劉占芳，顏世軍，馮曉偉

(重慶大學 資環(huán)學院工程力學系，重慶 400044)

離心場中含旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性體動力特性分析

劉占芳，顏世軍，馮曉偉

(重慶大學 資環(huán)學院工程力學系，重慶 400044)

以含偶應力的彈性理論為基礎(chǔ)，考慮小變形狀態(tài)下彈性體的平動變形與旋轉(zhuǎn)梯度，推導并給出了離心環(huán)境中一般彈性體運動與變形耦合動力學方程，以轉(zhuǎn)角為獨立變量，利用罰方法得到方程組的約束變分形式，構(gòu)造了8結(jié)點48自由度的實體等參元，建立了離心場中含旋轉(zhuǎn)梯度的一般彈性體動力特性分析的有限元模型。對繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁進行動力特性分析，頻率隨轉(zhuǎn)速的關(guān)系表明離心力和科氏力降低了該梁的一階頻率，但科氏力導致了二階頻率的上升，旋轉(zhuǎn)梯度效應提高了彈性體的靜力剛度，導致各階頻率出現(xiàn)剛化效應。

旋轉(zhuǎn)梯度;剛?cè)狁詈?固有頻率;有限元分析

隨著現(xiàn)代機械系統(tǒng)中材料輕質(zhì)柔性化以及機構(gòu)的運行速度加快和運行精度要求的提高，柔性體運動與變形耦合動力學問題已成為當前科學研究領(lǐng)域的重要課題。對柔性體大范圍運動與變形的耦合動力行為研究始于20世紀60年代，經(jīng)過50多年的發(fā)展，國內(nèi)外學者［1－7］建立了比較成熟的剛?cè)狁詈蟿恿W模型，并對柔性結(jié)構(gòu)特別是板梁結(jié)構(gòu)的初應力及幾何非線性下的動力剛化效應進行了深入研究。然傳統(tǒng)柔性體運動與變形耦合動力學模型基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學，由于介質(zhì)均勻化假設(shè)，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學得出質(zhì)點的應力狀態(tài)只與該點的變形與材料特性有關(guān)，而忽略了旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應力的影響。隨著連續(xù)介質(zhì)力學的發(fā)展，旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應力理論［8－10］得到了廣泛的重視，相比經(jīng)典彈性體，考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應的彈性體擁有更多的材料參數(shù)，該理論考慮質(zhì)點間相互作用，得到了非對稱應力張量，迄今已在彈性體應力集中［11］、裂紋擴展及微結(jié)構(gòu)［12－14］靜力分析中得到了廣泛應用，并取得了豐碩的成果，但對考慮旋轉(zhuǎn)梯度的偶應力彈性理論框架下的柔性體運動與變形耦合研究尚顯不足，該領(lǐng)域的研究對現(xiàn)代高新技術(shù)領(lǐng)域中具有強烈尺度效應的微機電系統(tǒng)的發(fā)展具有重要意義。

考慮旋轉(zhuǎn)梯度的偶應力彈性理論由于涉及到位移二階導數(shù)的求解，為有限元數(shù)值分析帶來了困難，構(gòu)造滿足C0型連續(xù)性要求的低階元以及直接構(gòu)造滿足C1型連續(xù)性要求的高階元是目前對偶應力理論進行數(shù)值求解的主要途徑。Wood［15］和 Herrmann［16］通過轉(zhuǎn)化求解變量，利用拉格朗日乘子法構(gòu)造了混合單元。肖其林等［17］將彈性力學中的約束變分原理推廣到偶應力理論，并以罰函數(shù)的形式引入約束條件，提出了一種雜交/混合單元。黃若煜等［18］考慮到偶應力理論與Mindlin板理論之間的對偶關(guān)系，構(gòu)造了以應力函數(shù)為變量的單元。Soh等［19］借用薄板有限單元格式進行組合疊加得到了一種滿足C1連續(xù)性要求的18結(jié)點平面三角形單元。王衛(wèi)東等［20］通過采用non－Sibsonian插值方法構(gòu)造了近似的位移場向量，發(fā)展了計算偶應力理論的無網(wǎng)格法。

