潘書勤， 冉 政

(上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海200072)

傳統(tǒng)計算差分格式的穩(wěn)定性分析的本質(zhì)困難在于方程的非線性，并且解具有間斷特征.傳統(tǒng)分析方法一般采用局部凍結(jié)系數(shù)的線性化方法，該方法得到的穩(wěn)定性和耗散性條件是必要的，但不充分.大量數(shù)值試驗和理論分析結(jié)果表明，采用該方法得到的格式在用于守恒型問題計算時，仍可能會發(fā)生如下異常現(xiàn)象：激波振蕩、非線性不穩(wěn)定、非物理解.這些異?，F(xiàn)象是目前激波捕捉法計算中存在的3個主要問題.因此，有必要從理論上找出這些異?，F(xiàn)象產(chǎn)生的原因和條件，找到更為精確的分析方法，才可能構(gòu)造出更具有普遍意義的格式.

在非線性分析方法中，李群的研究方法具有獨特意義.受群論在代數(shù)和幾何學中所取得的巨大突破的啟發(fā)，挪威數(shù)學家Lie首先把群論的方法引入到微分方程的研究中，從此人們開始把群論的觀點和方法廣泛地應用到自然科學的各個領(lǐng)域.在群論的發(fā)展過程中，Yanenko等［1］首先提出了差分算子的群分類問題.按照差分算子是否滿足微分算子的對稱條件，可以將差分算子分為2類：一種是滿足對稱性的格式;另一種是不滿足對稱性的格式.群分類的主要思想是要求差分格式更多地反映原微分方程的內(nèi)在性質(zhì)［2-9］.在計算空氣動力學研究領(lǐng)域，冉政［10］首先利用 Lie變換群理論，對有關(guān)的 Lax-Wendroff格式進行了非線性行為分析，發(fā)現(xiàn)了Lax-Wendroff格式所得到的波后振蕩與對稱性的聯(lián)系.這種分析方法的最主要優(yōu)點在于能直接對完全的非線性、非定常問題進行分析.文獻［11］進一步利用該方法對有關(guān)差分解的激波波動問題進行了討論，并對已有的線性化分析結(jié)果進行評估和拓展，初步顯示了該方法的合理性;另外，首次用該方法對TVD(total variation diminishing)格式的有關(guān)熵條件進行闡述，得到了新的理論.目前，該方法已經(jīng)推廣到更一般的守恒型差分格式的對稱性問題［12］、孤立波計算［13］等領(lǐng)域.已有研究表明［10-16］，現(xiàn)有的計算空氣動力學研究領(lǐng)域中，計算激波的有關(guān)方法在一定程度上都與一定的對稱性問題有比較微妙的關(guān)聯(lián).特別地是，有證據(jù)表明，差分計算的非物理波動機制與對稱性的保持與否有關(guān)，這些新的研究進展使得從對稱性角度實現(xiàn)有關(guān)算法的非線性性質(zhì)刻畫成為可能.而進一步設計出能保持對稱性質(zhì)的新算法將是計算空氣動力學中的一個重要的新的研究課題.

微分方程的對稱性質(zhì)是一個非常重要的問題，因為物理問題的守恒性質(zhì)必與一定的對稱性質(zhì)相關(guān)聯(lián).很自然地，差分格式也需要滿足這種對稱性質(zhì).然而，并非所有的差分格式都具有這種特性.對于傳統(tǒng)的差分方法，一般以修正方程加以討論，在線性范圍內(nèi)，可以得到差分格式的耗散性、色散性等.但是，這些性質(zhì)僅適用于線性問題.而一個需要研究的問題是差分方程的群性質(zhì).本工作的研究成果將對于從物理角度理解離散效應的群結(jié)構(gòu)變化有所貢獻.

1 模型方程

本工作討論的模型方程為如下線性波動方程：

式中，a＞0，且a為常數(shù)，其中一階精度的差分方程修正方程為

二階精度的差分方程修正方程為

2 一階精度的差分方程的群分類

對于方程(1)，已知的無窮小生成元分別為

對于一階差分格式(2)，按照標準的計算方法可以得到6個無窮小生成元，分別為

表1 一階差分格式的李代數(shù)結(jié)構(gòu)表Table 1 Lie algebra of the first order scheme

行波解及相似變量分別為

式中，c3，c4為積分常數(shù)，c＞0.圖1是2種不同解在t=1時刻數(shù)值計算結(jié)果的比較.

3 二階精度的差分方程的群分類

對于二階精度差分格式，其修正方程為式(3).為了研究方便，引入如下變換方程：

圖1 2種不同解在t=1時刻的比較，c=0.5Fig.1 Comparison of two different solutions at t=1，c=0.5

對方程(13)作無窮小變換，即

若成立強對稱條件τx=0，則可以簡化如下具有二階格式的對稱算子：

其中U4沒有對應結(jié)果.Dilatation對稱得到部分滿足.

對應的Lie代數(shù)計算如下：

最終可以得到如表2所示的乘法表.

表2 二階差分格式的群分類(強對稱)Table 2 Group classification of the second order scheme (strong symmetries)

對于對稱算子V3，相似變量ζ=t－1/3(x－t)，相似解的形式為

行波解為y=x－ct，相似解為

式中，ci(i=1，2，…，6)為積分常數(shù)，c＞0.圖2是3種不同解在c=2時的周期和振幅.

圖2 3種不同解在c=2時的周期和振幅Fig.2 Periods and amplitudes for three different solutions at c=2

為研究μ因子的作用，放寬對稱性條件，對uxxxxx項作近似處理，令其滿足τx≠0，但τxx=0.下面討論這一條件引入的變化.

在此對稱條件下，二階格式的對稱算子為

其對應的Lie代數(shù)計算如下：

得到的乘法表如表3所示.

表3 二階差分格式的群分類(弱對稱)Table 3 Group classification of the second order scheme (weak symmetries)

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的計算流體力學理論即使在求解的方程是線性方程的情況下，大多關(guān)注的只是差分格式的耗散性以及色散性問題，而目前有關(guān)差分格式的非線性穩(wěn)定性理論仍然有待發(fā)展.本工作以通常情況下計算流體力學理論所研究的方程為背景，詳細地給出了有關(guān)的群分類計算，對比模型方程不難看出離散條件下的群的演變.另外，群分析的優(yōu)勢在于非線性問題的處理，有關(guān)這方面的工作還在進行當中.

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