任紅飛，魏子卿，翟振和，吳富梅

1.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，河南鄭州450052；2.西安測(cè)繪研究所，陜西西安710054

1 引 言

觀測(cè)方程是處理脈沖星觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)，用脈沖星自主導(dǎo)航時(shí)，觀測(cè)方程的精度決定脈沖星導(dǎo)航的精度，也影響脈沖星星表參數(shù)的精化。反過來，高精度的脈沖星歷表參數(shù)又有利于提高觀測(cè)方程的精度，進(jìn)而提高導(dǎo)航性能。高精度的觀測(cè)與參數(shù)精化是一個(gè)經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，相互促進(jìn)的過程。

廣義相對(duì)論是現(xiàn)今最精確的引力理論。對(duì)于高精度的脈沖星導(dǎo)航而言，廣義相對(duì)論效應(yīng)是必須考慮的因素，在相對(duì)論框架下給出觀測(cè)方程的高精度表達(dá)式是實(shí)現(xiàn)脈沖星精確導(dǎo)航的前提。文獻(xiàn)［1—2］分別推導(dǎo)了1階后牛頓（1PN）度規(guī)形式下的脈沖星計(jì)時(shí)表達(dá)式。比較而言，文獻(xiàn)［1］的推導(dǎo)更為嚴(yán)格，考慮了太陽引力場(chǎng)對(duì)信號(hào)傳播的彎曲效應(yīng)，但推導(dǎo)過程與結(jié)論不夠準(zhǔn)確。2005年，文獻(xiàn)［3］重新給出1PN度規(guī)形式下脈沖到達(dá)時(shí)間（TOA）的正確表達(dá)式，但沒有進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。當(dāng)前，脈沖星計(jì)時(shí)精度約為1μs，脈沖星導(dǎo)航也處于試驗(yàn)驗(yàn)證階段。受脈沖星觀測(cè)精度的限制，一些影響相對(duì)較弱的誤差源還未被考慮。隨著觀測(cè)技術(shù)的改進(jìn)，將需要分析更多誤差源對(duì)觀測(cè)的影響。筆者通過分析以上文獻(xiàn)的研究結(jié)論，并參考其他相關(guān)文獻(xiàn)［4－17］，完整推導(dǎo)1PN度規(guī)形式下脈沖星導(dǎo)航的觀測(cè)方程，以此為基礎(chǔ)，對(duì)影響導(dǎo)航性能的主要因素進(jìn)行分析。

2 X射線脈沖星導(dǎo)航的觀測(cè)方程

用X射線脈沖星為飛行器導(dǎo)航時(shí)，通常的處理方式是：將空間飛行器觀測(cè)的TOA轉(zhuǎn)化至某個(gè)基點(diǎn)，與基點(diǎn)處的TOA模型組成差分方程。在當(dāng)前的研究中，一般以太陽系質(zhì)心（SSB）為基點(diǎn)，將飛行器處的TOA轉(zhuǎn)換至SSB。

為推導(dǎo)1階后牛頓（1PN）度規(guī)形式下脈沖星導(dǎo)航觀測(cè)方程，在此只考慮太陽系以內(nèi)天體的相對(duì)論效應(yīng)，而將太陽系以外天體的相對(duì)論效應(yīng)視作常量［1－2］。

脈沖星的脈沖是由一個(gè)周期內(nèi)的光子累積而成的，每個(gè)光子在空間沿自己的世界線傳播。根據(jù)相對(duì)論理論，電磁信號(hào)在時(shí)空中傳播的世界線為零測(cè)地線，即時(shí)空間隔為零。其有表達(dá)式為

式中，ds2為線元的平方；dxμ、dxv為坐標(biāo)增量；gμv為時(shí)空度規(guī)，是觀測(cè)者處時(shí)空位置的函數(shù)，由愛因斯坦場(chǎng)方程求解得到。由于愛因斯坦場(chǎng)方程的高階非線性和星體質(zhì)能分布的復(fù)雜性，一般不可能得到gμv的嚴(yán)格解。實(shí)際應(yīng)用中所采用的時(shí)空度規(guī)都是在某種近似條件下得到的結(jié)果。

對(duì)于太陽系這樣的弱場(chǎng)、低速時(shí)空，IAU在第24屆決議中推薦使用后牛頓度規(guī)，該度規(guī)滿足線性疊加原理。時(shí)空間隔在1PN形式下的表達(dá)式為［3，11］