對含旋轉(zhuǎn)梯度影響的一般彈性體在離心場中的動力學問題，本文基于Mindlin偶應力彈性理論，推導并給出了小變形狀態(tài)下一般彈性體運動與變形耦合動力學方程，應用約束變分原理，考慮轉(zhuǎn)角為獨立變量，構(gòu)造了8結(jié)點48自由度的六面體等參元，采用有限元方法分析了離心場中懸臂梁的離心軟化效應以及科氏力的作用，考察了旋轉(zhuǎn)梯度效應對離心場中彈性體動力特性的影響。

1 離心場中一般彈性體的動力學方程

圖1 離心場中彈性體的運動與變形Fig.1 Motion parameters and deformation of the elastic body in centrifugal field

考慮彈性體繞一固定旋轉(zhuǎn)軸做回轉(zhuǎn)運動如圖1，e1'e2'e3'為固定坐標系，e1e2e3為固結(jié)在彈性體中某一點的浮動坐標系，彈性體旋轉(zhuǎn)運動形成慣性力，慣性力與彈性力的相互轉(zhuǎn)換導致彈性體的振動，在小變形假設(shè)上彈性體內(nèi)任一點在固定坐標系下的矢徑為：

其中：r'0為浮動坐標系原點在固定坐標系下的矢徑，x0、u為彈性體中任意一點在浮動坐標系下的初始位置和變形。R為矢量從浮動坐標系到固定坐標系下的轉(zhuǎn)換矩陣。在恒轉(zhuǎn)速離心場中，矢徑r'對時間的一階和二階導數(shù)可得彈性體上任意一點在固定坐標系下的速度 v'和加速度a'為：

其中：ω'，ω分別為固定坐標系和浮動坐標系描述的彈性體剛體轉(zhuǎn)動角速度矢量。

在浮動坐標系下，對于彈性體中的任意一點，由連續(xù)介質(zhì)力學，動量平衡方程為：

式中：t為彈性體上任意一點所對應的非對稱應力，ρ為密度，f為體力，a為浮動坐標所描述的彈性體任意一點的加速度矢量。由式(3)可得彈性體上任意一點的加速度項在浮動坐標系下的矢量為：

式中：r0為浮動坐標描述的矢徑r'0。結(jié)合式(4)和式(5)可得浮動坐標系下彈性體內(nèi)微分形式的動量守恒方程為：

為方便起見右端項計為廣義慣性力 Fg，則式(6)可寫為：

在浮動坐標系下，基于連續(xù)介質(zhì)力學，彈性體中的任意一點的動量矩平衡方程為：

其中：m為偶應力張量，b為采用浮動坐標描述的體力偶向量，∈為置換張量。由非對稱應力t可分解為對稱與反對稱應力兩部分t=σ+τ，將其代入式(8)，并對式(8)兩邊同乘置換張量∈可得反對稱應力τ為：

而對稱應力張量與置換張量的雙點積為零，由式(9)求得反對稱應力代入式(7)得動量守恒方程的另一種形式：

其中：ε為應變張量，λ為拉梅常數(shù)，μ為剪切模量，I為二階單位張量，η為描述偶應力與曲率張量的關(guān)系系數(shù)，本文稱為旋轉(zhuǎn)模量，與材料內(nèi)秉長度l和剪切模量有關(guān)η=μl2，對一般金屬材料，內(nèi)秉長度為微米量級，其大小取決于材料的微結(jié)構(gòu)。

2 有限元離散

由虛功原理，式(10)和式(11)的變分形式寫為：

應用格林－高斯公式式(13)的變分形式修正為：

由于旋轉(zhuǎn)梯度為位移的二階導數(shù)，有限元法分析時要求單元結(jié)點位移滿足C1連續(xù)，為此考慮轉(zhuǎn)角φ為獨立變量，基于約束變分原理，令彈性體內(nèi)的旋轉(zhuǎn)矢量與宏觀轉(zhuǎn)角相等，則在單元內(nèi)滿足約束條件

采用線性Serendipity六面體單元對彈性體進行離散，并令單元內(nèi)轉(zhuǎn)角分布的型函數(shù)與位移型函數(shù)一致，則單元內(nèi)任意點的位移向量de=［ueφe］T，ue=［uxuyuz］，φe=［φxφyφz］，由單元結(jié)點位移插值可得：

