劉 磊，趙志敏

（南京航空航天大學 理學院，江蘇 南京 211106）

引 言

在計算機視覺領域內，空間目標的位置和姿態(tài)是非常關鍵的參數(shù)，尤其是在視覺導航、目標識別以及人機交互等方面［1，2］。圓是物體的基本幾何形狀，在許多自然景物和人造物體中大量存在，并且圓形是一種幾何特征明顯且容易識別的形狀，在圖像處理中有著其它幾何形狀無法比擬的優(yōu)點。圓形特征已經(jīng)被應用在各種機器視覺相關的領域［3］。例如，使用圓形標志來進行移動機器人位置的精確估計，使用圓形標志物來進行三維物體的識別，以及使用圓形表面輪廓來進行目標的三維姿態(tài)估計等［4］。

作為姿態(tài)角的一種，俯仰角在許多領域起著重要作用。在火箭發(fā)射過程中，火箭的俯仰角等姿態(tài)參數(shù)是反映火箭飛行狀態(tài)的重要參數(shù)，對于分析火箭的運動狀態(tài)等有著重要的價值［5］。無人機及其它飛行器在飛行及著陸的過程中，也需要實時估計其姿態(tài)角等參數(shù)［6，7］。在頭盔瞄準具中，射擊目標的位置是依靠頭部的運動來確定的，頭部的俯仰角等姿態(tài)角測量，關系到射擊的命中率［8］。而在計算機視覺領域，通過攝像測量獲得距離等參數(shù)已經(jīng)應用于汽車自動測距等，而攝像機的俯仰角參數(shù)直接影響著所測距離的精確度［9］。對于空間圓形目標的姿態(tài)角，國內外已經(jīng)開始了相關研究。Safaee－Rad等人［4］使用幾何分析的方法，提出了一種圓形目標的三維定位問題的閉合分析解。魏振中［3，10］等人研究了中心畸變誤差及空間圓姿態(tài)識別二義性的消除問題。現(xiàn)有的俯仰角測量方法，計算較為復雜。

現(xiàn)作為探索性研究，基于攝像機透視投影原理，對空間圓形目標的俯仰運動及俯仰角的測量進行研究，提出一種測量空間圓形目標俯仰角的方法。

1 圓形目標的俯仰運動及俯仰角測量

俯仰角最早出現(xiàn)在航空航天領域，定義為機體坐標系X軸與水平面的夾角。當X軸的正半軸位于過坐標原點的水平面之上時，俯仰角為正，俯仰角θ的范圍為［－π／2，π／2］。

由于設定攝像機光心與圓形目標之間的距離相對圓形目標的直徑來說非常大，并且圓形目標可在攝像機成像平面上完全成像，成像部位為感光器件中央或靠近中央位置，因此不考慮因攝像機鏡頭畸變等因素而帶來的影響。結合運動分析的方法，現(xiàn)對圓形目標的俯仰運動進行研究。不妨設定圓形目標的初始位置，并根據(jù)俯仰運動的旋轉軸是否通過其圓心，將俯仰運動分為以下兩種情況來分別進行分析。

1.1 第一種情況

如圖1所示，OXYZ為空間圓坐標系，OCXCYCZC為攝像機坐標系，OC為攝像機光心。圓形目標O-ABCD（簡稱圓O）位于攝像機正前方，圓心O與攝像機光心OC距離為l，攝像機光軸即為ZC軸，與圓O所在平面垂直并過O點。圓坐標系X軸與過原點O的水平面的夾角即為俯仰角，初始時為0°。當圓O圍繞Z軸做旋轉運動時，即為俯仰運動。正方向設定為從逆著Z軸正向看，逆時針方向運動。

圖1 圓坐標系與攝像機坐標系（情況1）Fig.1 The coordinate systems of the circle and camera（case 1）

根據(jù)攝像機透視投影原理，現(xiàn)作出圓形目標的透視投影圖。圖2（a）為初始時圓O的透視投影成像圖，圓O所在平面為P，在成像平面P′上所成像為圓O′－A′B′C′D′。圖2（b）所示為發(fā)生俯仰運動后的狀態(tài)，運動后的圓標記為OAB1CD1，所在平面為P1。旋轉軸為直徑AC所在直線（Z軸）。

