， ,2，,2

(1.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院船舶CAD工程中心，遼寧 大連 116024；2.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面方法(RSM)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)分析相結(jié)合的綜合試驗(yàn)技術(shù)，用于處理幾個(gè)變量對一系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的影響問題，被應(yīng)用于眾多領(lǐng)域中。在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，響應(yīng)面方法主要被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性分析等方面，其作為一種近似計(jì)算方法，在過去十幾年中得到迅速發(fā)展和應(yīng)用[1-2]。目前在國內(nèi)已有研究人員將響應(yīng)面法用于大型船舶的中剖面結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，但只是初步嘗試，其中有學(xué)者簡化了船舶有限元模型的橫向構(gòu)件，忽略了縱向骨材，僅考慮純扭轉(zhuǎn)這一種工況而未選取結(jié)構(gòu)最危險(xiǎn)的工況[3]。

1.1 原理

首先假設(shè)一個(gè)包含未知系數(shù)的、由狀態(tài)變量與基本變量構(gòu)成的解析表達(dá)式，然后用擬合的方法來確定未知系數(shù)以表達(dá)隱式函數(shù)或高度非線性函數(shù)。多項(xiàng)式系數(shù)的確定一般以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，應(yīng)用二水平因子設(shè)計(jì)或正交組合設(shè)計(jì)回歸得到特定因子的最小二乘估計(jì)。采用此方法時(shí)，若隨機(jī)變量個(gè)數(shù)越多，則試驗(yàn)次數(shù)越多。

在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析領(lǐng)域，響應(yīng)面函數(shù)模型常采用二階多項(xiàng)式形式。

(1)

式中：a，bi，ci，di——待定系數(shù)；

xi——基本變量，i=1,2,…，n。

為簡化計(jì)算，避免限制響應(yīng)面法的應(yīng)用范圍，本文根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[4]保留常數(shù)項(xiàng)、一階項(xiàng)及二階平方項(xiàng)，舍去二階交叉項(xiàng)，采用以下形式。

(2)

響應(yīng)面法用二次多項(xiàng)式代替大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，并通過系數(shù)迭代進(jìn)行調(diào)整，一般都能滿足實(shí)際工程的精度要求，具有較高的效率和使用價(jià)值。

1.2 基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化

通常的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)著眼于重量最輕等目標(biāo)并借助基于梯度信息的傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法直接進(jìn)行尋優(yōu)，而高精度結(jié)構(gòu)有限元分析模型的引入使得計(jì)算時(shí)間變長，且在約束條件較多的情況下不利于尋優(yōu)，往往容易陷入局部最優(yōu)解。而探索型優(yōu)化技術(shù)(如模擬退火算法、蟻群算法、遺傳算法等)在全局搜索中往往要對目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行大量的計(jì)算評(píng)估，計(jì)算規(guī)模不易控制，這對于借有限元法計(jì)算的目標(biāo)值(應(yīng)力響應(yīng)、壽命響應(yīng))而言，其計(jì)算代價(jià)過大[5]。

為解決上述問題，借助試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和響應(yīng)面近似模型技術(shù)建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法?；舅枷胧窃谝?guī)范設(shè)計(jì)方法的指導(dǎo)下選取結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量，利用靈敏度分析方法選取對結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大的樣本點(diǎn)，并對艙段結(jié)構(gòu)建立有限元模型并進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，得到對應(yīng)各樣本點(diǎn)的響應(yīng)(包括彎曲應(yīng)力和剪切應(yīng)力)。利用這些樣本點(diǎn)和響應(yīng)值建立應(yīng)力的響應(yīng)面近似模型，避免在尋優(yōu)過程中進(jìn)行大量耗時(shí)的有限元建模和分析[6]。

1.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

響應(yīng)面法的計(jì)算成本隨樣本點(diǎn)向量維數(shù)的增加而快速增長，其擬合能力很大程度上受樣本點(diǎn)的試驗(yàn)空間分布影響。樣本點(diǎn)向量維數(shù)很大時(shí)，首先要進(jìn)行靈敏度分析和試驗(yàn)設(shè)計(jì)。目前主要的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有全因子設(shè)計(jì)、部分因子設(shè)計(jì)、正交組合設(shè)計(jì)等[7]。

為兼顧時(shí)間和擬合精度，采用正交試驗(yàn)安排響應(yīng)面試驗(yàn)。試驗(yàn)所考察的結(jié)果稱為指標(biāo)，如結(jié)構(gòu)的最大剪應(yīng)力、最大相當(dāng)應(yīng)力、最大位移等。對指標(biāo)可能有影響的參數(shù)稱為因素，如結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、材質(zhì)等。各因素用于比較的具體條件稱為水平，如：幾何尺寸的5個(gè)不同取值。