式中，c為真空光速；U為太陽系所有天體引力勢(shì)的線性疊加。由式（2）可得

將式（3）按級(jí)數(shù)展開至O （1／c）2項(xiàng)，得

式（4）即為1PN度規(guī)形式下，時(shí)間間隔、空間間隔與天體引力勢(shì)的關(guān)系式。對(duì)此關(guān)系式沿傳播路徑積分，即可得到脈沖由脈沖星至飛行器的傳播時(shí)間。為此建立如圖1所示的坐標(biāo)系，以太陽質(zhì)心、脈沖星和飛行器3點(diǎn)所確定的平面為xy平面，取x軸平行于光線傳播方向，y、z軸按右手定則確定。其中d為太陽質(zhì)心至信號(hào)傳播路徑的距離；di為太陽系內(nèi)天體Mi至信號(hào)傳播路徑的距離，一般不在xy平面內(nèi)；D、p分別為太陽質(zhì)心至脈沖星與飛行器的矢量；＾nS、＾nSC分別為太陽質(zhì)心與飛行器到脈沖星方向的單位矢量；脈沖發(fā)射時(shí)刻為tT，到達(dá)空間飛行器的時(shí)刻為tSC。在此假定光線在太陽系內(nèi)傳播時(shí)，各個(gè)天體處于tSC時(shí)刻的位置，并考慮太陽引力場(chǎng)的彎曲效應(yīng)。

圖1 信號(hào)由脈沖星到達(dá)太陽質(zhì)心與飛行器的示意圖Fig.1 The path of a signal from the pulsar to the spacecraft

在太陽引力場(chǎng)中，類光測(cè)地線滿足下式［1］

式中，GM為太陽引力常數(shù)。根據(jù)初始條件dy／dx＝0，x＝Dx，y＝d，可求得空間軌跡解為

式中，D為矢量D的長(zhǎng)度。對(duì)式（6）兩邊關(guān)于x求倒數(shù)，得

為計(jì)算信號(hào)的傳播時(shí)間，需沿信號(hào)傳播路徑積分。由于信號(hào)傳播軌跡在xy平面內(nèi)，故有z＝ 0，將式（4）的空間間隔部分按級(jí)數(shù)展開，忽略O(shè) （dy2／dx2）可得

將式（7）代入到式（8），則等式右端只有唯一變量x，容易對(duì)等式兩端積分，得到信號(hào)沿路徑的傳播時(shí)間為

式中，PBSS為太陽系天體總數(shù)；D為脈沖到達(dá)時(shí)，脈沖星相對(duì)于太陽質(zhì)心的位置；p表示飛行器接收到第N個(gè)脈沖時(shí)相對(duì)于太陽質(zhì)心的位置；pi、Di為飛行器接收到脈沖時(shí)，飛行器和脈沖星相對(duì)于第i個(gè)行星的位置。式（9）即為在太陽質(zhì)心坐標(biāo)系中，脈沖到達(dá)飛行器的TOA表達(dá)式。若假想飛行器運(yùn)動(dòng)到SSB，則可用與式（9）相同的原理，得到在太陽坐標(biāo)系中，脈沖到達(dá)SSB處的表達(dá)式。假定SSB在太陽質(zhì)心坐標(biāo)系中的位置為b，相對(duì)于第i個(gè)行星的位置為bi，SSB至脈沖星的單位矢量為，在式（9）中，以b代p、以bi代pi、以代，即可得到SSB處的TOA表達(dá)式。在推導(dǎo)出飛行器的TOA與太陽系質(zhì)心的TOA方程之后，將兩式求差即可得到導(dǎo)航觀測(cè)方程。具體形式為

式中，dSSB為信號(hào)到達(dá)SSB時(shí)，太陽質(zhì)心至信號(hào)傳播路徑的距離；dSC為信號(hào)到達(dá)飛行器時(shí)，太陽質(zhì)心至信號(hào)傳播路徑的距離。以下將利用數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)觀測(cè)方程精度進(jìn)行分析。

3 觀測(cè)方程的精度分析

為分析脈沖星導(dǎo)航觀測(cè)方程的精度，給定以下計(jì)算條件：① 模擬繞地飛行器的軌道根數(shù)見表1；②3顆脈沖星的參數(shù)信息見表2；③太陽系內(nèi)各個(gè)天體的位置由JPL行星星歷給出；④計(jì)算的起始?xì)v元為2010－01－01（55 197.0MJD），時(shí)間跨度1000d。

表1 飛行器軌道根數(shù)Tab.1 Orbit elements of the spacecraft

表2 X射線源的參數(shù)值［3，6－7］Tab.2 Parameters of X－ray sources［3，6－7］

3.1 相對(duì)論影響分析

在表達(dá)式（10）中，脈沖星導(dǎo)航的相對(duì)論效應(yīng)由兩部分組成：一是太陽系天體的引力時(shí)延（第3、4項(xiàng)）；二是太陽引力彎曲時(shí)延（第5、6項(xiàng)）。這兩部分時(shí)延對(duì)脈沖星觀測(cè)時(shí)間的影響分別如圖2、圖3所示。

