張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，新疆 庫爾勒841000)

投影尋蹤模型在地下水水質(zhì)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，新疆 庫爾勒841000)

通過分析常用水體質(zhì)量評(píng)價(jià)模型的缺陷，提出了基于序列二次規(guī)劃算法的投影尋蹤評(píng)價(jià)模型，并利用多項(xiàng)式插值的方法進(jìn)行水質(zhì)分類，取得了符合客觀實(shí)際的評(píng)價(jià)結(jié)果。某水源地地下水質(zhì)量評(píng)價(jià)結(jié)果表明:利用投影尋蹤方法可以揭示高維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，所建立的評(píng)價(jià)模型不僅簡(jiǎn)單、直觀和易于理解，而且結(jié)果合理，為水源地的保護(hù)和合理利用提供了決策依據(jù)。

序列二次規(guī)劃算法;投影尋蹤;地下水;質(zhì)量評(píng)價(jià)

目前，對(duì)由高維數(shù)據(jù)樣本構(gòu)成的水質(zhì)指標(biāo)，傳統(tǒng)上依靠基于多元分析的統(tǒng)計(jì)手段進(jìn)行評(píng)價(jià)。這類方法用于分類的過程存在人為干擾，導(dǎo)致分類與評(píng)價(jià)結(jié)果的人為傾向。而且監(jiān)測(cè)得到的數(shù)據(jù)部分是偏態(tài)的和非線性的，不滿足正態(tài)假定，這樣傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)手段對(duì)水質(zhì)進(jìn)行劃分就比較困難。同時(shí)在數(shù)據(jù)維數(shù)較高時(shí)，水體中多個(gè)水質(zhì)指標(biāo)間的相互作用關(guān)系極為錯(cuò)綜復(fù)雜，傳統(tǒng)的多元線性回歸、灰色或模糊數(shù)學(xué)模式等還未能予以有效地克服［1］。

投影尋蹤(Projection Pursuit，簡(jiǎn)稱PP)方法是處理和分析高維數(shù)據(jù)(尤其是高維非正態(tài)數(shù)據(jù))的一類新興的統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不做正態(tài)等任何假定，能充分利用高維數(shù)據(jù)中的所有信息［2，3］，但由于存在目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化困難的原因，使其在應(yīng)用上受到一定的限制。序列二次規(guī)劃算法(Sequential Quadratic Programming，簡(jiǎn)稱 SQP)是求解這類中小規(guī)模非線性約束最優(yōu)化問題的有效方法［4－7］，近年來在過程系統(tǒng)優(yōu)化中得到了大量的應(yīng)用。

因此，本文利用基于SQP算法的投影尋蹤模型對(duì)水質(zhì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1 投影尋蹤評(píng)價(jià)模型的建立

投影尋蹤方法的基本思想是:利用計(jì)算機(jī)技術(shù)，把高維數(shù)據(jù)通過某種組合，投影到低維(1～3維)子空間上。然后通過優(yōu)化投影指標(biāo)函數(shù)，求出能反映原高維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或特征的投影向量，在低維空間上對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以達(dá)到研究和分析高維數(shù)據(jù)的目的。評(píng)價(jià)模型的建立過程如下［8］:

假定有m行n列的水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)矩陣Xm×n，其中m代表監(jiān)測(cè)井?dāng)?shù)，n代表每個(gè)監(jiān)測(cè)井的監(jiān)測(cè)項(xiàng)目。

1.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)值的歸一化

設(shè)研究方案集為:{x*(i，j)|i=1，2，…，n;j=1，2，…，p}

其中:x*(i，j)為第i個(gè)方案第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)值;n，p分別為方案的數(shù)目和評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)目。為消除各評(píng)價(jià)指標(biāo)的量綱和統(tǒng)一各評(píng)價(jià)指標(biāo)的變化范圍，對(duì)越大越優(yōu)型評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用下式進(jìn)行極值歸一化處理:

對(duì)越小越優(yōu)型評(píng)價(jià)指標(biāo)可采用如下進(jìn)行極值歸一化處理:

