荀 坤，張朝暉，劉樹新，陳曉林

（北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871）

1 引 言

第42屆國際物理奧林匹克競賽于2011年7月10日至7月18日在泰國首都曼谷市舉行，代表中國參賽的5名中學(xué)生全部都獲得了金牌，其中李藍(lán)青同學(xué)獲總分第5名和理論滿分.

本屆競賽的2道實驗題都是黑盒子型，分別是“電學(xué)黑盒子——電容式位移傳感器”和“力學(xué)黑盒子——1個內(nèi)含小球的圓筒”.我們將盡可能展現(xiàn)試題原貌，利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)給出解答.

2 試 題

2.1 試題1：電學(xué)黑盒子——電容式位移傳感器

振蕩頻率為f的弛張振蕩器含有1個電容為C的電容器，f與C的關(guān)系如下

其中：a是常量，CS是電路的雜散電容，頻率f可用數(shù)字頻率計測量.

待測電學(xué)黑盒子是平板電容器.它由上下2個極板構(gòu)成，下極板固定不動，上極板可沿1個方向滑動.2個極板之間有介電材料隔開.每個極板都是梳狀結(jié)構(gòu)，每個梳齒的形狀都相同.滑動上極板就可以改變黑盒子的電容值.

實驗裝置如圖1所示，1個弛張振蕩器，1個含頻率計的數(shù)字萬用表，1套已知電容值的電容，1個電學(xué)黑盒子（平板電容器）和1節(jié)電池，其中定標(biāo)用電容器的標(biāo)稱電容值參見表1.

圖1 試題1的實驗裝置圖

表1 定標(biāo)用電容器的標(biāo)稱電容值

2.1.1 定標(biāo)（3.0分）

采用不同已知電容值的電容器，測量振蕩電路的振蕩頻率f.通過恰當(dāng)作圖，求出a和CS的數(shù)值.不要求做誤差分析.

2.1.2 確定平板電容器的幾何形狀（6.0分）

黑盒子內(nèi)電容極板有3種可能的幾何形狀，如圖2所示.

針對每種可能的幾何形狀，定性繪出電容C隨上極板位置變化的預(yù)期曲線.然后，測量f與上極板位置的關(guān)系，繪出相應(yīng)的曲線，并由此推出平板電容器的平板形狀和尺寸（即求出b和w的值）.已知上、下極板之間的距離d＝0.20mm.兩極板之間介質(zhì)層的相對電容率為εr＝1.5.真空電容率為ε0＝8.85×10－12F·m－1.不要求做誤差分析.

圖2 平板電容器電極可能的幾何形狀的俯視圖

2.1.3 數(shù)字卡尺的分辨率（1.0分）

2個極板之間的相對位置變化時，電容器的電容值隨之變化.依此原理可以制造數(shù)字卡尺.如果本實驗中的平行板電容器被用作數(shù)字卡尺，請由第2部分的實驗數(shù)據(jù)估計該卡尺的分辨率：即對f≈5kHz，求出可以分辨的最小距離.對最終的結(jié)果不需要做誤差估計.

2.2 試題2：力學(xué)黑盒子——1個內(nèi)含小球的圓筒

1個圓筒，質(zhì)量為M，在與其一端距離z處固定有一質(zhì)量為m的小球.垂直其中軸線鉆有一系列用于支承圓筒在豎直平面內(nèi)擺動的小孔，如圖3所示.

試通過必要的無損測量確定下列各量的數(shù)值并估計它們的誤差：

圖3 試題2實驗裝置示意圖

i.含小球圓筒的質(zhì)心位置，需給出實驗方案示意圖.（1.0分）

ii.距離z.（3.5分）

iv.重力加速度g.（2.0分）

實驗裝置如圖4所示：1個內(nèi)含小球的圓筒，1個帶有細(xì)針的基板，1個針帽，1把直尺，1個停表，1段細(xì)線，1支鉛筆和1卷膠帶.圖3中xC是圓筒頂端到質(zhì)心的距離，R是轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離.