圖2 太陽系天體的引力時(shí)延Fig.2 Time delay of the gravity by bodies of the solar system

從圖2中可看出，由于脈沖星位置不同，脈沖信號(hào)所受引力時(shí)延的影響不同。但均呈現(xiàn)周年變化，這是由地球公轉(zhuǎn)所致?？紤]到太陽繞SSB的公轉(zhuǎn)，引力時(shí)延還應(yīng)有一個(gè)約為12a的變化周期。圖3是太陽引力彎曲導(dǎo)致的時(shí)間延遲，其量級(jí)小于1ns，在目前脈沖星觀測(cè)精度下可忽略。

圖3 太陽引力彎曲Fig.3 Time delay of the path bending by the Sun

3.2 脈沖星星表誤差的影響

脈沖星歷表是脈沖星導(dǎo)航的基礎(chǔ)，其誤差對(duì)脈沖星導(dǎo)航性能具有重要影響。為推導(dǎo)脈沖星星表參數(shù)誤差與觀測(cè)時(shí)間之間的關(guān)系式，忽略式（10）中的引力彎曲效應(yīng)，將真空光行時(shí)部分按級(jí)數(shù)展開至二階。由于脈沖星距離遙遠(yuǎn)，可近似認(rèn)為脈沖星相對(duì)于SSB和飛行器的方向相同，即有，由此可得表達(dá)式

由式（11）可求觀測(cè)時(shí)間對(duì)脈沖星位置（赤經(jīng)、赤緯）與距離的偏微分，得到以下表達(dá)式

式中

假定脈沖星距離的系統(tǒng)偏差為距離值的10%，位置的系統(tǒng)偏差為0.001″，可得到在不同時(shí)刻，它們對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響，如圖4、圖5所示。

圖4 脈沖星距離偏差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響Fig.4 Timing error due to the distance deviation of pulsar

圖5 脈沖星位置偏差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響Fig.5 Timing error due to the direction derivation of pulsar

由圖5、圖6可以看出，不同脈沖星距離和位置的偏差引起的測(cè)量誤差均呈現(xiàn)相同的周期性，周期為半年，但幅值不同。距離偏差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響相對(duì)較小，且與脈沖星的距離成反比；而位置系統(tǒng)偏差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響較大，0.001″的偏差對(duì)觀測(cè)精度的影響可達(dá)數(shù)微秒，且與脈沖星位置有關(guān)。

假定脈沖星距離的隨機(jī)誤差均值為0，均方差為距離值的5%，位置的隨機(jī)誤差均值為0，均方差為0.000 5″，對(duì)于不同的脈沖星，參數(shù)的隨機(jī)誤差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響如圖6、圖7所示。

圖6 脈沖星距離的隨機(jī)誤差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響Fig.6 Timing error due to the random error of pulsar distance

圖7 脈沖星位置的隨機(jī)誤差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響Fig.7 Timing error due to the random error of pulsar position

圖6中脈沖星距離的隨機(jī)誤差引起的測(cè)量誤差在±30ns之間；圖7中脈沖星位置隨機(jī)誤差引起的測(cè)量誤差在±3μs之間。當(dāng)前脈沖星歷表的位置參數(shù)精度大多低于0.001″，可見脈沖星位置參數(shù)的精化是提高時(shí)間測(cè)量精度的關(guān)鍵。

3.3 行星星歷誤差的影響

JPL行星星歷在天文精密觀測(cè)的分析與歸算、引力定律檢驗(yàn)、行星探測(cè)計(jì)劃、衛(wèi)星導(dǎo)航以及深空導(dǎo)航中得到廣泛應(yīng)用。其不同版本根據(jù)不同需求而制定，在精度有差異。為分析不同行星歷表之間的差異，以下選擇DE200、DE403、DE405以及DE423進(jìn)行比較，對(duì)于地球在太陽系質(zhì)心坐標(biāo)系中的三維位置而言，不同星歷在相同歷元的差值如圖8所示。

圖8 地球的太陽系質(zhì)心位置之差Fig.8 Difference in position of the geocenter in the barycentric system

由圖8可見，DE200與DE405的坐標(biāo)差異最大，可達(dá)數(shù)十千米，且有一定的系統(tǒng)性。DE403與DE405之間的差異主要表現(xiàn)在x、y方向，z方向的互差較小，且呈周年變化；而DE423與DE405之間的差異更小，最大差值約1km，也呈現(xiàn)周年變化，這說明DE系列的后續(xù)歷表逐步精化。為分析歷表差異對(duì)時(shí)間測(cè)量的影響，以表3中的3顆脈沖星為例，分析不同行星星歷在相同歷元，對(duì)飛行器觀測(cè)時(shí)間的差值如圖9所示。

