fig.1 Cracked cantilever beam(homogeneous，isotropic)

為了利用連續(xù)體動力學(xué)理論分析裂紋結(jié)構(gòu)，需要對結(jié)構(gòu)裂紋進行簡化?？紤]裂紋的閉合效應(yīng)，采用一種新的呼吸式裂紋模型。與文獻［3-7］中使用的呼吸裂紋模型不同，它采用雙線性彈簧模型模擬結(jié)構(gòu)裂紋的呼吸行為，圖2為呼吸裂紋梁的簡化模型。

圖2 呼吸裂紋梁簡化振動模型Fig.2 Simplified model of breathing cracked beam

呼吸裂紋梁的剛度是由張開裂紋剛度和閉合裂紋剛度組合而成，剛度表達式為:

式中:kbr為呼吸式裂紋剛度;ko為張開式裂紋剛度;kc為閉合式裂紋剛度。當 ωt=2nπ，(n=1，2，3…)時，裂紋完全閉合，等效為無裂紋，則kbr=kc，即閉合裂紋剛度可用無裂紋結(jié)構(gòu)剛度計算，即用后面的廣義剛度k*代替。ωt=(2n-1)π，(n=1，2，3…)時，裂紋完全張開，則kbr=ko。因此，為計算呼吸裂紋剛度，需先計算出張開式裂紋剛度與閉合式裂紋剛度。

忽略橫向載荷引起的剪切效應(yīng)，張開式裂紋的剛度可用以下方程近似表示［10］:

式中:kT為裂紋截面因局部柔度而產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)剛度，kc為裂紋完全閉合時的剛度，ko為裂紋完全張開時的剛度。

2 振動分析

橫向力激勵下，連續(xù)梁的強迫彎曲振動方程為:

式中:E表示彈性模量;I為截面慣性距;c為阻尼系數(shù);ρ為材料密度;A為橫截面面積;F為橫向激勵力幅值;δ為Dirac函數(shù);w為橫向振動位移;x為坐標;t為時間;ω為外激勵頻率。

假設(shè)裂紋梁的橫向固有振動形式表示如下:

式中:W(x)是梁橫截面中性軸在x處的橫向振動幅值函數(shù)，T(t)是描述運動規(guī)律的函數(shù)。

根據(jù)懸臂梁的邊界條件，可得到振動幅值函數(shù)

式中:η =(cosλL+coshλL)/(sinλL+sinhλL)，其中 λL是方程1+coshλLcosλL=0的解。為簡化分析，只考慮第一階模態(tài)對疲勞破壞的影響。對應(yīng)第1階模態(tài)的λL=1.875 1。

將方程(5)代入方程(4)，運用Galerkin方法得到:

式中:k*為無裂紋時廣義剛度，與kc相等;c*為廣義阻尼;m*為廣義質(zhì)量;F*為廣義力。其中:

將公式(6)中的k*用kbr代替，則得呼吸式裂紋梁的振動方程。

3 裂紋表面摩擦阻尼分析

振動過程中，結(jié)構(gòu)裂紋由于不斷地受到拉壓作用使裂紋表面接觸并產(chǎn)生相對滑動，接觸面之間會產(chǎn)生干摩擦力，引起摩擦阻尼。

3.1 表面滑動摩擦模型

振動作用時，裂紋尖端因應(yīng)力集中效應(yīng)很快進入屈服階段，使結(jié)構(gòu)裂紋尖端材料斷裂實現(xiàn)裂紋向前擴展，屈服現(xiàn)象的出現(xiàn)與最大切應(yīng)力有關(guān)。對大多數(shù)低碳鋼材料而言，拉伸時在與梁軸線成45°傾角的斜面上切應(yīng)力為最大，所以表面磨光的試樣屈服時表面將出現(xiàn)與軸線大致成45°傾角的條紋，如圖3所示。

假定裂紋在擴展過程中沿直線往前擴展。按照裂紋尖端材料斷裂時的屈服滑移情況，振動疲勞裂紋擴展時，在裂紋尖端表面會出現(xiàn)與軸線成45°傾角的滑移線，見圖4。

圖3 屈服滑移線Fig.3 Slip line resulted from yield

建立呼吸裂紋表面滑動摩擦模型之前，還需要引入一些假設(shè)使問題得以簡化:

① 假設(shè)梁的振動幅值和振動響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)的。

② 假定振動過程中，呼吸裂紋引起的能量損失僅由裂紋表面摩擦所造成。

③ 摩擦能量的消耗依據(jù)裂紋深度一半處接觸點的摩擦力計算，且摩擦力符合Coulomb模型。

④ 假定摩擦能量的耗散產(chǎn)生于裂紋張開和閉合的振動一周內(nèi)。

⑤ 假定變形狀態(tài)時含裂紋和不含裂紋梁的整個位能儲能是相等的。

⑥ 假定與振動頻率無關(guān)的無應(yīng)力自由表面，距離裂紋張開位置長度為3倍裂紋深度。

基于上述假設(shè)，可建立呼吸裂紋表面滑動摩擦模型，見圖5。

3.2 摩擦阻尼損耗因子

根據(jù)胡克定律，振動激勵時疲勞裂紋深度一半處接觸點的正應(yīng)力可表示為:

