周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

基于含可變因子廣義S變換的瑞雷面波頻散曲線提取方法

周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

面波頻散曲線的提取是面波資料處理的關(guān)鍵。鑒于S變換和廣義S變換不能全時(shí)段兼顧頻率分辨率和時(shí)間分辨率的缺點(diǎn)，提出了含可變因子廣義S變換進(jìn)行瑞雷面波頻散曲線的提取方法?？勺円蜃拥囊胧沟酶咚勾昂瘮?shù)的寬度隨頻率發(fā)生變化時(shí)具有目的性，而不是簡(jiǎn)單地隨著頻率的增大而變窄。該方法可以有針對(duì)性地改善局部頻段（特別是低頻段和高頻段）的頻率分辨率及時(shí)間分辨率。通過(guò)理論模型和實(shí)際資料試算表明：含可變因子廣義S變換提取面波頻散曲線的方法具有可行性和實(shí)用性。

瑞雷面波；S變換；廣義S變換；可變因子；頻散曲線

0 前言

面波勘探方法是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種淺層地震勘探新方法，它是基于瑞雷波的頻散特征來(lái)進(jìn)行工作的。由于瑞雷波的波速同剪切波速度及巖、土力學(xué)參數(shù)有著密切的關(guān)系，因此在巖、土工程、煤田超前預(yù)測(cè)和地基處理等方面得到廣泛應(yīng)用［1～3］。其核心是利用了層狀介質(zhì)中面波的頻散特性和傳播速度與巖土物理力學(xué)性質(zhì)的相關(guān)性來(lái)達(dá)到勘探目的，即不同的頻率成份具有不同的相速度。因此如何準(zhǔn)確提取頻散曲線，是瑞雷波勘探技術(shù)的關(guān)鍵問(wèn)題。

對(duì)瑞雷波頻散曲線的提取，前人做過(guò)一些研究。利用互相關(guān)譜法［4］，對(duì)兩道信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，得到自功率譜和互功率譜、傳遞函數(shù)和相干函數(shù)，由互功率譜可以得到兩道信號(hào)由于面波傳播過(guò)程中時(shí)間滯后所產(chǎn)生的相位差，從而求出頻散曲線。但是，由于傅里葉變換的相位變化范圍為［－π，＋π］，因此計(jì)算所得到的相位可能會(huì)相差n倍，限制其應(yīng)用。另外，對(duì)于頻率較低的單色波，一般情況下其相位差很小甚至趨于零，此時(shí)，即便相位差存在一個(gè)極小的誤差，都會(huì)對(duì)計(jì)算得到的相速度帶來(lái)極大的影響。劉云禎［5］等人提出通過(guò)多道分析選擇最佳觀測(cè)時(shí)窗，利用F－K變換提取瑞雷波頻散曲線，但當(dāng)各種轉(zhuǎn)換波與面波嚴(yán)重耦合在一起時(shí)，難以選擇最佳觀測(cè)窗口；Tatham、陳淑珍、孫先海等人［6～8］提出利用τ－p變換進(jìn)行波場(chǎng)分離的思想，為瑞雷波頻散曲線的提取提供了一條新的途徑，但是τ－p變換易出現(xiàn)假頻和端點(diǎn)效應(yīng)，且對(duì)層狀介質(zhì)，τ－p域中瑞雷面波沒(méi)有點(diǎn)狀特性，對(duì)于裂隙、空洞等復(fù)雜情況，τ－p域中的形狀更加復(fù)雜。此外，由于在巖土工程等方面應(yīng)用的瑞雷波屬于典型的非平穩(wěn)信號(hào)，如果在瑞雷波分析和參數(shù)提取方面還沿用時(shí)不變信號(hào)的處理手段進(jìn)行處理，勢(shì)必受到一定的限制。因此，可以嘗試采用時(shí)頻分析的方法進(jìn)行處理。