由曲率張量與偶應力張量的非對稱性，令應變和應力向量及曲率張量和偶應力向量分別為：

結(jié)合式(16)，單元內(nèi)應變－曲率張量和單元結(jié)點位移－轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

D1為經(jīng)典的三維線彈性本構(gòu)矩陣，D2=4ηI9，I9為9×9的單位陣。

對廣義慣性力項，定義與轉(zhuǎn)角向量φ對應的反對稱矩陣Ω，滿足Ω·v=ω×v，v為任意矢量，則式(15)的廣義慣性力項的矩陣形式為：

其中：Lu為經(jīng)典的應變與位移關(guān)系矩陣，Lφ為旋轉(zhuǎn)梯度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系矩陣。

對罰函數(shù)項，位移與轉(zhuǎn)角的關(guān)系可寫為：

其中：Lα為罰函數(shù)項與位移和轉(zhuǎn)角關(guān)系矩陣。

3 離心場中懸臂梁動力特性分析

采用構(gòu)造的六面體等參元對繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁進行離散，應用給出的有限元分析模型計算梁的動力學特性，考察旋轉(zhuǎn)運動與變形耦合的離心力和科氏力效應，并分析旋轉(zhuǎn)梯度對離心場中懸臂梁動力特性的影響。

圖2 懸臂梁幾何參數(shù)Fig.2 Geometries of the rotating cantilever beam

如圖2所示的繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁，左端固定，其材料參數(shù)參考文獻［10］，其中彈性模量 E=209 GPa，泊松比 v=0.31，旋轉(zhuǎn)模量 η =2.88 Pa·m2，密度ρ=7.8×103kg/m3。梁長度為L，梁高度H，梁寬度B。

圖3為L=1 m，H=0.1 m，B=0.1 m時梁頻率隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系，可以看出由旋轉(zhuǎn)運動與變形耦合的離心力效應導致了該梁的一階和二階頻率隨轉(zhuǎn)速的增加而減小，對結(jié)構(gòu)剛度具有軟化作用，而科氏力對一階和二階頻率的影響則截然不同，懸臂梁旋轉(zhuǎn)運動與變形耦合的科氏力效應導致該梁的一階頻率隨轉(zhuǎn)速的增加而降低，而二階頻率則隨轉(zhuǎn)速的增加而升高。由于該梁前兩階頻率所對應的振動為沿梁截面高度和寬度方向的彎曲振動，二階頻率梁振動產(chǎn)生的變形將激起一階頻率所對應的振動方向的正科氏力，即相當于增加了附加慣性力阻礙該方向的振動，從而降低該方向下的振動頻率，相反一階頻率下所對應的梁的振動引起的變形將激起二階頻率所對應的振動方向上的負的科氏力，從而提高該方向下的振動頻率。由此可知，科氏力效應在振動方程中雖然具有阻尼的形式，但是其與阻尼對振動的貢獻并不相同。

圖3 懸臂梁固有頻率隨轉(zhuǎn)速的關(guān)系Fig.3 The natural frequency for the beam varying with the rotating speed

圖4為L=0.5 mm，H=0.05 mm，B=0.05 mm時，考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應下的彈性理論與經(jīng)典彈性理論得到的無量綱頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，其中無量綱頻率定義為離心場中考慮離心力和科氏力效應的計算所得頻率與懸臂梁固有頻率之比，ω為懸臂梁轉(zhuǎn)速，f1、f2為懸臂梁的一階與二階固有頻率。結(jié)果表明旋轉(zhuǎn)梯度效應總體上提高了該梁在不同轉(zhuǎn)速的離心環(huán)境下的共振頻率，從而提高了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。由于Mindlin偶應力理論忽略了介質(zhì)中的微轉(zhuǎn)動慣量，旋轉(zhuǎn)梯度產(chǎn)生的偶應力只提高了彈性體的靜力剛度，考慮旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性理論計算所得頻率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系相比于經(jīng)典的彈性理論的計算結(jié)果具有一致性。

圖6 兩種內(nèi)尺度下一階固有頻率隨截面高度的變化Fig.6 The first natural frequency of the beam varying with the depth of section for the inner scale

