蘇金鳳

(陜西省綏德師范學(xué)校(榆林第二實(shí)驗(yàn)中學(xué))，陜西 綏德 718000)

黃金分割數(shù)，它的發(fā)現(xiàn)最早可追溯到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的工作中。當(dāng)時(shí)畢氏學(xué)派由于掌握了正五邊形和五星圖的作圖方法而把五星圖作為學(xué)派的徽章。并要求:凡畢氏學(xué)派學(xué)員都要佩戴五星圖紀(jì)念章。畢氏學(xué)派研究五星圖時(shí)發(fā)現(xiàn):相鄰頂點(diǎn)的兩條對(duì)角線互相將對(duì)方分割成一長一短兩部分，它們滿足一種和諧的關(guān)系式。全線段:較長的=較長的:較短的，而且較長的一段正好等于正五邊形的邊長。即:在線段AB上取一點(diǎn)P，把AB分成AP、PB兩段，且滿足AB:AP=AP:PB(見圖1)，這也就是黃金分割。

圖1 黃金分割比例圖

畢氏學(xué)派畫五星圖就是采用圖2的“奇妙分割”作依據(jù)的［1，2］。他們以AB為一邊作正方形ABCD(如下圖2)，取 AD的中點(diǎn) E，延長 DA至 F，使EF=EB。作正方形AFGP，則點(diǎn)P即為所求的“奇妙分割”分點(diǎn)。

在畢達(dá)哥拉斯去世后約150多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯(Eudoxus，公元前408～355年)創(chuàng)立了比例論并研究畢氏學(xué)派的“奇妙分割”，他把分割中較短線段與較長線段之比叫做“中外比”，并發(fā)現(xiàn):五星圖中的每一條線段都跟比它稍長的那條線段形成“中外比”。而用平面幾何的方法最先完美地論證“中外比”是在古希臘幾何學(xué)家歐幾里德(Euclid，約公元前330～公元前275)的《幾何原本》中。直至歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，意大利著名畫家達(dá)·芬奇(Da Vinci，1452～1519)才首次命名這種比例關(guān)系為“黃金分割”，從那時(shí)起，黃金分割的美名一直沿用至今。而這種特殊比的數(shù)值是在無理數(shù)被確認(rèn)后才給出。給出的過程如下:

圖2 奇妙分割分點(diǎn)

在圖 1 中，設(shè) AB=l，AP=a，則 PB=l－a，可見黃金比，人們把這個(gè)數(shù)叫做“黃金分割數(shù)”。所謂的0.618就是黃金分割數(shù)的近似值［2，3］。

十七世紀(jì)德國偉大天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒(Johannes Kepler，1571 ～1630)曾說過，幾何學(xué)中存在兩件珍寶，一是勾股定理，二是中外比(即黃金分割率)。斷言:宇宙萬物，凡符合黃金分割率的，總是最美的形體。歷經(jīng)兩千多個(gè)春秋，它已在人類社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［4］。

1 黃金分割數(shù)在美學(xué)方面的體現(xiàn)及其應(yīng)用

1.1 在人體上的驗(yàn)證

據(jù)研究:如果人體均符合“人的頭頂至臍與臍至腳底之比、臀寬與軀干長度之比、下肢長度與上肢長度之比、下肢長度與全身長之比都是0.618，且眼位于發(fā)際至頰底的上、中三分之一交界處，鼻下點(diǎn)位于發(fā)際至頰底中、下三分之一交界處［5］”，就會(huì)顯得相貌端莊，體貌勻稱。模特的身體之所以給人以美的享受就是這個(gè)原因。由于一般人身長與軀干之比大約只有0.58，因而芭蕾舞演員在翩翩起舞時(shí)要不時(shí)的踮起腳尖。同樣的道理女孩子喜歡穿高跟鞋，也是為了讓自己的體型更加勻稱、完美。

