胡肖彥，呂麗軍

（上海大學(xué) 精密機(jī)械工程系，上海 200072）

引 言

近年來(lái)，空間目標(biāo)探測(cè)，機(jī)器人導(dǎo)航，安全監(jiān)控等領(lǐng)域都提出了對(duì)空間各方向場(chǎng)景實(shí)時(shí)成像的要求，滿足上述需求的折反射全景成像系統(tǒng)日益受到關(guān)注［1］。折反射全景成像系統(tǒng)由常規(guī)成像透鏡和曲面反射鏡組成，能夠?qū)崟r(shí)獲取水平方向360°和垂直方向一定角度的全景圖像。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、光能損失低，系統(tǒng)設(shè)計(jì)柔性好且成本較低，已成為計(jì)算機(jī)視覺(jué)研究的熱點(diǎn)［2］。

這類大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)元件及布置一般是軸對(duì)稱的，但對(duì)于大視場(chǎng)物點(diǎn)成像，光束以大入射角（可能大于80°）打在光學(xué)元件表面，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后，子午面和弧矢平面內(nèi)的聚焦位置和波陣面參數(shù)可能完全不一致。因此，這類系統(tǒng)本質(zhì)上是具有大視場(chǎng)的平面對(duì)稱光學(xué)成像系統(tǒng)。這使得傳統(tǒng)近軸球面像差公式及求解手段［3］不適于全景成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，目前只能借助于光線追跡軟件（例如：Zemax）進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算。光線追跡雖然能精確反映光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，但不能從解析角度分析光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)其像質(zhì)的影響，也不能使光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)像共軸系統(tǒng)那樣，利用像差分析選定系統(tǒng)的初始參數(shù)、洞察系統(tǒng)的設(shè)計(jì)結(jié)果，并且能基于像差表達(dá)式發(fā)展系統(tǒng)的評(píng)價(jià)函數(shù)和優(yōu)化設(shè)計(jì)程序。

最近，呂麗軍基于波像差的方法發(fā)展了一般的平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論［4］。它適用于離軸（甚至掠入射）、折射或反射類型光學(xué)系統(tǒng)的像差分析。其像差表達(dá)式比較簡(jiǎn)潔，方便應(yīng)用于多元件光學(xué)系統(tǒng)的像差分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)于大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)，現(xiàn)發(fā)展了一種行之有效的優(yōu)化方法［5］。文中將此優(yōu)化方法應(yīng)用于折反射全景成像系統(tǒng)，優(yōu)化設(shè)計(jì)這類系統(tǒng)的評(píng)價(jià)函數(shù)［6］，其函數(shù)是系統(tǒng)光學(xué)參數(shù)的解析表達(dá)式，利用差分進(jìn)化算法全局優(yōu)化的能力，在MatLab環(huán)境下發(fā)展了大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，對(duì)一種折反射全景成像系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后用Zemax光學(xué)追跡軟件進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

1 評(píng)價(jià)函數(shù)

在平面對(duì)稱系統(tǒng)像差理論［4］中，光學(xué)系統(tǒng)的波像差表達(dá)式為

式（1）中，

其中Mijk是物方和像方的波像差系數(shù)，它們由文獻(xiàn)［4］中相關(guān)公式給出。Mijk中rm，rs，r′m，r′s分別為物方和像方空間的子午和弧矢焦距；α是主光線在各光學(xué)元件表面的入射角；β是主光線在各光學(xué)元件表面的反射角或折射角；l′和l在此類系統(tǒng)中皆為零，具體含義由文獻(xiàn)［4］給出。

上述表達(dá)式描述了一個(gè)光學(xué)元件產(chǎn)生的波像差，在計(jì)算最終像差時(shí)，需要計(jì)算的是所有光學(xué)成像面產(chǎn)生的波像差之和。故對(duì)于g個(gè)光學(xué)成像面的光學(xué)系統(tǒng)，在孔徑光線線性近似條件下，其總的波像差表達(dá)式為

