孔憲明，鞠培軍

(泰山學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東泰安 271021)

1 引言

最近十多年來，混沌控制和同步得到廣泛而深入的研究［1－2］，其中許多結(jié)論的證明都用到了混沌系統(tǒng)最終有界的假設，因此，混沌系統(tǒng)的最終有界性證明非常重要.由于混沌系統(tǒng)的方程組是非線性的，進行純理論分析較困難.直到2002年，Tucker用計算機輔助方法嚴格論證了Lorenz吸引子存在性的信息［3］.俄羅斯學者Leonov針對Lorenz系統(tǒng)，得到系統(tǒng)全局吸引集的一個圓柱形估計式和一個球形估計式，這是典型混沌系統(tǒng)第一個全局最終有界的結(jié)果［4］.廖曉昕等通過構(gòu)造廣義正定、徑向無界Lyapunov函數(shù)，給出了Lorenz系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的統(tǒng)一結(jié)果，囊括了目前一些類似結(jié)果為特例［5－7］.最近，我們針對廣義Lorenz系統(tǒng)，通過線性變換和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，給出了系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集估計的新方法，得到了最終有界的精確估計式.

文獻［8］提出了一個新的低階大氣環(huán)流模型

當a=1/4，b=10，G=2.1，F(xiàn)=7時，上述系統(tǒng)有一個混沌吸引子，如圖1所示.

文獻［8］討論了該系統(tǒng)吸引子的特征，并數(shù)值模擬了系統(tǒng)從分歧到混沌的過程.對于這種混沌模型吸引子的研究還沒看到.本文將研究這類大氣環(huán)流模型的吸引子存在性問題，給出一個全局指數(shù)吸引集的估計式，所得系統(tǒng)的有界性結(jié)果將為進一步研究奠定了很好的基礎.

2 問題描述

類似文獻［5－7］，我們稱

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

當t→+∞時，稱Ω={X|V(X)≤L}為式(1)的一個全局吸引集.若?X0∈Ω，?t＞t0，X(t，t0，X0)?Ω，則稱Ω為正向不變集.

若還存在r＞0，?X0∈3，當V(X0)＞L，且V(X(t))＞L時，存在指數(shù)估計式V(X(t))－L≤(V(X0)－L)e－r(t－t0)則稱Ω為式(1)的一個全局指數(shù)吸引集.

3 全局指數(shù)吸引集

為式(1)的廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)，其中X=(x，y，z).

定義1［5－7］若存在正數(shù)L＞0，則對于V(X0)＞L，且V(X(t))＞L，有

1=0，因此f1(x，y)在(x1，y1)達到全局極大值.

有

利用比較定理對式(2)兩邊進行積分有

從而當V(X(t))≥L1，V(X0)≥L1時，有全局指數(shù)估計式

有

故有

分別對式(3)、(5)兩邊取上極限，便有

即

推論1 當F=G=0時，系統(tǒng)(1)的平衡點(0，0，0)全局指數(shù)穩(wěn)定.

推論2 對于控制系統(tǒng)

設計常數(shù)控制器:u1=－aF，u2=－G，則控制系統(tǒng)的平衡點(0，0，0)全局指數(shù)穩(wěn)定的.

當a=1/4，b=10，G=2.1，F(xiàn)=7時，設計以上常數(shù)控制器，仿真如圖2所示.

圖2 控制系統(tǒng)(6)的常數(shù)控制仿真圖

4 結(jié)論

本文利用廣義Lyapunov函數(shù)方法估計了一種低階大氣環(huán)流模型最終有界的問題，給出了全局指數(shù)吸引集的估計式.混沌系統(tǒng)的最終有界性將為進一步研究控制和同步奠定基礎，本文所得結(jié)果具有一定的理論和實際意義.

［1］陳關榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步［M］.北京:科學出版社，2003.

［2］楊萬利，王鐵寧.非線性動力學理論及應用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2007.

［3］TuckeW.A rigorous ODE solver and Smale’s14 problem［J］.Found Comput Math，2002(2):53－117.

［4］Leonov G A.Bound for attractors and the existence of Hornoclinic orbits in the Lorenz system［J］.JApplMathmech，2001，65(1):19－32.

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［6］廖曉昕，羅海庚，傅予力，等.論Lorenz系統(tǒng)族的全局指數(shù)吸引集和正向不變集［J］.中國科學E輯:信息科學，2007，37(6):757－769.

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