圖4 試題2實驗裝置實物圖

提示：

1）對于該物理擺（即復(fù)擺），[（M＋m）R2＋這里IC是上述含小球圓筒相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，θ是角位移.

2）長為L、質(zhì)量為M的圓筒，繞經(jīng)過質(zhì)心且垂直于圓筒中軸線的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)動慣量可近似表示為

3）平行軸定理為I＝IC＋Mx2，這里x是轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離，M是物體的總質(zhì)量.

4）球可當(dāng)作質(zhì)點處理，位于圓筒中軸線上.

5）圓筒質(zhì)量分布均勻，兩端封帽的質(zhì)量可忽略不計.

3 試題解答

3.1 試題1解答

3.1.1 校準(zhǔn)

將式（1）寫成：

表2 弛張振蕩器頻率與電容的關(guān)系

評分標(biāo)準(zhǔn)：采用了2個電容并聯(lián)得0.4分；至少有1個電容值超151pF得0.4分；畫出－C

圖5 －C校準(zhǔn)曲線

3.1.2 決定平板電容器的幾何形狀

經(jīng)簡單分析即可得到不同圖案的平板電容器的電容量與上極板位置的關(guān)系，如圖6所示.

圖6滿分為1.4分.對圖案1，要求周期為2w（0.1分），電容隨上極板位置要線性上升或下降（0.3分）.對圖案2，要求周期為2w（0.1分），峰形為拋物線型（0.2分），若峰畫成尖的或類似高斯型可給0.1分，空白區(qū)（w～2w間）可畫成平的或略微下降或升高（與相鄰峰的升降一致），后續(xù)的空白區(qū)高度亦可以比前一空白區(qū)略微下降或升高（與相鄰峰的升降一致）（0.2分）.對圖案3，要求峰區(qū)寬度為w，總周期為3w（0.2分）.對所有圖案都要求峰值高度要依上極板位置坐標(biāo)的取法而逐漸下降或上升（0.2分）.

圖6 不同圖案的平板電容C與上極板位置D的關(guān)系

將待測電學(xué)黑盒子作為電容接入弛張振蕩器，測量不同上極板位置下的弛張振蕩器振蕩頻率f并由此算出對應(yīng)的電容值，結(jié)果見表3.這里將上極板能拉出的極限位置取為位置零點.由表3可畫出電容與上極板位置的關(guān)系，見圖7.

圖7 電容值與上極板位置的關(guān)系

表3 上極板位置與電容的關(guān)系

圖7中電容極小位置對應(yīng)上下極板完全沒有交疊時的情況，此時仍然存在分布電容，且分布電容隨上極板被推入而增加.

對比圖7與圖6可以得出結(jié)論：黑盒子內(nèi)電極的形狀應(yīng)與圖案1的相同.根據(jù)曲線的周期，可以定出參量w＝5.0mm.從表3中（或從圖上）可以讀出5個電容極大點的值，記入表4.

表4 電容的峰值

由表4作圖或用線性擬合的方法可以得到每對齒片構(gòu)成的電容值為ΔC＝19.2pF.根據(jù)平板電容公式

將εr，ε0和d的值代入，并注意單一齒片的面積A＝wb，可算出：b＝58mm.

評分標(biāo)準(zhǔn)對物理概念、實驗技能和測量結(jié)果的精度和質(zhì)量都有要求.

根據(jù)學(xué)生是否知道式（3）、是否知道圖6～7中相鄰電容峰值差ΔC代表1對齒片疊合時的電容和是否知道由ΔC來求b，要么給1.5分，要么給零分.

表3的數(shù)據(jù)部分占0.4分，單位占0.2分.圖的水平和豎直范圍均要覆蓋圖紙相應(yīng)寬度的一半以上（各0.1分），水平和豎直軸單位要正確（0.1分），數(shù)據(jù)點標(biāo)記要正確（0.2分）.

