郭建鋒，趙 俊

1.信息工程大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州450001；2.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北武漢430077

1 引 言

為保證測量成果達(dá)到設(shè)計要求，在完成實(shí)測任務(wù)后，必須進(jìn)行測量數(shù)據(jù)的質(zhì)量分析。大量研究表明，粗差僅僅占到觀測量總數(shù)的1%至10%左右。粗差的存在往往對最小二乘（least－squares，LS）估計造成不良的影響，即LS估計的抗差性（robustness，又譯為穩(wěn)健性）非常差［1－12］。

對于工程技術(shù)與應(yīng)用領(lǐng)域而言［2］，抗差性可以理解為統(tǒng)計推斷中的敏感度分析理論（或者稱為擾動分析、穩(wěn)定性分析理論）。換言之，抗差性，即估計量抵御粗差影響的能力，表現(xiàn)為平差結(jié)果對觀測異常的敏感程度［5］。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)［5－7］是檢驗(yàn)平差成果的一項重要指標(biāo)。因此，通過對擬合優(yōu)度檢驗(yàn)量進(jìn)行敏感度分析構(gòu)造探測與識別觀測異常的統(tǒng)計量，具有顯著的物理意義。

在粗差探測法中，假定隨機(jī)模型能夠客觀反映觀測量之間的（相對）精度及統(tǒng)計相關(guān)性，把粗差問題歸結(jié)為函數(shù)模型與實(shí)際模型的偏離。如果擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，說明在一定顯著性水平上，平差成果達(dá)到了要求，可以采納；否則就表明當(dāng)前的函數(shù)模型不能準(zhǔn)確描述觀測量之間或觀測量與未知參數(shù)之間的物理或者幾何關(guān)系［6，13］。需要指出的是，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)雖然能夠檢驗(yàn)出粗差的存在與否，但卻不能探測和準(zhǔn)確定位有幾個觀測量以及具體是哪幾個觀測量受到了多大量級的粗差污染［13，15］。

在粗差的探測與識別中，通常采用正態(tài)檢驗(yàn)、學(xué)生氏t檢驗(yàn)以及τ檢驗(yàn)等，而構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計檢驗(yàn)量既可基于局部敏感度指標(biāo)，亦可基于LS殘差。本文對實(shí)施粗差探測與識別的統(tǒng)計檢驗(yàn)量進(jìn)行了比較分析，得到如下結(jié)論：① 相關(guān)觀測情形，局部敏感度指標(biāo)比LS殘差的檢驗(yàn)功效大，若單位權(quán)中誤差精確已知，宜采用基于標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)的正態(tài)檢驗(yàn)；② 單位權(quán)中誤差未知時，τ檢驗(yàn)理論本身存在固有缺陷，而學(xué)生氏t檢驗(yàn)或?qū)⒃斐伞凹{偽”錯誤的增加，較為穩(wěn)妥的方案是仍然采用正態(tài)檢驗(yàn)，但將標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)中的單位權(quán)中誤差以其抗差LMS（least median of squares）估計代替。

2 模型描述

考慮如下線性Gauss－Markov模型［5－7］

式中，A為n×u（n－u＞1）列滿秩設(shè)計陣；X為u×1未知參數(shù)向量；L為n×1觀測向量；e為相應(yīng)的誤差（噪聲）向量，其方差－協(xié)方差陣為這里對稱正定陣P為觀測量的先驗(yàn)權(quán)陣，而通常稱為單位權(quán)方差因子。

基于LS原理，可得到模型（1）中未知參數(shù)的LS估計為［5－7］

相應(yīng)的殘差向量為

式中，R＝I－A（ATPA）－1ATP以矩陣形式反映平差結(jié)構(gòu)，是質(zhì)量的全面度量，稱為平差因子陣［12］。

容易驗(yàn)證平差因子陣R冪等，并具以下有用性質(zhì)

基于此，LS殘差的加權(quán)平方和Ω＝VTPV亦可表示為［13－16］

3 基于敏感度分析的統(tǒng)計量

3.1 標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)

將LS殘差的加權(quán)平方和對第i個觀測量li進(jìn)行微分，得到［13－14］

式中，hi表示第i個分量為1，其余分量皆為0的n維單位向量。

顯然，?Ω／?li衡量的是Ω對第i個觀測值的擾動的敏感程度。注意到

因此統(tǒng)計量

可用于檢驗(yàn)Ω對第i個觀測量的擾動是否“敏感”。

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以計算出w統(tǒng)計檢驗(yàn)量的取值，其絕對值越大，表明Ω對第i個觀測量的擾動越“敏感”，故而li受到粗差污染的可能性就越大。因此，稱為第i個觀測量的標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)［13－14］。