式（3）中，Wijk（n）分別是第n個(gè)成像面和系統(tǒng)總的波像差系數(shù)，系數(shù)An｜g、Bn｜g由下式得到

在計(jì)算像差系數(shù)的公式中，Wijk用替代，其他相關(guān)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)是最后成像面的參數(shù)。

在平面對(duì)于與光學(xué)元件頂點(diǎn)相距r′0、并垂直于主光線的像平面，三階像差表達(dá)式為

式（5）中，dijk和hijk為像差系數(shù)，φ為像面的傾斜角，表示像面與光軸的傾斜角，具體表達(dá)式由文獻(xiàn)［5］中相關(guān)公式給出。

將上述像差表達(dá)式在光束覆蓋的區(qū)域范圍積分就可以得到光束總的像差，其值反映了光學(xué)系統(tǒng)的像差質(zhì)量。此外，影響光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量還包括面型誤差、色差等。于是，文中定義的評(píng)價(jià)函數(shù)為

其中，Qx（i）、Qy（i）表示光線孔徑像差在子午和弧矢方向的均方根值；x′、y′由計(jì)算得到，W和L分別為光束在光學(xué)系統(tǒng)最后成像面上的覆蓋區(qū)域中x和y方向上的寬度。Qs（i）是光學(xué)元件面形誤差對(duì)成像的影響；Qc（i）表示色差的貢獻(xiàn)，其值是通過(guò)追跡F光和C光在像面上的距離差來(lái)得到的，具體方法參考文獻(xiàn)［3］；εi、μi是相應(yīng)的權(quán)重因子；n表示選擇計(jì)算的視場(chǎng)角總個(gè)數(shù)。

2 優(yōu)化計(jì)算程序及算法

計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)值的流程圖如圖1所示，具體的一些過(guò)程解釋如下：

（1）光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)賦值：在參量搜索范圍內(nèi)，由優(yōu)化算法程序給光學(xué)系統(tǒng)各參量賦值。

（2）計(jì)算最大視場(chǎng)角初值ω＊0：根據(jù)高斯公式計(jì)算后組物鏡的近軸入瞳位置，由入瞳中心做反射鏡面的切線，其切線和光軸夾角作為最大視場(chǎng)角的初值。

（3）確定可用的最大視場(chǎng)角：由于優(yōu)化程序所給的參數(shù)具有一定隨機(jī)性，上一步確定的最大視場(chǎng)角初值范圍內(nèi)的場(chǎng)光線，在追跡場(chǎng)光線過(guò)程中，可能會(huì)發(fā)生全發(fā)射或幾何阻擋的情況。因此，逐步縮小最大可用視場(chǎng)角，直到不會(huì)發(fā)生上述兩種不合理的情況為止。

圖1 評(píng)價(jià)函數(shù)流程圖Fig.1 Program flowchart of the merit function

（4）確定任意場(chǎng)光線初始位置：從孔徑光闌中心逆向追跡場(chǎng)光線，確定視場(chǎng)角與其位置的關(guān)系曲線，應(yīng)用多項(xiàng)式擬合得到場(chǎng)光線初始位置關(guān)于視場(chǎng)角關(guān)系的多項(xiàng)式表達(dá)式。

（5）計(jì)算場(chǎng)光線的光路參數(shù)：選定數(shù)個(gè)優(yōu)化視場(chǎng)角，計(jì)算對(duì)應(yīng)于這些場(chǎng)角的場(chǎng)光線在光路中的參數(shù)。

（6）計(jì)算像面參考位置：應(yīng)用像差理論［4］中的子午方向聚焦方程（w200＝0），計(jì)算最大和最小優(yōu)化視場(chǎng)角的場(chǎng)光線所對(duì)應(yīng)的像面位置，兩者的平均值作為像面的參考位置。

（7）計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)Q值：應(yīng)用上一節(jié)的方法，運(yùn)用式（6）計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)值。

由于DE算法［7］在求解非凸、多峰、非線性函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題表現(xiàn)極強(qiáng)的穩(wěn)健性，把上述評(píng)價(jià)函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，采用DE算法尋取最優(yōu)解（評(píng)價(jià)函數(shù)的最小值），實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 數(shù)值驗(yàn)證