圖7中如含有5個或5個以上峰得0.5分，含3～4個峰得0.3分，低于3個峰不得分.上極板位置測量間距取1mm得0.4分，2mm得0.2分，大于2.5mm不得分.

由圖7求ΔC時，如果僅用相鄰2個峰值差，得0.1分；僅用首尾2個峰差，得0.3分；或用到3個以上的峰差平均值，得0.3分；由4個以上的點用直線擬合的方法，得滿分0.5分.盡管按電容谷值差來求ΔC是錯誤的，但依然按上面的評分標(biāo)準(zhǔn)給分.

w的測量值在4.90～5.10間得0.3分，超出此范圍不得分.b的值在50～80mm間得0.2分，超出此范圍不得分.結(jié)果單位錯漏和有效數(shù)字超過3位各扣0.1分.

3.1.3 數(shù)字卡尺的分辨率

由表3可知，f≈5kHz對應(yīng)著多個上極板位置.欲求可以分辨的最小距離，應(yīng)該取頻率隨上極板位置變化最陡峭的位置來考察.根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，上極板位置取36.2mm或41.5mm附近均可.取34.0～38.0mm間5個點作C－x線性擬合，可得斜率為γ＝17.1pF／mm.由式（2）和頻率計的分辨率Δf＝0.01kHz，可得

雖然不是太嚴(yán)格，但可接受的另一種方法是：使上極板位于36mm附近，輕微改變上極板位置，測量振蕩頻率的改變，再由頻率分辨率求出位置分辨率.由位置改變2mm頻率變化1.33kHz以及頻率分辨率為0.01kHz，可推得

如理解電容C與上極板位置間有線性關(guān)系得0.3分.Δf取值在0.01～0.05kHz間得0.1分.得到圖7中適當(dāng)區(qū)域電容或頻率與上極板位置線性擬合的斜率得0.3分.卡尺分辨率的最后結(jié)果落在（1.5～1.8mm／kHz）Δf內(nèi)得0.3分；落在（1.0～1.4mm／kHz）Δf或（1.9～2.2mm／kHz）Δf得0.1分；其他值不得分.結(jié)果的單位有錯漏和有效數(shù)字多于3位各扣0.1分.

3.2 試題2解答

3.2.1 xC的測量

可直接用直尺單次測量測得：L＝（30.0±0.1）cm.

將圓筒用細(xì)線吊起或用一刃狀物（如基板端的針或1個棱）托起，仔細(xì)調(diào)整懸掛或支承點位置使圓筒處于水平狀態(tài).此時的懸掛點或支承點就對應(yīng)質(zhì)心位置.多次測量出此點距圓筒一端的距離，并做統(tǒng)計分析可得xC＝（17.8±0.1）cm.

用圖示意出測量方法可以得0.4分.測量次數(shù)大于3次得0.2分.測量值與標(biāo)準(zhǔn)值差別在0.2cm內(nèi)得0.2分，由多次測量得到的不確定度在0.3cm內(nèi)得0.2分，用單次測量得到不確定度在0.1～0.2cm間得0.1分.

3.2.2 其他參量的測量

題目并未給出圓筒的直徑，意味著可將圓筒視為細(xì)桿.根據(jù)質(zhì)心定義有

如以O(shè)為支點，讓圓筒豎直作小角擺動（復(fù)擺），則擺角θ滿足運動方程

其中，

為整個圓筒相對過質(zhì)心垂直于中軸的轉(zhuǎn)動慣量.

式（7）是一簡諧振動方程，其周期為

式（9）亦可寫為

用膠帶紙將基板固定在桌子邊沿，使細(xì)針伸出桌沿.依次將圓筒上的不同小孔插入細(xì)針，測量其擺動周期.將擺動周期T和小孔距圓筒一端的距離xC－R記入表5中.

表5 圓筒擺動周期T的測量數(shù)據(jù)

圖8給出了由表5中數(shù)據(jù)得到的T2R－R2關(guān)系圖.