1.2 在實(shí)驗(yàn)中的驗(yàn)證

1876年，德國近代實(shí)驗(yàn)美學(xué)家費(fèi)希納·古斯塔夫·西奧多(Fechner Gustar Theodor，1801～1887)曾做了一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，他精心設(shè)計(jì)出許多不同的矩形;然后邀請(qǐng)?jiān)S多朋友來參觀，請(qǐng)他們各自選一個(gè)自認(rèn)為最美的矩形;結(jié)果，592位來賓選出了4個(gè)矩形，這4個(gè)矩形看上去協(xié)調(diào)、勻稱、舒適，確實(shí)能給人一種美的享受，費(fèi)希納動(dòng)手測量了這4個(gè)矩形的邊長，發(fā)現(xiàn)它們的寬和長分別是 5，8;8，13;13，21;21，34，而這些矩形的寬與長之比都出乎意料的接近于0.618，5/8≈0.625，8/13≈0.615，13/21≈0.625，31/34≈0.618，這是偶然的嗎?其實(shí)只要我們細(xì)心留意觀察，生活中到處充滿美妙的黃金分割0.618舞臺(tái)表演時(shí)，主持人通常會(huì)站到舞臺(tái)的黃金分割處，這樣觀眾就感覺到很勻稱，而且聲音的傳播效果也最好。

1.3 在音樂中的應(yīng)用

美國數(shù)學(xué)家喬巴茲分析得:莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這是什么原因呢?一位美國音樂家回答:莫扎特喜歡數(shù)字游戲并懂得黃金分割，可能是在有意識(shí)地運(yùn)用黃金分割數(shù)。中國一位二胡演奏家在漫長的演奏生涯中發(fā)現(xiàn):如果把二胡的千斤放在琴弦某處，音色出現(xiàn)無與倫比的美妙，數(shù)學(xué)家對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn):千斤所在位置正是琴弦的黃金分割點(diǎn)。不僅如此，國際經(jīng)典樂章《十面埋伏》、《命運(yùn)》、《藍(lán)色多瑙河》等的高潮無不落在全曲中的黃金分割點(diǎn)處。因而我國音樂家、作曲家錢仁康(1914～)教授說:“藝術(shù)上的‘黃金分割’比例和音樂中高潮的位置有密切的聯(lián)系”。

1.4 在繪畫上的應(yīng)用

為何參觀的人在現(xiàn)藏于法國巴黎羅浮宮博物館的意大利著名畫家達(dá)·芬奇的代表作《蒙娜麗莎》畫前留戀往返，一看再看呢?人們研究得知此油畫的人體比例適合黃金分割比例。同樣其《最后的晚餐》中猶大形象也處在黃金分割點(diǎn)上。正是由于這些發(fā)現(xiàn)才有了現(xiàn)代繪畫和攝影作品中，畫面的中點(diǎn)也往往置于布局的黃金分割點(diǎn)處。

1.5 在建筑上的應(yīng)用

古希臘雅典的巴特農(nóng)神殿(Baht Agriculture Temple)，大理石柱廊高恰好占整個(gè)神殿高度的0.618;古埃及的胡夫大金字塔，其高與底部正方形邊長之比為0.62;埃菲爾鐵塔在比例上也適合黃金分割法;加拿大的多倫多電視塔，嵌在塔中上部的扁圓的空中樓閣，恰好位于塔身全長的0.618處。因而在現(xiàn)代，日常生活用品中，如書本、柜廚、門窗等它的寬、長之比滿足0.618，則被人們普遍接受;人們也常常在高塔的黃金分割點(diǎn)處建造樓閣或設(shè)置平臺(tái)，能使平直、單調(diào)的塔身多姿多彩;而在摩天大樓的黃金分割處設(shè)置腰線或裝飾物，可使整個(gè)樓顯得宏偉而雅致。

2 黃金分割數(shù)在地理學(xué)中的體現(xiàn)及其應(yīng)用

地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)，同時(shí)又在不停地自轉(zhuǎn)。因而地球自轉(zhuǎn)軸與公轉(zhuǎn)道形成一個(gè)夾角。當(dāng)?shù)厍蚬D(zhuǎn)至不同地點(diǎn)時(shí)，太陽光直射到地球表面的點(diǎn)是不同的。冬至?xí)r直射到地球南緯23.43°，而夏至?xí)r則直射到地球北緯23.43°，人們把這兩個(gè)角的緯度線稱為南、北回歸線?？茖W(xué)研究發(fā)現(xiàn):地球的南、北回歸線就是地球的“黃金分割”線，直射太陽光就在兩條“黃金分割”線之間移動(dòng)，運(yùn)用部分與整體的比例方法計(jì)算:(23.43°+90°)/180°≈0.6301，這個(gè)數(shù)與0.618非常接近。從地圖上看，南回歸線、北回歸線附近地區(qū)地上地下物產(chǎn)豐富。因而人們不由得想到:由回歸線處于地球上黃金分割的位置則知“黃金分割”與太陽光直射角有關(guān)。

