黃慧春， 丁 虎， 陳立群，3

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，上海201209;2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072; 3.上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

動力傳送帶、空中纜車索道、高樓升降機纜繩等工程元件，均可模型化為軸向運動梁，其物理模型如圖1所示.作為典型的陀螺連續(xù)系統(tǒng)，由于陀螺項的存在，使得針對軸向運動梁振動的分析廣受關(guān)注［1-5］.考慮幾何非線性，軸向運動梁的振動通常遵循橫向與徑向(軸向)相耦合的平面運動規(guī)律.Thurman等［6］首先提出了軸向運動梁平面耦合運動的控制方程.Tabarrok等［7］推導(dǎo)出了另外一種耦合平面的控制方程，而且基于靜態(tài)梁的特征函數(shù)對控制方程進(jìn)行了離散.Riedel等［8］在Galerkin截斷的基礎(chǔ)上，運用多尺度方法研究了軸向運動梁橫向與徑向耦合的非線性受迫振動.沈建和等［4］通過增量諧波平衡法研究了橫向與徑向耦合的平面受迫振動響應(yīng).這些針對平面耦合控制方程的研究工作都具有一個共同特點，即通過某種途徑將耦合方程簡化，僅保留少量低階非線性項.而文獻(xiàn)［2，9］則直接利用數(shù)值方法研究了未加簡化的亞臨界軸向運動梁的平面耦合運動.

圖1 軸向運動梁模型Fig.1 Model of axially moving beam

Wickert［10］基于“準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)”的彈性梁的自由振動模型，建立了超臨界軸向運動的靜平衡位形，以及對應(yīng)于每個分岔解的連續(xù)陀螺系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)控制方程.Wickert的研究證明，對于超臨界軸向運動梁，因非線性引起的非平凡靜平衡位形是一切研究工作的前提.但是，對于軸向運動梁兩端固定邊界條件下，有關(guān)超臨界軸向運動梁的靜平衡分岔研究，以及對應(yīng)于分岔解的連續(xù)陀螺系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)控制方程的建模工作還未見有報道.

針對以上問題，本研究通過發(fā)展有限差分方法，直接數(shù)值研究兩端固定邊界條件下，超臨界軸向運動彈性梁的平面耦合運動的靜平衡分岔問題.

1 平面耦合模型

假設(shè)截面積為A、密度為ρ、初始張力為P的梁以一致的速度γ(常數(shù))沿軸向運動，梁彈性模量為E，這里只考慮梁橫向和徑向變形.在徑向空間坐標(biāo)x處，t時刻橫向位移為v(x，t)，軸向位移為u(x，t).對于細(xì)長的梁(例如，滿足I/(Al2)＜0.001)，耦合動力學(xué)方程的無量綱形式為［1-2］

式中，“，x”和“，t”分別表示對x和t的偏微分.相應(yīng)的無量綱化變量和參數(shù)分別為

式中，“'”表示對x取導(dǎo)數(shù)，“^”表示靜平衡位移.

2 計算方法

這里僅考慮梁的兩端由帶有扭轉(zhuǎn)彈簧的光滑套筒固定的邊界條件［2］：

靜平衡位形可以通過下述兩種方法計算得到.

2.1 靜態(tài)方程迭代

以uj和vj表示函數(shù)u(x)和v(x)在網(wǎng)格xj處的值.應(yīng)用中心差分法離散空間導(dǎo)數(shù)［4］，得

此時，相應(yīng)的兩端固定的邊界轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

將方程(6)和(7)代入方程(3)，可以得到關(guān)于uj和vj的一系列代數(shù)方程.通過迭代方法求解，可得

給定初始條件及參數(shù)的數(shù)值，可解得離散點uj和vj的值作為方程(3)中連續(xù)解u(x)和v(x)的近似解.