應(yīng)該指出的是，這里的wi即為可靠性理論中Baarda［17］導(dǎo)出的w統(tǒng)計檢驗(yàn)量。

3.2 外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)

通過對局部敏感度指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可以有效消除量綱的影響，這對于多源數(shù)據(jù)融合的質(zhì)量控制問題意義尤為重要。然而，得到標(biāo)準(zhǔn)化局部敏感度指標(biāo)的前提是先驗(yàn)單位權(quán)中誤差精確已知，否則就無法利用w統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

在測量實(shí)踐中，先驗(yàn)單位權(quán)中誤差往往未知［5－7，12］。為此，本文提出如下服從自由度為nu－1的學(xué)生氏分布的統(tǒng)計檢驗(yàn)量

當(dāng)存在多個粗差時，LS殘差的加權(quán)平方和Ω往往偏大。由定義不難知道，這或?qū)?dǎo)致外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)普遍偏小，進(jìn)而造成“納偽”錯誤的增加。因此，基于外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)探測和識別粗差潛在一定的風(fēng)險。

3.3 內(nèi)部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)

單位權(quán)中誤差未知時，還可通過構(gòu)造統(tǒng)計量進(jìn)行粗差的探測與識別，這里為平差模型式（1）中的驗(yàn)后單位權(quán)方差因子。稱為內(nèi)部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)。

統(tǒng)計量式（10）亦可表達(dá)為服從學(xué)生氏分布的統(tǒng)計量ti的函數(shù)，即

Thompson將統(tǒng)計量τi服從的分布稱為自由度為n－u的τ分布［18］。在測量質(zhì)量控制中，τ檢驗(yàn)是應(yīng)用最為廣泛的統(tǒng)計量之一［5，18－24］。

Beta分布的一個顯著特點(diǎn)是其僅僅在單位區(qū)間（0，1）內(nèi)取值［5］，于是得到

注意到關(guān)系式

有

式（15）表明，服從τ分布的統(tǒng)計量之絕對值存在上界，而且該上界僅取決于該統(tǒng)計量的自由度。

4 基于殘差的統(tǒng)計量

在經(jīng)典測量平差中僅涉及獨(dú)立等權(quán)觀測數(shù)據(jù)，這種情況下，線性最小二乘平差理論中最基本的關(guān)系式ATPV＝O退化為

因此，在傳統(tǒng)的粗差探測與識別中，均以殘差作為對象研究問題。

4.1 標(biāo)準(zhǔn)化殘差

若先驗(yàn)單位權(quán)中誤差精確已知，可構(gòu)造如下稱為標(biāo)準(zhǔn)化殘差的統(tǒng)計量［17］

探測和識別粗差。

及

式中，ri表平差因子陣R的第i個對角元。

依據(jù)Cauchy－Schwarz不等式，有

由此得到

一個統(tǒng)計檢驗(yàn)量的檢驗(yàn)功效是顯著性水平和非中心化參數(shù)的單調(diào)增函數(shù)［25］，因此統(tǒng)計量wi比標(biāo)準(zhǔn)化殘差的檢驗(yàn)功效要大，或者等價的，比統(tǒng)計量的檢驗(yàn)功效要大。

事實(shí)上，統(tǒng)計量Ti為一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計量［24］。也就是，在給定的顯著性水平上，利用Ti（或wi）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)犯“納偽”錯誤的概率比使用任何其他的統(tǒng)計量都要小。

相反，若事先指定顯著性水平和檢驗(yàn)功效，統(tǒng)計量所對應(yīng)的非中心化參數(shù)將唯一確定，由式（21）立即可知：一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計量Ti（或wi）對應(yīng)的最小可探測粗差指標(biāo)［16－17，25］不會超過統(tǒng)計量（或標(biāo)準(zhǔn)化殘差），換言之，一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計量Ti（或wi）較統(tǒng)計量（或）對粗差更敏感。

由于相關(guān)觀測情形下統(tǒng)計量wi比標(biāo)準(zhǔn)化殘差的檢驗(yàn)功效要大，而在獨(dú)立觀測情形二者則完全一致，因此建議采用統(tǒng)計檢驗(yàn)量wi進(jìn)行粗差的探測和識別。

