王敏娟，陳建軍，魏永祥，張 超，馬洪波

(西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710071)

區(qū)間參數(shù)智能梁結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)動力特性分析

王敏娟，陳建軍，魏永祥，張 超，馬洪波

(西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710071)

以區(qū)間參數(shù)壓電智能梁結(jié)構(gòu)為研究對象，在材料性能參數(shù)和幾何尺寸為區(qū)間變量時采用區(qū)間分析法建立了結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的區(qū)間模型。從求解結(jié)構(gòu)振動動態(tài)特性的Rayleigh商出發(fā)，利用區(qū)間變量運算法則推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)固有頻率的數(shù)字特征表達式。通過算例，考察了區(qū)間參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有頻率特性的影響，驗證了所建模型和方法的可行性與合理性。研究結(jié)果表明，文中利用區(qū)間系數(shù)分析法來研究壓電智能梁結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)的動力特性具有一定的工程應(yīng)用價值。

動態(tài)特性分析;區(qū)間運算法則;區(qū)間系數(shù);區(qū)間變量;壓電智能梁

由于壓電材料具有正、負(fù)壓電效應(yīng)且體積小、質(zhì)量輕等一系列優(yōu)點，使得其在智能結(jié)構(gòu)的振動控制中具有廣泛的應(yīng)用前景。因此，研究智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動特性的問題是一個非常有意義的課題。近年來，有關(guān)這方面的研究已有不少成果［1］問世，如:文獻［2］建立了含壓電傳感器和執(zhí)行器的智能結(jié)構(gòu)平面梁單元模型，分析了在無外力而只有外電場作用下梁的靜力位移響應(yīng);文獻［3］分析了具有分布壓電傳感器和執(zhí)行器的四邊簡支方板在開、閉環(huán)狀態(tài)下的動態(tài)特性，討論了模態(tài)形狀和相應(yīng)的模態(tài)電壓以及各階固有頻率隨反饋增益的變化情況;文獻［4］采用隨機因子法分析了隨機參數(shù)智能結(jié)構(gòu)的動力特性;文獻［5］針對壓電智能薄板結(jié)構(gòu)，建立了具有12個位移自由度、2個電自由度的有限元模型，并分析了隨機參數(shù)壓電智能板結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。然而，迄今為止所看到的智能梁結(jié)構(gòu)動力分析幾乎均屬于確定性模型或概率模型，關(guān)于區(qū)間參數(shù)智能梁結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)動力特性分析的文獻鮮有報道。

在結(jié)構(gòu)的分析與設(shè)計中，需要合理地定量處理對結(jié)構(gòu)響應(yīng)和性能起支配作用的各種參數(shù)所存在的不可避免的不確定性因素。概率理論在此領(lǐng)域曾發(fā)揮了重要的作用，得到了較為成功的應(yīng)用，隨機參數(shù)有限元方法成為不確定結(jié)構(gòu)計算的最為普遍的方法。但概率模型的應(yīng)用需要較多數(shù)據(jù)信息描述參數(shù)的概率分布類型，且通常計算量比較大。而概率數(shù)據(jù)的小誤差可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的概率計算出現(xiàn)較大偏差。因此，概率模型在統(tǒng)計數(shù)據(jù)較少或計算模型不足夠精確時，不是一種理想的模型。由于區(qū)間分析方法只需要給定參數(shù)取值的上下限范圍即可，故近年來利用區(qū)間方法進行結(jié)構(gòu)分析的研究日益受到重視，文獻［6］提出了一種求解結(jié)構(gòu)特征值問題上下界的區(qū)間計算方法，將該方法［7－8］加以拓廣并應(yīng)用于區(qū)間結(jié)構(gòu)的閉環(huán)系統(tǒng)動力特性分析和區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析中。文獻［9］提出了一種不確定性桁架結(jié)構(gòu)區(qū)間有限元分析的區(qū)間因子法，文獻［10］利用區(qū)間因子法分析了具有區(qū)間參數(shù)的智能桁架結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)問題。文獻［11－13］進一步將區(qū)間集合模型用于研究動力響應(yīng)的靈敏度分析、可靠性問題以及誤差分析，并獲得了一些重要的結(jié)果。