在應(yīng)用時(shí)頻分析進(jìn)行頻散曲線提取方面，孔令召［9］、馬見(jiàn)青［10］等通過(guò) Gabor變換和S變換進(jìn)行瑞雷面波的頻散曲線提取，取得了一定的效果。但由于Gabor變換中高斯函數(shù)形態(tài)固定，受海森堡測(cè)不準(zhǔn)原則限制，時(shí)頻分辨率不能達(dá)到最好，并且S變換中固定的基本小波也限制了其應(yīng)用效果。為此，作者在廣義S變換的基礎(chǔ)上，對(duì)高斯窗函數(shù)進(jìn)行了改造，即引入一個(gè)以頻率為自變量的可變因子函數(shù)，以便針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻特征，靈活多變地調(diào)節(jié)窗函數(shù)的類型及其參量，避免了S變換的時(shí)頻分辨率變化趨勢(shì)不變及廣義S變換的時(shí)頻分辨率變化趨勢(shì)單一的問(wèn)題，使之具有更高的適應(yīng)性和針對(duì)性，進(jìn)而繼承和發(fā)展了廣義S變換。同時(shí)，利用可變因子的廣義S變換進(jìn)行瑞雷波頻散分析，取得了理想的效果。

1 基本原理

1.1 S變換和廣義S變換

Stockwell等［11、12］吸收短時(shí)傅立葉變換和連續(xù)小波變換二者的優(yōu)點(diǎn)，提出了著名的S變換，它是以Morlet小波為基本小波的連續(xù)小波變換的延伸。S變換表述如式（1）：

式中 h（t）為信號(hào)在時(shí)域的表示式；f代表頻率；τ是時(shí)間，為窗函數(shù)的中心點(diǎn)，控制著窗函數(shù)在時(shí)間軸上的位置。

顯然，在S變換中，其基本小波和高斯窗函數(shù)被分別定義為：

由此可見(jiàn)：S變換允許高斯窗函數(shù)的寬度隨頻率f的改變而改變，且表現(xiàn)為隨頻率f的增大而變窄。因此，在低頻段時(shí)窗較寬，相應(yīng)的頻率分辨率較高；而高頻段時(shí)窗較窄，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分辨率較高。也就是說(shuō)，S變換在低頻、高頻段分別具有較高的頻率分辨率和時(shí)間分辨率。

在S變換中，由于基本高斯窗函數(shù)形態(tài)固定，因而限制了它的應(yīng)用。為此，Mansinha等［13～15］提出用｜f｜／k代替S變換的高斯窗函數(shù)中的｜f｜。這時(shí)，高斯窗函數(shù)表示為：

便得到所謂的廣義S變換：

式中 k為常數(shù)，且k＞0。

當(dāng)k＝1時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)的S變換，也就是說(shuō)S變換僅是廣義S變換的特例。在廣義S變換中，通過(guò)控制k值的變化，可以提高時(shí)～頻譜的時(shí)間（或頻率）分辨率。如：小k值對(duì)應(yīng)高時(shí)間分辨率；大k值對(duì)應(yīng)高頻率分辨率。鑒于時(shí)間分辨率和頻率分辨率之間的對(duì)立性，在應(yīng)用Mansinha廣義S變換時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的k值。

1.2 含可變因子的廣義S變換

S變換無(wú)法解決頻率分辨率和時(shí)間分辨率之間的矛盾。Mansinha［13］提出的廣義S變換雖然可以通過(guò)調(diào)節(jié)k值來(lái)分別提高頻率分辨率或時(shí)間分辨率，但由于k值是在全域內(nèi)設(shè)定的常數(shù)值，它在提高頻率分辨率或時(shí)間分辨率的同時(shí)，分別以犧牲時(shí)間分辨率或頻率分辨率為代價(jià)，因而，仍然沒(méi)有解決二者之間的矛盾。