由圖9可見，DE200與DE405的差值可達(dá)毫秒量級(jí)；DE423與DE405的差值較小，對(duì)于Crab和B1821－24脈沖星，變化范圍為±2μs；對(duì)于B1937＋21脈沖星，變化范圍為±4μs?？梢娦行切菤v的精化對(duì)觀測(cè)精度的提高具有重要意義。

圖9 不同行星星歷引起的時(shí)間差Fig.9 Timing difference due to the different planet ephemeris

3.4 星體扁率的影響

在脈沖星導(dǎo)航觀測(cè)方程中，通常將星體作為質(zhì)點(diǎn)或均質(zhì)球體近似處理。對(duì)于有些星體，如木星，其質(zhì)量大、自轉(zhuǎn)快，實(shí)際形狀更接近于兩極略扁的球體，因此，有必要討論其非球形的引力攝動(dòng)對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響。由引力理論可知，顧及扁率的星體外部點(diǎn)的引力位為可表為［18］

式中，m＝4π2a3（1－f ）／T2GM；f為扁率，e＝為橢球第一偏心率。由星體扁率引起的引力位的改正位可表為

該改正位對(duì)觀測(cè)時(shí)間的延遲影響為

式中，x1＝cosθ1；x2＝cosθ2；θ1、θ2為外部點(diǎn)到星體自轉(zhuǎn)軸之間的極距。由于星體自轉(zhuǎn)平面與公轉(zhuǎn)平面一般不同，除地球外，其他星體的公轉(zhuǎn)平面對(duì)自轉(zhuǎn)平面的升交點(diǎn)位置未知，故外部點(diǎn)相對(duì)于星體自轉(zhuǎn)軸的極距難以得到。如只對(duì)改正位的時(shí)延量級(jí)作分析，可由以下方法進(jìn)行評(píng)估。

可得由星體扁率引起的時(shí)延δt滿足

根據(jù)式（19）即可對(duì)改正位的時(shí)延作量級(jí)分析。若考慮太陽系天體的基本參數(shù)如表3所示，根據(jù)式（15）可計(jì)算得到各星體的帶諧項(xiàng)系數(shù)。

表3 各星體的基本參數(shù)［19－20］Tab.3 Parameter of each celestial body［19－20］

在式（19）中，取n＝3，可得在不同時(shí)刻，星體的扁率對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響，見圖10。由圖10可見，太陽扁率對(duì)繞地飛行器觀測(cè)時(shí)間的影響最大，但其最大量級(jí)也只有10－12s，導(dǎo)航中可忽略。

圖10 顧及各星體扁率對(duì)信號(hào)傳播路徑的時(shí)延修正Fig.10 Time correction of transmitting path by the flattening of bodies

4 結(jié) 論

本文綜合相關(guān)研究成果，完整推導(dǎo)了1PN形式下脈沖到達(dá)時(shí)間轉(zhuǎn)換方程。分析了脈沖星觀測(cè)方程中的相對(duì)論效應(yīng)；獨(dú)立推導(dǎo)了觀測(cè)時(shí)間誤差與脈沖星歷表誤差之間的解析關(guān)系式和顧及星體扁率的觀測(cè)時(shí)間延遲表達(dá)式；分析了脈沖星距離誤差、位置誤差對(duì)觀測(cè)時(shí)間的影響；比較了不同行星星歷之間的差異，分析了這些差異對(duì)脈沖星觀測(cè)的影響；分析了星體扁率對(duì)觀測(cè)時(shí)間的延遲量級(jí)。主要結(jié)論有：

（1）太陽系天體對(duì)信號(hào)傳播路徑的引力時(shí)延可達(dá)幾十微秒，在精確的觀測(cè)方程中需要考慮；太陽對(duì)信號(hào)傳播路徑的彎曲所引起的時(shí)延較?。ǎ?ns），在當(dāng)前的測(cè)量精度下可不考慮。

（2）脈沖星位置誤差對(duì)時(shí)間方程的影響較大，距離誤差影響相對(duì)較小，在當(dāng)前情況下，通過長(zhǎng)期觀測(cè)，逐步精化脈沖星歷表，尤其是位置參數(shù)，是提高觀測(cè)精度的有效途徑之一。

（3）行星星歷誤差可引起數(shù)微秒的觀測(cè)時(shí)間誤差，且對(duì)不同脈沖星影響不同。

（4）星體扁率對(duì)觀測(cè)時(shí)間的延遲很小，在近地飛行器自主導(dǎo)航中可忽略。

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