2 構(gòu)造結(jié)構(gòu)響應(yīng)面模型

2.1 艙段有限元模型的建立

按照中國船級(jí)社的相關(guān)規(guī)范[8]建立艙段模型，并施加相應(yīng)的邊界條件及載荷，見圖1。

圖1 艙段有限元模型

為了盡量消除邊界條件的影響，僅以模型中部整艙段的雙層底縱桁作為研究對象。船底縱桁的最大受力出現(xiàn)在隔艙裝載工況，相當(dāng)應(yīng)力云圖見圖2。

由圖2可見，船底縱桁的應(yīng)力分布是不均勻的。在隔艙裝載工況下，貨艙范圍內(nèi)的中底桁中段及橫艙壁的下方縱桁受力顯著大于其它區(qū)域。根據(jù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算對縱桁厚度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，不僅能夠提高船舶的安全性，而且可以降低船舶的結(jié)構(gòu)重量。

2.2 正交試驗(yàn)分析

船體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響構(gòu)件強(qiáng)度的參數(shù)眾多，為了能夠更合理地構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，針對該艙段應(yīng)力最大的重貨隔艙裝載工況，對不同受力區(qū)域、不同厚度的船底縱桁進(jìn)行敏感度分析。實(shí)際上，對于包含重貨隔艙裝載的散貨船，船底縱桁的板厚主要取決于重貨隔艙工況，所以上述假設(shè)是合理的?？v桁初始設(shè)計(jì)厚度見圖3。

圖3 不同區(qū)域的縱桁厚度

本著基于母型、不增加焊縫的原則確定設(shè)計(jì)參數(shù)，各參數(shù)所代表的區(qū)域見表1。選取對強(qiáng)度影響比較大的參數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)中的自變量。分析方法是，保持其它參數(shù)不變，變化其中某一參數(shù)，利用有限元軟件計(jì)算、分析此參數(shù)的變化對最大相當(dāng)應(yīng)力及最大剪切應(yīng)力的影響。

通過參數(shù)化建模，變換板厚尺寸，進(jìn)行試驗(yàn)后，對參數(shù)進(jìn)行敏感度分析。選擇敏感度較大的第#149～#153肋位的中底桁厚度x1、第#173～#177肋位的中底桁厚度x5、第#155～#171肋位的旁底桁厚度(距舯2.57 m)x8、第#173～#177肋位的旁底桁厚度(距舯2.57 m)x10以及第#149～#153肋位的旁底桁厚度(距舯5.53 m)x11作為自變量。

表1 設(shè)計(jì)變量及所代表的區(qū)域

以減少試驗(yàn)次數(shù)為原則[9]，采用正交試驗(yàn)法安排響應(yīng)面試驗(yàn)。選用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)面方程，其中參數(shù)為5個(gè)，方程的未知數(shù)為11個(gè)(方程未知數(shù)個(gè)數(shù)等于2n+1)，5水平5參數(shù)的正交試驗(yàn)需進(jìn)行21次。試驗(yàn)結(jié)果見表2。

表2 正交試驗(yàn)表

利用最小二乘法擬合響應(yīng)面函數(shù)：

ye=1 179-39.2x1-33.9x5-1.1x8-

(3)

yτ=746.056 6-18.085 4x1-22.756 0x5-

3.459 3x8-9.294 6x10-17.690 5x11+

(4)

式中：ye——最大相當(dāng)應(yīng)力的響應(yīng)值；

yτ——最大剪切應(yīng)力的響應(yīng)值。

根據(jù)公式

(5)

進(jìn)行擬合優(yōu)度計(jì)算，得出各響應(yīng)面函數(shù)的RNL分別為0.992 54和0.995 14。

擬合優(yōu)度指標(biāo)表明，通過試驗(yàn)擬合的雙層底縱桁強(qiáng)度響應(yīng)面的擬合優(yōu)度高，即響應(yīng)面相對于實(shí)際模擬得比較好，為下一步進(jìn)行優(yōu)化提供了良好的前提。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)回歸方程的二次多項(xiàng)式及相關(guān)規(guī)范[10]要求，以雙層底縱桁結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕為目標(biāo)，建立如下優(yōu)化模型。

minF(x)=P×10-3×(A1x1+A2x2+A3x3+A4x4+A5x5+A6x6+A7x7+

A8x8+A9x9+A10x10+A11x11+

A12x12+A13x13+A14x14+A15x15+

A16x16+A17x17)

s.t.x1,x3,x5,x7,x9>=17;

x2,x4≥20;

x6,x8,x10≥14;

x5,x12,x13,x14,x15,x16,x17≥12;

xi為整數(shù)，(i=1,2,…,17)

ye≤[σ]

yτ≤[τ]