式中:w(x，t)是橫向振動位移，在裂紋表面振動產(chǎn)生的正交作用力表示為:

式中:a為裂紋深度，b為梁截面寬度，h為梁高度，E為材料彈性模量。

正交作用力F0處在中性軸時的值為0，而且當它位于1/4循環(huán)時的絕對值最大，因此正交作用力的平均值為:

如圖5所示，假定裂紋表面的摩擦系數(shù)為μ，則此摩擦力為:

綜上公式，得到:

每一周內(nèi)，裂紋表面接觸摩擦包括張開過程和閉合過程兩個階段，所以由呼吸裂紋表面摩擦產(chǎn)生的能量耗散為:

式中:d為滑動摩擦力作用距離。

假設(shè)確定裂紋表面滑動距離的是無應(yīng)力自由表面，裂紋張開位移在裂紋深度一半處，根據(jù)建立裂紋表面滑動摩擦模型時的假設(shè)和梁彎曲時的幾何圖6可求出:

圖6 彎矩產(chǎn)生的張開裂紋Fig.6 Opening crack caused by moment

接近梁中性軸裂紋位置的曲率為:

由圖5得到:

將上述方程綜合可得到每周的摩擦能量耗散為:

為了計算等效阻尼損耗因子，還需要計算存儲在裂紋梁之內(nèi)的應(yīng)變能，根據(jù)能量原理可推導(dǎo)得到矩形橫截面梁變形期間所有應(yīng)變能如下［11］:

式中:第1項為彎曲變形能，第2項為剪切變形能;M為彎矩、Q為剪切力、κ為剪力因子、G為剪切彈性模量、E為楊氏彈性模量、A為橫截面積、I為截面慣性距。其中:

根據(jù)系統(tǒng)的損耗因子定義［12］

式中:Wf為一周內(nèi)裂紋表面摩擦損耗能量，Vmax為振動一周內(nèi)存儲的最大位能。所以由呼吸裂紋表面摩擦產(chǎn)生的阻尼損耗因子為:

4 振動疲勞裂紋擴展分析

由于振動激勵考慮了疲勞裂紋擴展引起的動態(tài)響應(yīng)變化，使動應(yīng)力幅值不斷變化，所以不能直接采用常規(guī)的疲勞裂紋擴展方程，而需要采用振動分析與裂紋擴展計算交替進行的方法，考慮振動與疲勞的耦合作用?？紤]裂紋閉合效應(yīng)，采用廣義的Forman方程模擬疲勞裂紋擴展。

4.1 廣義Forman方程

使用Forman方程，對于任一恒定幅值激勵，結(jié)構(gòu)裂紋擴展增量為:

式中:Ni為裂紋擴展起始時對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)，Nf為裂紋擴展結(jié)束時對應(yīng)的循環(huán)次數(shù);ΔK為應(yīng)力強度因子振幅，ΔK=Kmax-Kmin;Kmax為最大應(yīng)力強度因子，Kmin為最小應(yīng)力強度因子;ΔKth是應(yīng)力強度因子門檻值;Kc是材料的斷裂韌性;r是應(yīng)力比;C、n、p、q是試驗常數(shù);Δa裂紋擴展增量;N是振動次數(shù);f是裂紋張開函數(shù)。

裂紋張開函數(shù)f考慮裂紋閉合效應(yīng)，表達式為:

式中:Kop是張開式裂紋的應(yīng)力強度因子;其中:

β為平面應(yīng)變約束系數(shù);Smax/σ0為最大應(yīng)力與應(yīng)力流的比。

應(yīng)力強度因子門檻值表達式為:

式中:ΔK0是r=0時的應(yīng)力強度因子門檻值;ΔK0和a0被假定為常數(shù)。

工程實際表明，結(jié)構(gòu)振動會引起裂紋擴展，而裂紋擴展反過來會改變結(jié)構(gòu)振動特性，進而影響裂紋擴展行為，兩者之間存在耦合關(guān)系。傳統(tǒng)的疲勞裂紋擴展理論卻忽略了這種耦合作用。為此，本文采用振動分析與裂紋擴展計算同步進行的方法考慮振動與疲勞的耦合效應(yīng)，進一步提高疲勞壽命估算精度。

結(jié)構(gòu)受到變振幅載荷的作用時，最終的裂紋深度可由疊加法計算，表示如下:

其中Δaj為第j階段激勵所產(chǎn)生的裂紋擴展量。

振動循環(huán)的增量為:

考慮到ΔNj很小，所以:

因此，第j階段內(nèi)振動次數(shù)為ΔNj時，對應(yīng)的裂紋擴展量為Δaj近似為:

4.2 疲勞裂紋擴展失效判據(jù)

結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴展達到一定條件后，結(jié)構(gòu)會發(fā)生各種失效。分析時采用以下失效判據(jù)。