圖3為圖2的簡化示意圖。根據(jù)相似三角形原理，可以得到：

式（1）中，D1E＝B1F＝rcosα，r為圓O的半徑，α為所求俯仰角。由式（1）可得：

D′1O′與B′1O′為圓的兩個半徑DO與BO在成像平面上所成像，設其長度分別為R1和R2。因此，俯仰角的計算公式為：

若R1＞R2，俯仰角為正；若R1＜R2，俯仰角為負。

圖2 圓形目標的成像圖（情況1）Fig.2 The perspective projection of circular object（case 1）

1.2 第二種情況

如圖4所示，O-XYZ為圓坐標系，OCXCYCZC為攝像機坐標系，OC為攝像機光心。圓形目標O1－ABCD（簡稱圓O1）位于攝像機前方，圓坐標系原點O與攝像機光心OC距離為l，攝像機光軸即為ZC軸，與圓O1所在平面垂直并過O點。圓心O1與原點O之間距離為h（相對l，h大小與r同量級，圓形目標可實現(xiàn)完全成像）。圓O1繞Z軸（不經(jīng)過圓心）做旋轉運動時，即為俯仰運動。圓坐標系X軸與過原點的水平面的夾角即為俯仰角，初始時為0°。正方向設定為從逆著Z軸正向看，逆時針方向運動。

圖3 圖2的簡化示意圖Fig.3 The simplified schematic representation of Fig.2

圖4 圓坐標系與攝像機坐標系（情況2）Fig.4 The coordinate systems of the circle and camera（case 2）

根據(jù)攝像機透視投影原理，作出其透視投影成像圖，圖5（a）和圖5（b）分別為初始狀態(tài)和發(fā)生俯仰運動后的狀態(tài)。初始時，圓O1－ABCD位于平面P，其成像為圓O′1－A′B′C′D′，在平面P′上。俯仰運動后，圓O1－ABCD標記為圖5（b）中平面P2上的圓O2－A2B2C2D2，成像為平面P′上的橢圓O′2－A′2B′2C′2D′2。

圖6為圖5的簡化示意圖，直徑BD做俯仰運動后記為線段B2D2，過O2點做線段OCO的垂線段O2E，垂足為E點。設直徑A2C2在成像平面上所成像A′2C′2長度為s，可以得到：

即：

式（5）中，f為攝像機的有效焦距，r為圓O1的半徑，α為所求俯仰角。

圖5 圓形目標的成像圖（情況2）Fig.5 The perspective projection of circular object（case 2）

由式（5），可求得俯仰角的計算公式：

圖6 圖5的簡化示意圖Fig.6 The simplified schematic representation of Fig.5

2 實驗及數(shù)據(jù)

針對上述1.2節(jié)中的第二種情況進行了實驗，實驗原理及裝置如圖4所示。實驗中，采用了一個圓形目標，其上標有互相垂直的兩條直徑。圓形目標可繞旋轉軸做俯仰運動，初始的俯仰角為0°，每當圓形目標運動10°時，攝像機記錄其圖像，并通過對所獲取圖像進行濾波、對比度增強等處理，獲取計算所需的直徑像素數(shù)等數(shù)據(jù)。

圖7示出了當俯仰角分別為0°，20°和40°時，采集到的空間圓形目標的圖像。實驗中，l＝0.9m，h＝0.15m，r＝0.045m，f＝1.36×10－4m，s值可通過比例求解得到。進而根據(jù)式（6）進行計算，得到一組俯仰角的計算值，如表1所示。結果顯示，在不考慮攝像機透視畸變及誤差允許的情況下，文中所提出的方法可以方便有效地計算出空間圓形目標的俯仰角度。只是在俯仰角度的絕對值增大時，測量誤差會相應地增大，這與攝像機成像原理及提取直徑像素的精度等因素有關。當俯仰角為±90°時，將無法采集到圓形目標的直徑，所以該方法測量的俯仰角范圍為（－π／2～π／2）。

圖7 實驗中所采集空間圓形目標圖像Fig.7 The images of circular object acquired in experiment

表1 空間圓形目標俯仰角測量值Tab.1 The measurement value of pitch angles of circular object

3 結 論

文中研究了空間圓形目標的俯仰運動，提出了一種基于攝像機透視投影原理的空間圓形目標俯仰角的測量方法。根據(jù)圓形目標的俯仰運動旋轉軸是否通過其圓心，將俯仰運動分為兩類。通過分析空間圓形目標在不同姿態(tài)時的透視投影成像，使用幾何推理的方法，分別推導出了空間圓形目標兩種俯仰運動俯仰角的計算公式，并通過實驗進行了驗證。結果表明，所提出的方法，能夠很好地實現(xiàn)空間圓形目標俯仰角的測量。如何提高現(xiàn)場的測量和計算結果的精度，都將是進一步的研究工作。

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