式中：xi——板厚，mm；

Ai——表面積，m2；

ρ——密度，t/m3；

[σ]——許用應(yīng)力，MPa；

[τ]——許用剪切應(yīng)力，MPa。

使用非線性整數(shù)優(yōu)化的分支定界法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，將各區(qū)域的底桁材厚度作為離散變量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果見表3及圖4。

表3 船底縱桁設(shè)計(jì)變量優(yōu)化結(jié)果

圖4 優(yōu)化后的縱桁厚度

原始重量50.2 t，優(yōu)化重量46.845 t，優(yōu)化后較實(shí)際設(shè)計(jì)重量減小了6.7%。

使用優(yōu)化后的板厚對模型重新建模計(jì)算得最大相當(dāng)應(yīng)力212 MPa(如圖5所示)，最大剪切應(yīng)力113 MPa，均滿足規(guī)范要求。

圖5 優(yōu)化后的應(yīng)力云圖

通過優(yōu)化結(jié)果及驗(yàn)證結(jié)果可以看出，利用大型通用有限元軟件和響應(yīng)面法探討散貨船艙段縱桁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，其計(jì)算結(jié)果合理可信，說明了該方法是可行的。

4 結(jié)論

1)提出一種基于響應(yīng)面的船體結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，首次將響應(yīng)面方法和有限元法應(yīng)用到散貨船船底縱桁結(jié)構(gòu)優(yōu)化的計(jì)算中，針對不同受力區(qū)域的縱行板厚進(jìn)行優(yōu)化，驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性。

2)對不同受力區(qū)域的縱桁厚度參數(shù)進(jìn)行敏度分析，合理選擇構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)的自變量，而后運(yùn)用正交試驗(yàn)的方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)，最后通過最小二乘法擬合成響應(yīng)面函數(shù)。該函數(shù)能夠模擬散貨船船底縱桁在隔艙裝載時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。

3)構(gòu)建了散貨船整艙段的船底縱桁結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型。該優(yōu)化模型以該貨艙段雙層底縱桁的重量最輕為設(shè)計(jì)目標(biāo)，以不同區(qū)域的縱桁厚度為設(shè)計(jì)變量，以總縱彎曲產(chǎn)生的最大彎曲應(yīng)力、最大剪切應(yīng)力及相關(guān)規(guī)范要求為約束條件。優(yōu)化結(jié)果顯示該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法減輕了船底縱桁重量。

4)該方法具有一定的通用性，響應(yīng)面函數(shù)的擬合與結(jié)構(gòu)具體形式無關(guān)，因而可以應(yīng)用于大多數(shù)散貨船的典型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

[1] ROUX W J, STANDER N, HAFTKA R T.Response surface approximations for structural optimization[J].In ternational Journal forNumerical Methods in Engineering,1998,42 (3)：517-534.

[2] 佟曉利,趙國藩.一種與結(jié)構(gòu)可靠度分析幾何法相結(jié)合的響應(yīng)面方法[J].土木工程學(xué)報(bào),1997,30(4)：51-57.

[3] 劉潔雪.基于響應(yīng)面法的集裝箱船優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[D].天津:天津大學(xué)建筑工程學(xué)院,2008.

[4] 楊書儀,劉 德,文澤軍.基于響應(yīng)面法的橋梁主桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2007,24(6)：14-16.

[5] MAKOTO A, TAITO S, TATSUHIRO S. Optimization of transverse bulkhead design by response surface methodology[J]. Journal of the Kansai Society of Naval Architects,2000,(234)：237-243.

[6] 王永菲,王成國.響應(yīng)面法的理論與應(yīng)用[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005,14(3)：236-240.

[7] 鄧苗毅,任偉新.基于響應(yīng)面方法的結(jié)構(gòu)有限元模型修正研究進(jìn)展[J].鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào),2008,5(4)：42-45.

[8] 中國船級(jí)社.散貨船船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度直接計(jì)算指南[S].北京：人民交通出版社,2003.

[9] 隋允康,張立新,杜家政.基于響應(yīng)面方法的桁架截面敏度分析和優(yōu)化[J].力學(xué)季刊,2006,27(1)：96-102.

[10] 中國船級(jí)社.鋼質(zhì)海船入級(jí)規(guī)范規(guī)范[S].北京：人民交通出版社,2006.