總的來(lái)說(shuō)，對(duì)某一非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)～頻分解，S變換獲得的時(shí)～頻譜是唯一的，其時(shí)頻分辨率是不可改變的；廣義S變換通過(guò)調(diào)控k值可以獲得多個(gè)時(shí)～頻譜，但對(duì)于某個(gè)固定的k值，其分辨率的變化趨勢(shì)仍是單一的。因此，無(wú)論S變換還是廣義S變換，都無(wú)法做到同時(shí)對(duì)全時(shí)段信號(hào)的局部頻段的分辨問(wèn)題進(jìn)行著重刻畫(huà)。為使變換得到的時(shí)～頻譜能更好地反映全時(shí)段信號(hào)局部頻段的細(xì)節(jié)，對(duì)廣義S變換中的高斯窗函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，引入一個(gè)與頻率有關(guān)的可變因子σf，得到了一種全新的廣義S變換。

將式（4）所示的高斯窗函數(shù)修正為：

式中 σf是一個(gè)以頻率f為自變量的函數(shù)因子，可視需要而定義為不同類型的函數(shù)。

例如取：

或

σf（f）＝ （kf＋b）a

式中 k、a、b均取常數(shù)。

當(dāng)可變因子σf隨頻率f呈線性變化時(shí)，含可變因子的廣義S變換表示為：

2 含可變因子的廣義S變換提取瑞雷面波頻散曲線

利用含可變因子的廣義S變換提取頻散曲線，只需求得道間距為d的兩道信號(hào)的時(shí)頻譜，就可以求出各頻率的相速度，實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）分析工區(qū)的瑞雷面波信號(hào)，選用合適的可變因子σf，對(duì)道間距為d的兩道瑞雷面波信號(hào)進(jìn)行可變因子廣義S變換，取得二張時(shí)頻譜圖。

（2）固定頻率f，分別在二張頻譜上尋找該頻率能量極值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t1、t2，可計(jì)算出該頻率在這二張時(shí)頻譜上的時(shí)間差Δt＝｜t1－t2｜。

（3）計(jì)算相速度VR（f）＝；為克服偶然性

影響，最好采用統(tǒng)計(jì)平均方法計(jì)算相速度，即：

式中 N為面波記錄的總道數(shù)；Δtm為頻率為f的第m－1和第m道之間的時(shí)間差。

（4）改變頻率f，重復(fù)步驟（2）～步驟（3），最終獲得全部計(jì)算頻段內(nèi)的相速度，即f－VR頻散譜圖。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)比S變換、廣義S變換和含可變因子廣義S變換的時(shí)～頻分析效果，首先用合成模型信號(hào)來(lái)說(shuō)明含可變因子廣義S變換具有更好的時(shí)頻分析能力。

圖1是合成的非平穩(wěn)信號(hào)。

圖2（a）為合成信號(hào)的S變換時(shí)頻譜，從圖2（a）中可見(jiàn)，S變換保持了在低頻段有較好頻率分辨率、高頻段有較好時(shí)間分辨率的特點(diǎn)，但低頻段的時(shí)間分辨率較低，高頻段的頻率分辨率較差。圖2（b）是對(duì)應(yīng)的廣義S變換的時(shí)頻譜，可見(jiàn)，雖然通過(guò)選擇合適的k值，提高了低頻段的時(shí)間分辨率，但全域的頻率分辨率大大下降，因此，廣義S變換只能在時(shí)間分辨率和頻率分辨率二者之間取舍。圖2（c）是取可變因子為0.02f時(shí)的廣義S變換的時(shí)頻譜，其中不僅時(shí)間分辨率得到了較大幅度的改善，而且中高頻成份的頻率分辨率也有所提高。

通過(guò)比較不難發(fā)現(xiàn)，含可變因子的廣義S變換，在時(shí)域和頻域的分辨率都比S變換乃至廣義S變換具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。

4 實(shí)際資料試算

圖3是福建某高速公路某工點(diǎn)采集的單炮面波記錄，檢波器主頻3.8Hz，12道接收，道間距為1m，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024個(gè)，采樣間隔為0.2ms。