本文以壓電智能梁結(jié)構(gòu)為研究對象，利用區(qū)間分析法建立了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的區(qū)間模型。并通過算例分析了結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和幾何尺寸分別或同時為區(qū)間變量時對結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)動力特性的影響。其結(jié)果表明，在掌握的原始數(shù)據(jù)較少的情況下，區(qū)間分析法處理壓電智能梁結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)的動力特性問題是一種比較方便、可行而有效的方法。

1 智能梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)有限元方程

考慮一長為L、寬為w、厚為H且各向同性的平面彈性梁，其上下表面均勻地粘貼一層厚度均為h壓電片，上表面的傳感層和下表面的致動層均采用相同的材料。整個梁沿軸線方向被離散為ne個單元，相鄰兩個單元上的壓電片電極之間彼此絕緣，并假設(shè)一個壓電片只有兩個電自由度。令其單元外加作用載荷Fep=0，單元阻尼矩陣Ce=0，則由Hamilton原理并按有限元方法進行擴階和疊加后，可得壓電智能梁結(jié)構(gòu)的整體動力學(xué)有限元微分方程［2］為:

令Fc=0，可得結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)的有限元方程為:

2 區(qū)間參數(shù)壓電智能梁結(jié)構(gòu)的不確定性分析

2.1 區(qū)間分析法

設(shè)R為實數(shù)域，對于給定的兩個實數(shù)Xl，Xu∈R，且 Xl≤Xu，則有:

其中，Xl為有界閉區(qū)間;Xl、Xu為區(qū)間變量X的上下界;Xc=(Xl+Xu)/2為區(qū)間變量Xl的均值或中間點;Xr=(Xu－Xl)/2為區(qū)間變量Xl的離差或半徑;令δ=Xr/Xe=(Xu－Xl)/(Xl+Xu)為區(qū)間Xl的區(qū)間變化率。令 η =Xl/Xc，則 Xl= ηXc，η∈［Xl/Xc，Xu/Xc］，可知 η的區(qū)間均值為1。由此可見，區(qū)間系數(shù)η描述了區(qū)間變量Xl的不確定性，對任意已知上下界的區(qū)間參數(shù)而言，均可求出其相應(yīng)的區(qū)間系數(shù)。

2.2 質(zhì)量矩陣與剛度矩陣區(qū)間模型的建立

結(jié)構(gòu)參數(shù)由于各種客觀原因存在不確定性因素，必將導(dǎo)致智能梁結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的不確定性，并最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)特征值問題的不確定性。但結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的幅度或界限較易確定，如何建立區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，是區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)動力特性分析必須首先解決的問題。

根據(jù)區(qū)間運算法則［14］，可得出如下關(guān)系式的變換:

3 區(qū)間參數(shù)智能梁結(jié)構(gòu)動力特性的數(shù)字特征

對結(jié)構(gòu)動力特性的分析涉及到各階固有頻率和所對應(yīng)的固有振型向量，兩者為一一對應(yīng)關(guān)系，且完全正相關(guān)。因此，確定了結(jié)構(gòu)的每一階固有頻率也就確定了與之相對應(yīng)的固有振型。故只需分析結(jié)構(gòu)的固有頻率。將式(6)和式(9)代入結(jié)構(gòu)動力學(xué)Rayleigh商表達式，結(jié)合文獻［15］中的區(qū)間特征值表達式，即:

4 算例

壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)單元劃分與節(jié)點編號見圖1所示，其傳感層和致動層都是由同一種PVDF壓電材料均勻地粘貼在彈性體的上、下表面。沿梁的軸向被均勻地離散為4個單元，其中節(jié)點編號由左向右依次為1、2、3、4、5，單元編號由左向右依次為:①、②、③、④。每個單元的長度l為(7.35，8.65)cm，其上下兩層壓電片厚度 h 同為(0.075，0.125)mm，基梁厚度 H=(4.37，5.63)mm，梁寬 w=(4.83，5.17)mm，且?guī)缀纬叽绲膮^(qū)間分散性相同。PVDF的物理區(qū)間參數(shù)取值分別為:壓電常數(shù)為 e31=(0.045，0.047)C/m2，壓電體的介電常數(shù)為，壓電體的彈性模量為 Ep=(1.97，2.03) ×109N/m2，質(zhì)量密度為 ρp=(1.695，1.905) ×103kg/m3。彈性體的物理區(qū)間參數(shù)為:質(zhì)量密度 ρm=(7.695，8.305) ×103kg/m3，彈性模量 Em=(1.83，2.37) ×1011N/m2。