同樣地理環(huán)境的形成也離不開太陽、月球等星體對(duì)地球的影響。地表的緯度范圍是0°～90°，黃金分割的結(jié)果是34.38°～55.62°，它應(yīng)是地表的黃金地區(qū)。這些地區(qū)平均氣溫、年日照時(shí)數(shù)、降水量、相對(duì)濕度等多方面因素都是適于人類生活的最佳地區(qū)的一個(gè)驗(yàn)證。

3 黃金分割數(shù)在生物學(xué)中的體現(xiàn)及其應(yīng)用

植物學(xué)家們觀察到:當(dāng)一株嫩芽抽枝吐葉時(shí)，如果從這株嫩葉的頂端看下去，可以看到上、下層相鄰的兩片葉子之間的夾角為127.5°的角度。如果每層葉子只畫一片來表示，第一層與第二層相鄰兩葉之間的角度差約為137.5°，以后二層～三層，三層～四層，四層～五層，……，兩葉之間都成這個(gè)角度。我們知道，一周角為360°，那么就有:

137.5 °/(360°－137.5°)≈0.618 的結(jié)果，而這種事實(shí)已被生物學(xué)家證明對(duì)葉子的通風(fēng)和采光最為有利。同理向日葵的種子也是按特定的對(duì)數(shù)螺旋線排列的，而它們的螺旋線上的距離竟也服從黃金分割規(guī)律。其實(shí)早在中世紀(jì)的歐洲，就有人發(fā)現(xiàn)美妙的植物葉片、花瓣、松果殼瓣從小到大的序列，即是以0.618:1的近似值排列的。而動(dòng)物學(xué)家在某些動(dòng)物角質(zhì)體上，有甲殼的軟體動(dòng)物身上，也都發(fā)現(xiàn)了“黃金螺線”。建筑學(xué)家們還利用這一現(xiàn)象來設(shè)計(jì)螺旋狀大廈，以使每個(gè)房間都得到充足的陽光照射。

4 黃金分割數(shù)在醫(yī)學(xué)上的體現(xiàn)及其應(yīng)用

據(jù)醫(yī)療氣象學(xué)家研究表明，人體感覺最為舒適的氣溫是22℃ ～23℃，在這個(gè)溫度環(huán)境中，人體的生理功能、生活節(jié)奏等新陳代謝水平處于最佳狀態(tài)，而人體正常體溫一般是36℃ ～37℃，這兩個(gè)數(shù)字之比正符合黃金分割率。

醫(yī)學(xué)家指出:人吃飯，一般吃六、七成飽最佳，并且攝入的飲食以六分粗糧、四分精糧為宜，這樣有益于腸胃的消化吸收。除此之外，合理的生活作息也會(huì)使人延年益壽，一天24 h中，2/3時(shí)間用于工作與生活，1/3用于休息睡眠乃是最佳的養(yǎng)生之道。研究還證明了生理抗衰與心理抗衰之比也符合黃金分割，即人們可以通過充分調(diào)動(dòng)協(xié)調(diào)心理和生理兩方面的力量來延緩衰老，以達(dá)到延年益壽的最佳效果。

近年來，一些學(xué)者通過對(duì)3萬名精神分裂癥病人和2萬名癌癥病人進(jìn)行調(diào)查并經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn):精神分裂癥病人出生于1月、2月者居多，7月、8月者居少;癌癥病人生于12月、3月者居多，7月、8月者居少。上述調(diào)查與出生地點(diǎn)無關(guān)，因而他們認(rèn)為:人們的出生月份(指農(nóng)歷)與患病類型存在著內(nèi)在聯(lián)系:如果將1、12進(jìn)行黃金分割得7.4，恰值7月至8月之間，若上推懷孕的九個(gè)月零十天，大約為11月份，即為婦女最佳受孕自然高峰期。據(jù)醫(yī)學(xué)人士分析:7月、8月份這段時(shí)間人體血液中的淋巴細(xì)胞數(shù)量最多，由于淋巴細(xì)胞可以產(chǎn)生抵抗各種微生物的淋巴因子，因而人的免疫力較強(qiáng)、較少生病，成為人體抵抗力最強(qiáng)的時(shí)期。這就為人類的優(yōu)生優(yōu)育提供了有力的科學(xué)依據(jù)。