對圖2所示懸臂梁模型，在梁旋轉(zhuǎn)頻率與經(jīng)典彈性理論所得固有頻率之比為0.05的離心環(huán)境下，圖5和圖6分別考察了旋轉(zhuǎn)模量以及尺寸效應對梁頻率的影響。圖5給出了不同彈性模量與旋轉(zhuǎn)模量比E/η下梁的無量綱頻率，其中無量綱頻率定義為離心場中含旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性理論計算所得頻率與經(jīng)典彈性理論所得固有頻率之比，可知考慮離心力和科氏力效應的一階與二階頻率與該梁固有頻率隨旋轉(zhuǎn)模量的變化趨勢一致，旋轉(zhuǎn)梯度效應只提高彈性體的靜力剛度，當E/η小于107時，旋轉(zhuǎn)梯度效應對頻率的影響已有所體現(xiàn)，隨著比值的減小影響愈發(fā)明顯。圖6為兩種內(nèi)秉長度下離心場中考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應的一階無量綱頻率隨梁截面尺寸的變化，可見隨著梁高度減小至30 μm時，相對于經(jīng)典彈性理論解，旋轉(zhuǎn)梯度效應明顯提高該梁的振動頻率，材料內(nèi)秉長度越大，這種影響愈明顯。

4 結(jié)論

基于Mindlin偶應力彈性理論，推導并建立了離心場中計旋轉(zhuǎn)梯度的一般彈性體運動與變形耦合動力學分析方程，以約束變分原理為基礎(chǔ)，考慮轉(zhuǎn)角為獨立變量，使用罰函數(shù)方法引入約束條件，構(gòu)造了8結(jié)點48自由度的滿足C0連續(xù)性要求的六面體等參元，給出了計旋轉(zhuǎn)梯度影響的一般彈性體運動與變形耦合的有限元方程。對繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁的動力特性分析表明，離心力體現(xiàn)為降低彈性體的總體剛度，對結(jié)構(gòu)起軟化作用，科氏力效應在有限元分析模型中雖然具有阻尼的形式，但是對結(jié)構(gòu)動力特性的貢獻則有別于結(jié)構(gòu)阻尼，導致了懸臂梁一階頻率的降低，但提高了二階頻率。旋轉(zhuǎn)梯度是彈性體發(fā)生變形時的必然結(jié)果，對于宏觀上的一般金屬材料，描述偶應力與旋轉(zhuǎn)梯度的旋轉(zhuǎn)模量很小，旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應力對彈性體總體力學性能影響可以忽略，但對特征尺寸接近材料內(nèi)秉長度的微結(jié)構(gòu)，由于旋轉(zhuǎn)場較位移場數(shù)值上高出數(shù)個量級，旋轉(zhuǎn)梯度效應將總體提高該彈性體的靜力剛度，導致固有頻率的上升，進而影響離心場中彈性體的動力特性。

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Dynamic analysis of elasitc body with rotation gradient effects in centrifugal field

LIU Zhan－fang，YAN Shi－jun，F(xiàn)ENG Xiao－wei

(College of Resource and Environmental Sciences，Chongqing University，Chongqing 400044，China)

The flexible body in a centrifugal field was analyzed dynamically，considering the rotation gradient effects.Based on the couple－stress theory，the kinetic equations were derived.A hexahedron solid isoparametric element was constructed，with the rotating angle as an independent variable，and the finite element model was established using the constrained variation principle.Dynamic characteristics of a cantilever beam revolving around the neutral axis were investigated.The relations between the natural frequencies and rotating speed were exploed，which describe that centrifugal and coriolis forces lead the first natural frequency to decrease，however the coriolis force results in the increase of second natural frequency.The stiffness of the flexible body is increased，as a result of the rotation gradient effects in microstructure field，and the resonant frequency is raised，comparing with the classic elasticity results.

rotation gradient;rigid－flexible coupling;resonant frequency;finite element analysis

O313.7

A

國家自然科學基金(11072276);重慶市科技攻關(guān)計劃項目(CSTC2008AC3105)

2011－03－17 修改稿收到日期：2011－06－08

劉占芳 男，博士，教授，1963年生

顏世軍 男，博士，1983年生