式中:xmin(j)、xmax(j)分別為方案集中第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的最小值和最大值。通過式(1)和式(2)得到的x(i，j)統(tǒng)一為［0，1］區(qū)間上的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1.2 構(gòu)造投影指標(biāo)函數(shù)

PP模型就是把 p維數(shù)據(jù){x(i，j)|j=1，2，…，p}綜合成以a=(a(1)，a(2)，…，a(p))為投影方向的一維投影值。

然后根據(jù){z(i)|i=1，2，…，n}的一維散布圖進(jìn)行方案優(yōu)選，式(3)中a為單位長度向量。

在綜合投影值時(shí)，要求投影值z(mì)(i)的散布特征應(yīng)為:局部投影點(diǎn)盡可能密集，最好凝聚成若干個(gè)點(diǎn)團(tuán);而在整體上投影點(diǎn)團(tuán)之間盡可能散開?；诖耍队爸笜?biāo)函數(shù)可構(gòu)造為:

式中:Sz為投影值z(mì)(i)的標(biāo)準(zhǔn)差，Dz為投影值z(mì)(i)的局部密度，即

式中:Ez為系統(tǒng){z(i)|i=1，2，…，n}的均值;R為局部密度的窗口半徑，它的選取既要使包含在窗口內(nèi)的投影點(diǎn)的平均個(gè)數(shù)不能太少，避免滑動(dòng)平均偏差太大，又不能使它隨n的增大而增加太高，R可以根據(jù)試驗(yàn)來確定，一般可取值為0.1Sz;距離;rij=|z(i)－z(j)|;u(R－rij)為一單位階躍函數(shù)，當(dāng)t≥0時(shí)其函數(shù)值為1，當(dāng)t＜0時(shí)其函數(shù)值為0。

1.3 優(yōu)化投影指標(biāo)函數(shù)

當(dāng)方案集給定時(shí)，投影指標(biāo)函數(shù)Q(a)只隨投影方向a的變化而變化。不同的投影方向反映不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，最佳投影方向就是最大可能暴露高維數(shù)據(jù)某類特征結(jié)構(gòu)的投影方向。通過求解投影指標(biāo)函數(shù)最大化問題可估計(jì)最佳投影方向，即:

這是一個(gè)以{a(j)|j=1，2，…，p}為優(yōu)化變量的復(fù)雜非線性優(yōu)化問題，用常規(guī)優(yōu)化方法處理較困難。本文中采用SQP進(jìn)行優(yōu)化求解。SQP算法通過求解一系列二次規(guī)劃子問題(Quadratic programming，QP)來獲得原命題的最優(yōu)解。該算法具有全局收斂性和超線性收斂速度［4，6］。由于SQP算法對(duì)初值的要求較高，不同的初值得到的結(jié)果精度不一。為了克服這一缺點(diǎn)，文中隨機(jī)對(duì)向量A進(jìn)行100次賦初值，然后分別進(jìn)行優(yōu)化求解。

1.4 分類

把由步驟3求得的最佳投影方向a*代入式(3)后即得各方案的投影值z(mì)*(i)。將z*(i)與z*(j)進(jìn)行比較，二者越接近，表示樣本i與j越傾向于分為同一類。若按z*(i)值從大到小排序，則可以將樣本從優(yōu)到劣進(jìn)行排序。同時(shí)，根據(jù)各經(jīng)驗(yàn)等級(jí)和各經(jīng)驗(yàn)等級(jí)對(duì)應(yīng)的投影值z(mì)*(i)建立投影尋蹤等級(jí)評(píng)價(jià)模型y=f(z*)，然后將待評(píng)價(jià)樣本進(jìn)行歸一化處理，計(jì)算待評(píng)價(jià)樣本的投影值z(mì)*(i)，將投影值z(mì)*(i)代入投影尋蹤等級(jí)評(píng)價(jià)模型y=f(z*)，最后得出各評(píng)價(jià)樣本的所屬等級(jí)。

2 應(yīng)用實(shí)例

某市有一重要水源地，采用《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T14848－1993)作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合地下水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)及實(shí)際監(jiān)測(cè)指標(biāo)，選取 Cl－、SO42－、礦化度、總硬度、CODMn與F－共7項(xiàng)指標(biāo)作為評(píng)價(jià)因子。