圖1 智能懸臂梁結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Intelligent cantilever beam

依據(jù)公式(12)、(13)和式(15)，在結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和幾何尺寸分別或同時為區(qū)間變量時，可通過區(qū)間運算計算得出結(jié)構(gòu)固有頻率ωi的區(qū)間系數(shù)的區(qū)間均值以及的上下界取值范圍，如表1所示。對應(yīng)于表1中所得到的區(qū)間系數(shù)，在表2中相應(yīng)地給出了壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)的三種區(qū)間模型。其中區(qū)間模型Ⅰ為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)為區(qū)間變量時前5階固有頻率的計算結(jié)果，區(qū)間模型Ⅱ為結(jié)構(gòu)幾何尺寸取區(qū)間變量時前5階固有頻率計算結(jié)果，區(qū)間模型Ⅲ為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和幾何尺寸同時為區(qū)間變量時前5階固有頻率計算結(jié)果。同時，分別列出了在物理參數(shù)與幾何參數(shù)分別和同時為區(qū)間變量時結(jié)構(gòu)固有頻率的區(qū)間變化率。為了對比本文方法的正確性與合理性，文中給出了所有區(qū)間變量取區(qū)間均值時以及區(qū)間參數(shù)同時取上限和下限時結(jié)構(gòu)開環(huán)系統(tǒng)固有頻率的確定性模型計算結(jié)果。

對比表2中區(qū)間變化率的計算結(jié)果可知，在結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和物理參數(shù)的區(qū)間分散性相同的情況下，前者對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率的區(qū)間分散性影響較大;在結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和幾何參數(shù)同時為區(qū)間變量時，結(jié)構(gòu)固有頻率的區(qū)間變化率將顯著增大。因此，在不確定性結(jié)構(gòu)的分析中，結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間分散性是不容忽視的。

表1 固有頻率區(qū)間系數(shù)的取值范圍Tab.1 Value range of interval coefficient of natural frequency

表2 各階固有頻率取值范圍及區(qū)間均值的計算結(jié)果Tab.2 Results of value range and interval mean value of natural frequency for every step

5 結(jié)論

文中基于區(qū)間分析法構(gòu)建了壓電智能梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣的區(qū)間模型，并在結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)和幾何參數(shù)均為區(qū)間變量的情況下，利用區(qū)間系數(shù)法分析了區(qū)間參數(shù)壓電智能梁結(jié)構(gòu)固有頻率的數(shù)字特征。

通過算例考察了文中所建立的區(qū)間參數(shù)壓電智能梁結(jié)構(gòu)的有限元模型是合理的。該方法的優(yōu)點在于只需已知系統(tǒng)中諸區(qū)間參數(shù)的上下界，即可反映出任一區(qū)間參數(shù)對壓電智能梁結(jié)構(gòu)固有頻率區(qū)間分散性的影響程度。對比算例中確定性模型的計算結(jié)果可知:文中的求解方法是可行且有效的。

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Dynamic characteristic analysis of an open-loop system for an intelligent beam with interval parameters

WANG Min-juan，CHEN Jian-jun，WEI Yong-xiang，ZHANG Chao，MA Hong-bo

(School of Electromechanical Engineering，Xidian University，Xi'an 710071，China)

Structures with a piezoelectric intelligent beam were taken as study objects here.According to the method of interval analysis，the interval models of mass matrix and stiffness matrices with interval variables for structural physical parameters and geometric dimensions were built.From Rayleigh quotient for dynamic characteristic of structural vibration，and based on the interval algorithms，the computation expressions of natural frequencies of a structural openloop system were deduced.Through an example，the effects of the uncertainty of the structural interval parameters on the structural natural frequency were inspected，and the model constructed and the method proposed here were verified.It was shown that the interval coefficient method is applicable in dealing with the dynamic characteristic of an open-loop system of an intelligent beam.

dynamic characteristic analysis; intervalalgorithms; intervalcoefficient; intervalvariables;piezoelectric intelligent beam

O324

A

國家863高技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(2006AA04Z402);國家自然科學(xué)基金項目(50905134)資助

2010－08－31 修改稿收到日期:2010－11－18

王敏娟 女，博士生，1981年生