圖8 T2 R－R2關(guān)系圖

對圖8作線性擬合得到了相關(guān)系數(shù)r＝0.999 83，截距α＝（3.10±0.05）s2·cm和斜率β＝（0.041 4±0.000 7）s2·cm－1，截距和斜率的誤差由相關(guān)系數(shù)算出.由此可得：

聯(lián)立式（6），（8）和（12）可解得

由此可解得

再由式（14）和（6）可得

其中的誤差由各方程中系數(shù)的變化范圍用數(shù)值方法求得.

評分要考慮物理概念、實驗技能和測量精度3個方面.物理概念方面的得分點，要么給滿分，要么不給分.其中，給出擺動頻率或周期的表達(dá)式得0.4分，給出能通過作圖獲得所需參量的直線方程得1.0分，給出相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量式（8）得0.4分，給出式（6）得0.4分.實驗技能方面：測量表格包含T和R的內(nèi)容各得0.2分，單位正確得0.2分；圖線在橫軸和縱軸方向均能覆蓋圖紙一半以上的區(qū)域得0.3分，不能則不得分.正確和部分正確地畫出實驗點分別得0.4分和0.2分，單位正確得0.3分.單次測量周期≥10個得0.5分，≥7個得0.3分，＜7個周期不得分；對每個轉(zhuǎn)軸位置測量次數(shù)≥3次得0.3分，＝2次得0.1分，只測1次得0分.轉(zhuǎn)軸位置的個數(shù)≥10得0.5分，≥8得0.4分，≥5得0.3分，＜5不得分.給出能求出z和M／m的2個方程得0.2分，由2個方程求出z和M／m得0.2分.實驗精度方面：g的值在9.68～9.88m／s2間得0.6分，在9.58～9.67m／s2或9.89～9.98m／s2間得0.3分.z的值在25.9～26.2cm間得0.6分，在25.5～25.8cm或26.3～26.6cm間得0.3分.M／m的值在2.6～2.8之間得0.6分，在2.5～2.59或2.81～2.9之間得0.3分.g，z和M／m的誤差估計方法合理各得0.2分，相應(yīng)前驅(qū)誤差（precursor errors）估計方法合理各得0.1分.Δz≤0.4cm或Δ（M／m）≤0.15即得0.4分，否則此項不得分.

評分標(biāo)準(zhǔn)對測量精度的要求顯然是太高了，就連賽會所提供的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)在許多項上也都達(dá)不到要求.

4 結(jié)束語

本次競賽的考題在原理和實驗線路上都沒有多少困難，但對實驗細(xì)節(jié)，特別是測量的精度有較高要求，主要考察的是實驗者的基本實驗素養(yǎng)和技能.中國學(xué)生習(xí)慣上重物理內(nèi)容輕實驗技能、重實驗方法輕測量精度，所以在本次競賽中實驗成績并不理想.在第一題中，有4位中國學(xué)生都未能將所給電容并聯(lián)以得到更多和更大的電容值，并因此被扣了0.8分.第二題的結(jié)果更不理想，最高得分也僅有8.5分.其中一位同學(xué)的g，z和M／m的測量值和誤差全部在要求范圍之外，僅此，就被扣掉了2.5分.今后，還應(yīng)進(jìn)一步加強對中國學(xué)生實驗素養(yǎng)和技能方面的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

[1] 呂斯驊，段家忯.新編基礎(chǔ)物理實驗[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 馬秀芳，沈元華.第八屆亞洲物理奧林匹克競賽中實驗考題的分析[J].物理實驗，2007，27（12）：29－33.

[3] 廖慧敏，荀坤，陳曉林.第12屆亞洲物理奧林匹克競賽實驗題介紹與解答[J].物理實驗，2011，31（10）：16－25.

[4] 荀坤，王若鵬，陳曉林，等.第41屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題簡介[J].物理實驗，2010，30（11）：21－28.

[5] 荀坤，王若鵬，陳曉林.第40屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題簡介[J].物理實驗，2010，30（1）：20－27.