人們?cè)缫阎?，人的面部五官符合黃金比例。因?yàn)槊肌⒀坶g存在一定的比例關(guān)系，它包含了眉與眼的關(guān)系、重瞼線與眼裂寬度的關(guān)系，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中的重瞼美容術(shù)采用“測出活體上眉下緣到下瞼緣的距離，利用線段比值關(guān)系(黃金分割)計(jì)算出重瞼線的理想數(shù)值。”為科學(xué)依據(jù)。對(duì)要求重瞼美容術(shù)者，通過測量眉－眼間有關(guān)線段計(jì)算其線段的比值，即可知道是否需要重瞼術(shù)，以此測算看手術(shù)后能否重建美的比例關(guān)系，使它達(dá)到或接近黃金比0.618，以達(dá)到美容效果。

5 黃金分割數(shù)在經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)中的應(yīng)用

5.1 統(tǒng)計(jì)調(diào)查和分析中的應(yīng)用

在調(diào)查方案的設(shè)計(jì)中，黃金數(shù)有時(shí)可以幫助我們以最小的投資獲得最大的效益。在典型調(diào)查中可以用下面的公式對(duì)分類總體確定要調(diào)查的類別:(最高類別－最低類別)×0.618+最低類別。從理論上說，在精確度要求不太高的情況下，是完全可行的，而且有時(shí)還可以用來驗(yàn)證全面調(diào)查數(shù)字的真實(shí)性。

如以對(duì)學(xué)生調(diào)查為例先將全年級(jí)同學(xué)按平均成績分成五類:不及格;60分～69分;70分～79分;80分～89分;90分～100分。由上列公式求得要調(diào)查的類別為:(5－1)×0.618+1=3.472了，即要對(duì)平均成績?cè)?0分～89分之間占總數(shù)的67.1%的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查表明，這部分同學(xué)程度已達(dá)97.3%了。

統(tǒng)計(jì)分析中，如果在統(tǒng)計(jì)資料中選取某一關(guān)鍵數(shù)值指標(biāo)中最高值與最低值之間黃金點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)進(jìn)行重點(diǎn)分析，往往會(huì)收到事半功倍的效果。例如，在分析近年農(nóng)民家庭經(jīng)營情況時(shí)，將1989～1992年住戶調(diào)查分戶報(bào)表中人均純收入這一指標(biāo)中的黃金分割點(diǎn)附近調(diào)查戶數(shù)據(jù)。進(jìn)行對(duì)比分析，節(jié)省了大量人力物力，取得了令人滿意的結(jié)果。

5.2 在商業(yè)和消費(fèi)中的應(yīng)用

商品的價(jià)格往往是人們十分關(guān)注的問題，在購買商品時(shí)，考慮對(duì)商品價(jià)格高低檔的選擇時(shí)，也可以用黃金數(shù)的原理來確定你認(rèn)為較合適檔次商品的價(jià)格:(高檔價(jià)－低檔價(jià))×0.618+低檔價(jià)，如果你仍然覺得價(jià)格太高或太低，不合適，那可將算得的數(shù)作為高檔或低檔價(jià)再按上式算一次，直到自己可以接受為止。運(yùn)用這樣的方法，生產(chǎn)廠家也會(huì)掌握產(chǎn)品的成本與銷量關(guān)系，他們?cè)诖_定某商品的批發(fā)價(jià)時(shí)也會(huì)用公式:批發(fā)價(jià)=(零售價(jià)－成本)×0.618+成本。然而，事實(shí)驗(yàn)證，這正符合了人們的購買趨勢(shì)。小戶型在面積大小上存在黃金分割，在30～80平米間，存在一個(gè)黃金分割數(shù)50余平米，此戶型在商場上的熱度超過了其他規(guī)格，因?yàn)樗粌H為商家節(jié)省了戶型面積，而且滿足消費(fèi)者高品質(zhì)的居家生活，更重要的是為雙方減少了不必要的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。