2.2 黏彈性模型的非平凡分岔解

考慮Kelvin模型的黏彈性材料梁，則耦合黏彈性軸向運動梁的動力學(xué)方程的無量綱形式為［1-2］

式中，無量綱參數(shù)

其中η為黏性系數(shù).引入步長為τ的均勻節(jié)點，

應(yīng)用有限差分法數(shù)值求解方程(11)需要式(4)和(5)以及相應(yīng)的初始條件，因此，引入如下初始條件：

3 數(shù)值計算結(jié)果

在數(shù)值仿真中，取 τ=10－5，h=10－2(即L= 100)，D=0.01.以銅材料為例［2］，其彈性模量E= 1.08×1011Pa，密度ρ=8 450 kg/m3.取初始張力P=4 225 N，軸向速度 γ=150 m/s，寬度 W= 0.04 m，高度H=0.02 m的矩形橫截面積梁，無量綱黏性系數(shù)α=0.000 1.

在空間離散式(5)和時間離散式(13)的基礎(chǔ)上，結(jié)合初始條件以及梁兩端固定的邊界條件，通過差分法計算方程(11)的橫向和徑向的時間響應(yīng)歷程，結(jié)果如圖2所示，圖中橫縱坐標(biāo)均為無量綱量.圖2表明非平凡分岔解能夠通過黏性方程計算得到，而且梁橫向運動的幅度要遠(yuǎn)大于徑向運動幅度.數(shù)值計算結(jié)果顯示，梁的振動幅度隨時間衰減，而且在經(jīng)歷足夠長的時間之后，梁的形狀趨向于靜態(tài)非平凡平衡位形.因此，超臨界軸向運動梁的非平凡靜平衡位形可以通過這種途徑得到.

圖2 耦合運動的時間響應(yīng)歷程Fig.2 Time history for coupled motion

通過式(9)和方程(11)計算得到的超臨界軸向運動梁橫向與徑向耦合的平面非平凡分岔解的定性比較如圖3所示，其中的點表示通過迭代格式(9)計算得到的結(jié)果，實線表示通過黏彈性自由振動方程(11)衰減得到的結(jié)果.各參數(shù)取值分別為初始張力P=4 225 N，軸向速度γ=150 m/s，寬度W=0.04 m，高度H=0.02 m，無量綱黏性系數(shù)α=0.000 1.觀察發(fā)現(xiàn)，通過2種途徑得到的計算結(jié)果完全吻合.

圖4比較了初始張力和橫截面積對超臨界軸向運動梁中點靜平衡位移的影響.由圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸向運動梁的軸向速度達(dá)到一定值時，軸向運動梁會發(fā)生靜平衡分岔.圖4(a)表明了初始張力的影響，其中梁的寬度W=0.04 m，高度H=0.02 m，點、實線和虛線分別表示初始張力P=2 112.5，4 225.0和8 450.0 N時的情形.由圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著初始張力的增大，臨界分岔速度逐漸減小.圖4(b)表明了梁的橫截面積的影響，其中初始張力P=4 225 N，梁寬度W=0.04 m，點、實線和虛線分別表示高度H= 0.010，0.015和0.020 m時的情形.由圖可以發(fā)現(xiàn)，梁的橫截面積變大將導(dǎo)致臨界分岔速度變大.

圖3 2種方法計算非平凡非靜平衡解的比較Fig.3 Comparison of the non-trivial equilibrium solutions between two methods

圖4 系統(tǒng)參數(shù)對隨速度變化的橫向靜平衡分岔的影響Fig.4 Effectsofparameterson thebifurcation diagram with the axial speed

4 結(jié)束語

本研究討論了超臨界軸向運動梁橫向與徑向耦合平面非平凡靜平衡位形分岔問題.在梁兩端固定邊界條件下，以銅材料梁為例，結(jié)合有限差分法，分別通過2種方法(迭代格式(9)和黏彈性自由振動方程(11))研究耦合平面的非平凡分岔解.數(shù)值計算結(jié)果表明，在超臨界范圍內(nèi)，橫向與徑向相耦合的平面內(nèi)出現(xiàn)了非平凡的平衡解，而且2種方法得到的超臨界速度下非平凡分岔解是完全吻合的.進(jìn)一步對梁中點位置的靜平衡分岔進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，非平凡平衡位形的最大位移隨軸向速度的增大而增大，隨初始張力及梁的橫截面積的增大而減小;另一方面，隨著初始張力的增大，臨界分岔速度隨之減小，而梁的橫截面積的變大將導(dǎo)致臨界分岔速度變大.

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