圖2 折反射全景成像系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure of panorama imaging system

現(xiàn)應(yīng)用DE算法［8］，在MatLab環(huán)境下發(fā)展了優(yōu)化程序。下面將對(duì)如圖2所示的折反射全景成像系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。它的前組為一個(gè)二次圓錐曲面反射鏡［9］，它的面形表達(dá)式由y2＝a1x＋a2x2表示；后組為改進(jìn)型的Tessar（天塞）物鏡［3］，物鏡的結(jié)構(gòu)及光學(xué)系統(tǒng)參量表示如圖3所示。

在評(píng)價(jià)函數(shù)中，選取5個(gè)優(yōu)化視場(chǎng)角，它們分別為30°、48°、65°、82°、100°，所有權(quán)重因子都取1。另外，假定物距為2 000mm；透鏡材料的折射率不作為優(yōu)化參數(shù)，只有雙膠合透鏡的第二片材料是BK3（n＝1.497 8），其余透鏡材料全為BK7（n＝1.516 8）；由于反射鏡面型較復(fù)雜，考慮反射鏡面型的傾斜誤差為σs＝10arcsec，而后組透鏡為球面，相對(duì)而言制造精度高，故忽略透鏡面形誤差對(duì)成像的影響。孔徑光闌為φ7mm的圓孔。其具體的參數(shù)、優(yōu)化范圍和優(yōu)化結(jié)果如表1、表2所示。

圖3 折反射全景成像系統(tǒng)后組物鏡結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of object lens

表1 后組透鏡半徑和間距參數(shù)Tab.1 Parameters of lens radius and intervals（mm）

所有Ri參數(shù)絕對(duì)值的搜索范圍20～1 000mm，所有di參數(shù)的搜索范圍2～20mm。此外，在優(yōu)化程序中，附加了以下幾個(gè)約束條件：（1）反射鏡最大半寬度為60mm，最大視場(chǎng)角不小于110°；（2）像面位置約束：d′l＞0，考慮到CCD的尺寸，在最大視場(chǎng)角處的h′＜5mm。

表2 前組反射鏡面形參數(shù)Tab.2 Parameters of mirror（mm）

經(jīng)過(guò)優(yōu)化，參考組和優(yōu)化結(jié)果的評(píng)價(jià)函數(shù)值的倒數(shù)分別為27.72和172.59（評(píng)價(jià)函數(shù)越小越好，其倒數(shù)越大越好）。為了求證優(yōu)化前后全景成像光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，按照表1和表2中的光學(xué)參數(shù)，應(yīng)用像差理論［10］和光線追跡程序Zemax計(jì)算像面上光線點(diǎn)列圖的分布；物點(diǎn)的視場(chǎng)角分別選取25°、45°、65°、85°。點(diǎn)列圖如圖4所示，（a）、（b）是參考設(shè)計(jì)分別應(yīng)用Zemax和像差理論計(jì)算的成像結(jié)果；（c）、（d）是經(jīng)過(guò)優(yōu)化程序得到的系統(tǒng)參數(shù)分別應(yīng)用Zemax和像差理論計(jì)算的成像結(jié)果。結(jié)果表明，應(yīng)用像差理論計(jì)算孔徑光線像差和Zemax是一致的，說(shuō)明像差理論的正確性。此外，優(yōu)化之后的光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量明顯優(yōu)于優(yōu)化之前的，說(shuō)明這種優(yōu)化方法是有效的。

4 結(jié) 論

應(yīng)用平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論在大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)中的設(shè)計(jì)方法［5］，對(duì)于一種折反射全景成像系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證表明，提出的設(shè)計(jì)方法能有效地提高此類系統(tǒng)的成像質(zhì)量。解決了現(xiàn)有方法無(wú)法從像差表達(dá)式分析這類大視場(chǎng)系統(tǒng)的問(wèn)題，為進(jìn)一步研究提供一定的參考價(jià)值。

圖4 光線點(diǎn)列圖Fig.4 Spot diagrams

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