(1)判據(jù)1:如果裂紋擴展至粱的中面時，即裂紋深度達到梁高度的一半時，已不再適用應(yīng)力強度因子進行疲勞壽命估算，則認為結(jié)構(gòu)發(fā)生幾何失效。

(2)判據(jù)2:如果結(jié)構(gòu)裂紋的應(yīng)力強度因子達到材料的斷裂韌性時，即認為梁即將發(fā)生失穩(wěn)斷裂。

(3)判據(jù)3:如果結(jié)構(gòu)裂紋位置的名義應(yīng)力超過了材料的強度極限，則認為結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂失效。

4.3 算例

假設(shè)結(jié)構(gòu)的尺寸為:L=0.3 m、b=0.002 m、h=0.02 m;裂紋位置:xc=0.15 m;材料是 304 不銹鋼［13］，機械性能為:彈性模量E=204 GPa、泊松比 ν=0.33、密度 ρ=7 860 kg/m3、強度極限 σb=620 MPa、屈服強度σs=275.8 MPa;裂紋擴展試驗常數(shù)為:C=6E-10、n=3、p=0.25、q=0.25、β =2.5、Smax/σ0=0.3;其它參數(shù)為:①材料斷裂韌性KC=7 645 MPa·mm1/2、門檻值ΔKth=121.6 MPa·mm1/2;② 加載幅值為50 N，對稱加載r=-1;③ 初始相對裂紋深度取ζ=0.1，計算步長為ΔN=1;④ 裂紋表面摩擦系數(shù)取μ=0.15。

圖7表明，裂紋表面摩擦阻尼損耗因子隨裂紋擴展單調(diào)遞增。考慮摩擦阻尼的變化，結(jié)構(gòu)共振疲勞裂紋擴展壽命明顯增加;若忽略摩擦阻尼隨裂紋擴展的變化，振動疲勞裂紋擴展曲線不連續(xù)，出現(xiàn)間斷，這說明振動一次裂紋擴展增量較大，見圖8所示。比較后發(fā)現(xiàn)，摩擦阻尼對振動疲勞裂紋擴展行為的影響不容忽視。所以振動疲勞分析時，使用呼吸裂紋摩擦模型相比呼吸裂紋模型理論更可行。

5 結(jié)論

以懸臂裂紋梁為對象，研究裂紋摩擦阻尼對疲勞裂紋擴展的影響。分析時，用雙線性彈簧描述裂紋的呼吸行為，運用Galerkin法把呼吸裂紋梁簡化為只考慮第一階模態(tài)的單自由度振動系統(tǒng);基于Coulomb摩擦模型和能量耗散理論，推導(dǎo)摩擦阻尼損耗因子;利用廣義Forman方程模擬疲勞裂紋擴展;采用振動分析與疲勞裂紋擴展計算同步進行的方法考慮振動與疲勞之間的耦合效應(yīng)。結(jié)果表明，摩擦阻尼隨疲勞裂紋擴展單調(diào)遞增，共振頻帶激勵下摩擦阻尼對疲勞裂紋擴展具有重要作用，阻尼效應(yīng)十分明顯。

［1］Papadopoulos C A，Dimarogonas A D.Coupled longitudinal vibrations of a cracked shaft［J］.Journal of Vibration，Acoustics， Stress and Reliability in Design， 1988，110(1):1-8.

［2］ Chondros T G.Dimarogonas A D，Yao J.A continuous cracked beam vibration theory［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，215(1):17-34.

［3］ Chondros T G，Dimarogonas A D，Yao J.Vibration of a beam with a breathing crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，239(1):57-67.

［4］ Abraham O N L，Brandon J A.The modeling of the opening and closure of a crack［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，117(3):370-377.

［5］Cheng S M，Wu X J，Wallace W.Vibration response of a beam with a breathing crack［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，225(1):201-208.

［6］杜彥衛(wèi)，胡 超，李鳳明，等.含橫向裂紋轉(zhuǎn)子的動力穩(wěn)定性研究［J］.中國機械工程，2003，14(18):1587-1590.

［7］楊海燕，楊秉玉，劉啟州.疲勞裂紋葉片振動的非線性特性研究［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1999，17(2):198-204.

［8］ Dentsoras A J，Dimarogonas A D.Resonance controlled fatigue crack propagation in a beam under longitudinal vibrations［J］.International Journal of Fracture，1983，23(1):15-22.

［9］劉文光，陳國平.軸向共振控制的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴展分析［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2010，42(3):298-302.

［10］劉文光，陳國平.呼吸式裂紋梁的振動疲勞裂紋擴展耦合分析［J］.中國機械工程，2010，21(23):2798-2802.

［11］劉鴻文.材料力學(xué)I(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［12］胡海巖，孫久厚，陳懷海.機械振動與沖擊(修訂版)［M］.北京:航空工業(yè)出版社，2002.

［13］ Shih Y S，Chen J J.Analysis of fatigue crack growth on a cracked shaft［J］.International Journal of Fatigue，1997，19(6):477-485.