根據(jù)研究區(qū)地下水水質(zhì)監(jiān)測(cè)及水化學(xué)分析成果，考慮到各監(jiān)測(cè)井的實(shí)際水質(zhì)情況并為便于計(jì)算，選取數(shù)據(jù)較為完整的10個(gè)監(jiān)測(cè)井的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)(表2)共10組數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

表1 地下水質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(GB/T14848－1993)mg/L

表2 各井監(jiān)測(cè)項(xiàng)目評(píng)價(jià)指標(biāo)值 mg/L

其中，樣本個(gè)數(shù)m=10，水質(zhì)指標(biāo)個(gè)數(shù)n=7，利用上述投影尋蹤評(píng)價(jià)模型，先用式(1)對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后建立評(píng)價(jià)模型。得最大投影指標(biāo)函數(shù)值為7.852，最佳的投影方向 A=(0.211 3，0.391 4，0.477 6，0.246 4，0.695 5，0.115 3，0.127 9)。

把最佳投影方向A代入式(2)后即可計(jì)算出各監(jiān)測(cè)井的投影值Z(i)，然后根據(jù)計(jì)算得到的投影值Z(i)，利用多項(xiàng)式插值對(duì)各井進(jìn)行水質(zhì)分級(jí)，計(jì)算得到的水質(zhì)等級(jí)見表3。

表3 各監(jiān)測(cè)井的投影值與水體質(zhì)量等級(jí)

從表3可以看出，研究區(qū)的水體質(zhì)量狀況尚可，多為Ⅱ、Ⅲ類水質(zhì)，符合飲用水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。最佳投影方向A各分量絕對(duì)值的大小實(shí)質(zhì)上反映了各水質(zhì)指標(biāo)對(duì)水體質(zhì)量等級(jí)的影響程度，A中各分量絕對(duì)值越大則對(duì)應(yīng)的水質(zhì)指標(biāo)對(duì)水質(zhì)的影響程度就越大，本區(qū)影響水體質(zhì)量的水質(zhì)指標(biāo)從大到小依次為總硬度、F－、SO42－、礦化度、Cl－、NH4+、CODMn。

3 結(jié)論

1)將多維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一維指標(biāo)值時(shí)，可能會(huì)造成部分?jǐn)?shù)據(jù)之間所隱含信息的丟失，對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，因此應(yīng)選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法。

2)SQ算法具有全局收斂性和超線性收斂速度。能快速計(jì)算出反映高維數(shù)據(jù)特征結(jié)構(gòu)的最佳一維投影指標(biāo)方向值。是處理中、小規(guī)模優(yōu)化問題最有效的一種算法，可以作為投影尋蹤評(píng)價(jià)模型的輔助尋優(yōu)工具。

3)最優(yōu)投影值能夠在一定程度上反映水體各評(píng)價(jià)指標(biāo)影響程度的大小，同時(shí)，計(jì)算簡(jiǎn)單可行。模型準(zhǔn)確反映了水體質(zhì)量等級(jí)與投影值之間的非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系，等級(jí)劃分界限清晰，為地下水質(zhì)量評(píng)價(jià)研究領(lǐng)域提供了新的思路和方法。

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Application of Projection Pursuit Model to Comprehensive Evaluation of Groundwater Quality

ZHANG Peng
(Bazhou Exploration Design Institute of Hydro－power and Water Resources，Kurle 841000，China)

The paper analyzes limitations of the traditional models of water quality evaluation，promotes a projection pursuit evaluation model based on sequential quadratic programming algorithms.Classification of water quality is carried out using a polynomial interpolation method and the results are in a good agreement with the practical situations.The results show that the projection pursuit method can disclose the structure features of the high dimensional data.The evaluation model is simple and easy to understand and its result is valid and provides a decision basis for reasonable protection and utilization of well fields.

Sequential Quadratic Programming Algorithms;projection pursuit;groundwater and quality evaluation

X824

A

1004－1184(2012)03－0027－02

2012－02－03

張鵬(1979－)男，新疆庫爾勒人，工程師，主要從事水利工程規(guī)劃設(shè)計(jì)工作。