4.2 外部學(xué)生化殘差

先驗(yàn)單位權(quán)中誤差未知時，可構(gòu)造如下統(tǒng)計檢驗(yàn)量

這稱為外部學(xué)生化殘差［4］。

根據(jù)關(guān)系式RP－1＝RP－1RT，容易驗(yàn)證矩陣

為冪等陣，注意到

綜合上款，二次型

服從自由度為n－u－1的χ2分布［5］。

由于

依據(jù)正態(tài)隨機(jī)向量的線性組合與其二次型相互獨(dú)立的判定定理［5］可知，標(biāo)準(zhǔn)化殘差與相互統(tǒng)計獨(dú)立，因而，外部學(xué)生化殘差服從自由度為n－u－1的學(xué)生氏分布。

與外部學(xué)生化局部敏感度指標(biāo)類似，當(dāng)存在多個粗差時，統(tǒng)計量或潛在一定的風(fēng)險。

4.3 內(nèi)部學(xué)生化殘差

若單位權(quán)中誤差未知，還可構(gòu)造如下稱之為內(nèi)部學(xué)生化殘差的統(tǒng)計量［26］

進(jìn)行粗差的探測與識別。

由于

根據(jù)正態(tài)隨機(jī)向量的兩個二次型相互獨(dú)立的判定定理［5］與相互統(tǒng)計獨(dú)立。因此，統(tǒng)計量

服從自由度分別為1／2、（n－u－1）／2的Beta分布。進(jìn)而，內(nèi)部學(xué)生化殘差統(tǒng)計量~τi服從自由度為n－u的τ分布［18］。

及

于是，當(dāng)擾動量δi趨于無窮大時，第i個內(nèi)部學(xué)生化殘差的絕對值之極限為

這個結(jié)果由Baselga［20］給出。

若顧及不等式（20），還可以進(jìn)一步求出上述極限值的上界

式（29）再次驗(yàn)證了這樣一個事實(shí)，即τ檢驗(yàn)理論本身確乎存在缺陷。因而，使用τ統(tǒng)計量探測和識別粗差存在一定風(fēng)險。

5 結(jié)論與建議

（1）若單位權(quán)中誤差精確已知，可采用正態(tài)檢驗(yàn)。w統(tǒng)計量反映的是χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)量對觀測值擾動的敏感程度，因而具有明確的物理意義；作為一致最大檢驗(yàn)功效統(tǒng)計量，對于給定的顯著性水平和檢驗(yàn)功效，Ti＝（或wi）能夠探測出量級最小的粗差。

因此，進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)時，w統(tǒng)計量為首選，標(biāo)準(zhǔn)化殘差次之。

（2）若σ未知，可采用τ檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)。τ檢驗(yàn)理論本身固有缺陷；而存在多個粗差時，t檢驗(yàn)或?qū)⒃斐伞凹{偽”錯誤的增加，亦存在一定的風(fēng)險。

從檢驗(yàn)功效的角度考慮，無論進(jìn)行τ檢驗(yàn)抑或t檢驗(yàn)，均建議采用基于局部敏感度指標(biāo)的檢驗(yàn)量。

（3）Robust正態(tài)檢驗(yàn)。由于τ檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)均存在一定缺陷，因此尚需對單位權(quán)方差因子未知時的粗差探測與識別作進(jìn)一步的討論。

一種較為穩(wěn)妥的解決方案是，采用具有明確物理意義的w統(tǒng)計量，而統(tǒng)計量中的未知參數(shù)σ則以其抗差LMS估計代替之［1－3，12－15］。即以

代替統(tǒng)計量wi中的先驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ。

將基于修正的w統(tǒng)計量的檢驗(yàn)稱為Robust正態(tài)檢驗(yàn)。從數(shù)學(xué)上說，修正的w統(tǒng)計量并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布。然而經(jīng)驗(yàn)表明，該統(tǒng)計量具有較強(qiáng)的抗差性，當(dāng)冗余觀測較多時尤為如此［1－3，12－15］。

［1］ HUBER P J，RONCHETTI E M.Robust Statistics［M］.2nd ed.New York：Wiley，2009.

［2］ HAMPEL F R，RONCHETTI E M，ROUSSEEUW P J，et al.Robust Statistics：The Approach Based on Influence Functions［M］.New York：Wiley，1986.

［3］ ROUSSEEUW P J，LEROY A M.Robust Regression and Outlier Detection［M］.New York：Wiley，1987.

［4］ CHATTERJEE S，HADI A S.Sensitivity Analysis in Linear Regression［M］.New York：Wiley，1988.

［5］ KOCH K R.Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models［M］.2nd ed.Berlin：Springer－Verlag，1999.