5.3 在制冷與采暖選取設(shè)備中的應(yīng)用

長期以來，在空調(diào)系統(tǒng)設(shè)備選型進(jìn)程中，存在著一個(gè)盲點(diǎn)，即不知道在總供熱量和總制冷量已確定的情況下，如何選擇機(jī)型?通常的做法是將總供熱量或總制冷量平均分成若干份，再選擇若干臺(tái)機(jī)器來進(jìn)行供熱和制冷，實(shí)際上這是不合理的。為了便于調(diào)節(jié)，同時(shí)也為了節(jié)能，延長設(shè)備使用壽命和便于維修，正確的設(shè)備選型方法應(yīng)按照下述公式:設(shè)備負(fù)荷=最大負(fù)荷×0.618進(jìn)行選擇。如果仍然過大，則再將上述公式應(yīng)用一次或若干次，計(jì)算完成取整后，在進(jìn)行設(shè)備負(fù)荷的組合。例如:總制冷量為260×104kcal/h的天河機(jī)場航站樓，如何配備冷水機(jī)組?原來的做法是選擇兩臺(tái)130×104kcal/h的冷水機(jī)組，這樣，單臺(tái)機(jī)組的制冷量均超過100×104kcal/h，過大，不便于調(diào)節(jié)。按照黃金分割法:260×104kcal/h×0.618=160×104kcal/h，再對(duì)160×10 kcal/h進(jìn)行黃金分割:

因此，最后實(shí)際上是選擇兩臺(tái)100×104kcal/h的冷水機(jī)組和一臺(tái)60×104kcal/h的冷水機(jī)組。

從初夏到漸熱再到盛夏，只要依次使用60×104kcal/h的冷水機(jī)，再單獨(dú)開啟一臺(tái)100×104kcal/h的機(jī)組，然后換成一臺(tái)100×104kcal/h和一臺(tái)60×104kcal/h的兩臺(tái)機(jī)組組合或者兩臺(tái)100×104kcal/h的機(jī)組組合。盛夏時(shí)，開啟3臺(tái)機(jī)組。這樣選擇更加合乎情理。

6 黃金分割數(shù)在軍事上的體現(xiàn)和應(yīng)用

6.1 黃金分割數(shù)0.618在軍事武器中的應(yīng)用

在冷兵器時(shí)代，人們?cè)谥圃鞂殑?、刀、長矛等武器時(shí)，黃金分割率已處處體現(xiàn)了出來，因?yàn)榘催@樣的比例制造出來的兵器，用起來會(huì)更加得心應(yīng)手。當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來的時(shí)候，它的槍把和槍身的比例很不科學(xué)合理，很不方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了1918年，一個(gè)美遠(yuǎn)征軍下士，對(duì)這種步槍進(jìn)行了改造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。實(shí)際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導(dǎo)彈沿彈道飛行的頂點(diǎn);從飛機(jī)進(jìn)入俯沖轟炸狀態(tài)的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設(shè)計(jì)時(shí)的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發(fā)現(xiàn)黃金分割率無處不在。在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12 km，最小射程為4 km，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進(jìn)行戰(zhàn)斗部署時(shí)，如果是進(jìn)攻戰(zhàn)斗，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防御戰(zhàn)，則大炮陣地應(yīng)配置距己方前沿2/3倍最大射程處。

6.2 黃金分割數(shù)0.618在戰(zhàn)術(shù)布陣上的應(yīng)用

春秋戰(zhàn)國期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰(zhàn)于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點(diǎn)，因此以中軍之一部進(jìn)攻楚軍之左軍;以另一部進(jìn)攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點(diǎn)的選擇，恰在黃金分割點(diǎn)上。成吉思汗的蒙古騎兵之所以能像颶風(fēng)掃落葉般地席卷歐亞大陸，除了游牧民族的彪悍勇猛、善于騎射以及騎兵的機(jī)動(dòng)性以外，更為重要的原因是蒙古騎兵的戰(zhàn)斗隊(duì)形:在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動(dòng)輕騎兵的比例為2∶3，近似于黃金分割數(shù)。

此外，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，許多國家的軍隊(duì)在實(shí)施具體進(jìn)攻任務(wù)時(shí)，往往是分梯隊(duì)進(jìn)行的第一梯隊(duì)的兵力約占總兵力的2/3，第二梯隊(duì)約占1/3。在第一梯隊(duì)中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊(duì)總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防御戰(zhàn)斗中，第一道防線的兵力通常為總數(shù)的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數(shù)的1/3。

總之，黃金分割是非常迷人的，它有著豐富的內(nèi)涵，盡管我們已經(jīng)看到了它的千奇百態(tài)，卻至今還沒有探到它的謎底，它正用它迷人的微笑向我們的智慧挑戰(zhàn)。隨著社會(huì)和科學(xué)的發(fā)展，人類會(huì)在更為廣闊的領(lǐng)域里應(yīng)用到它。自然之迷永無窮盡，智慧之創(chuàng)永遠(yuǎn)有用武之地。

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