［6］ LEICK A.GPS Satellite Surveying［M］.3rd ed.New York：Wiley，2004.

［7］ WOLF P R，GHILANI C D.Adjustment Computations：Statistics and Least Squares in Surveying and GIS［M］.3rd ed.New York：Wiley，1997.

［8］ ZHOU Jiangwen.Classical Theory of Errors and Robust Estimation［J］.Acta Geodaetica et Cartograghica Sinica，1989，18（2）：115－120.（周江文.經(jīng)典誤差理論與抗差估計［J］.測繪學(xué)報，1989，18（2）：115－120.）

［9］ OU Jikun.Quasi－accurate Detection of Gross Errors（QUAD）［J］.Acta Geodaetica et Cartograghica Sinica，1999，28（1）：15－20.（歐吉坤.粗差的擬準(zhǔn)檢定法（QUAD法）［J］.測繪學(xué)報，1999，28（1）：15－20.）

［10］ SONG Lijie，YANG Yuanxi.Comparison between Data Snooping and LEGE［J］.Acta Geodaetica et Cartograghica Sinica，1999，28（4）：295－300.（宋力杰，楊元喜.均值漂移模型粗差探測法與LEGE法的比較［J］.測繪學(xué)報，1999，28（4）：295－300.）

［11］ LI Xinna，GUI Qingming，XU Apei.Besian Method for Detection of Gross Errors Based on Classification Variables［J］.Acta Geodaetica et Cartograghica Sinica，2008，37（3）：355－360.（李新娜，歸慶明，許阿裴.基于識別變量的粗差探測的Bayes方法［J］.測繪學(xué)報，2008，37（3）：355－360.）

［12］ ZHOU Jiangwen，HUANG Youcai，YANG Yuanxi，et al.Robust Least Squares Method［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，1997.（周江文，黃幼才，楊元喜，等.抗差最小二乘法［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1997.）

［13］ GUO Jianfeng.Theory of Model Errors and its Applications in GPS Data Processing［D］.Wuhan：Institute of Geodesy and Geophysics of Chinese Academy of Sciences，2007.（郭建鋒.模型誤差理論若干問題研究及其在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［D］.武漢：中科院測量與地球物理研究所，2007.）

［14］ GUO J F，OU J K，WANG H T.Quasi－accurate Detec－tion of Outliers for Correlated Observations［J］.Journal of Surveying Engineering，2007，133（3）：129－133.

［15］ GUO J K，OU J K，WANG H T.Robust Estimation for Correlated Observations：Two Local Sensitivity－based Downweighting Strategies［J］.Journal of Geodesy，2010，84（4）：243－250.

［16］ GUO J K，OU J K.Variation Characteristics of MDBs in Robust Estimation［J］.AllgVerm－Nachr，2010，117（2）：49－52.

［17］ BAARDA W.A Testing Procedure for Use in Geodetic Networks［J］.Netherlands Geod Comm Publ on Geod，1968，2（5）：1－97.

［18］ POPE A J.The Statistics of Residuals and the Detection of Outliers［R］.Rockville：NOAA Technical Report，Nos 65，NGS 1，1976.

［19］ KOK J J.On Data Snooping and Multiple Outlier Testing［R］.Rockville：NOAA Technical Report，Nos NGS 30，1984.

［20］ BASELGA S.Critical Limitation in Use ofτTest for Gross Error Detection［J］.Journal of Geodesy，2007，133（2）：52－55.

［21］ CROSS P A，PRICE D R.A Strategy for the Distinction between Single and Multiple Gross Errors in Geodetic Networks［J］.Manuscr Geod，1985，10（3）：172－178.

［22］ DING X，COLEMAN R.Multiple Outlier Detection by Evaluating Redundancy Contributions of Observations［J］.Journal of Geodesy，1996，70（8）：489－498.

［23］ SNOW K B，SCHAFFRIN B.Three－dimensional Outlier Detection for GPS Networks and Their Densification via the BLIMPBE Approach［J］.GPS Solutions，2003，7（2）：130－139.

［24］ KARGOLL B.On the Theory and Application of Model Misspecification Tests in Geodesy［D］.Bonn：University of Bonn，2007.

［25］ TEUNISSEN P J G.Quality Control in Integrated Navigation Systems［C］∥Proceedings of the IEEE PLANS90，Nevada：IEEE，1990：158－165.

［26］ COOK R D.Detection of Influential Observations in Linear Regression［J］.Technometrics，1977，19（1）：15－18.