圖3 單炮面波記錄Fig.3 Single－shot surface－wave records

按照上述求算步驟，以第7道和第8道為例來(lái)說(shuō)明。對(duì)兩道進(jìn)行含可變因子的廣義S變換，得到二張時(shí)頻譜（如圖4所示），分別在二張時(shí)頻譜上尋找出20Hz的極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間記錄點(diǎn)分別為301和268，由于采樣間隔為0.2ms，則時(shí)間差為6.6ms，由此計(jì)算出的對(duì)應(yīng)頻率20Hz的相速度為151.5m／s。用相同的方法也可以求出不同頻率的相速度，即頻散曲線。

按工程上的習(xí)慣，將頻率轉(zhuǎn)換為波長(zhǎng)，并遵照半波長(zhǎng)解釋理論，將波長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為勘測(cè)深度，就可得到如圖5所示的相速度～深度圖。

經(jīng)證實(shí)，該相速度－深度曲線所揭示的分層信息和各層物性參數(shù)與鉆探資料吻合良好。

5 結(jié)論

理論模型和實(shí)際資料試算結(jié)果表明，利用可變因子，可以控制高斯窗函數(shù)寬度變化的快慢，使得窗函數(shù)的改造與實(shí)際信號(hào)的特征更加緊密地聯(lián)系起來(lái)。相比S變換及Mansinha提出的廣義S變換，含可變因子的廣義S變換更能反映信號(hào)的局部特征。鑒于含可變因子的廣義S變換的這種優(yōu)勢(shì)，對(duì)瑞雷面波記錄進(jìn)行含可變因子的廣義S變換，能夠更準(zhǔn)確地反映時(shí)間和頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而提高了提取瑞雷波相速度的精度，得到較理想的頻散曲線（受篇幅影響，這里未逐一展出S變換和廣義S變換的計(jì)算結(jié)果）。

值得一提的是，隨著時(shí)頻分辨率的提高，在時(shí)頻譜上識(shí)別各頻率的極值的難度相對(duì)增大，有時(shí)可能面臨多極值選擇。因此，實(shí)際工作中，應(yīng)適當(dāng)加入一些圖像處理、人工交互解釋以及統(tǒng)計(jì)計(jì)算方面的工作，才能保證取得更為理想的效果。

［1］ 周竹生，馬翠蓮，石中平.瞬態(tài)瑞雷波法在滑坡勘查中的應(yīng)用及效果評(píng)價(jià)［J］.工程地球物理學(xué)報(bào)，2008，5（1）：9.

［2］ 童立元，陳征宙，劉定恩.瞬態(tài)瑞利面波勘探技術(shù)在公路工程勘察中的應(yīng)用［J］.地質(zhì)與勘探，2000，36（5）：73.

［3］ 祈生文，孫進(jìn)忠，何華.瑞雷波勘探的研究現(xiàn)狀及展望［J］.地球物理學(xué)進(jìn)展，2002，17（4）：630.

［4］ 楊成林.瑞雷波勘探［M］.北京：地質(zhì)出版社，1993.

［5］ 劉云禎，王振東.瞬態(tài)面波法的數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)及應(yīng)用實(shí)例［J］.物探與化探，1996，20（1）：28.

［6］ TATHAM R H，GOOLSBEE D V.Separation of S－wave and p－ wave re－flections offshore western Florida［J］.Geophysics，1984，49（5）：493.

［7］ 陳淑珍，劉懷林.基于τ－p變換的頻散曲線及其算法實(shí)現(xiàn)［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000，46（1）：123.

［8］ 宋先海，肖柏勛，張學(xué)強(qiáng)，等.用改進(jìn)的變?chǔ)樱璸換算法提取瞬態(tài)瑞雷波頻散曲線［J］.物探與化探，2003，27（4）：292.

［9］ 孔令召，侯興民，陳建立.基于時(shí)頻分析方法提取瞬態(tài)瑞利波頻散曲線［J］.地震工程與工程振動(dòng)，2008，28（6）：8.

［10］馬見(jiàn)青，李慶春，樊金生等.基于S變換的瑞利面波頻散分析［J］.地球科學(xué)與環(huán)境學(xué)報(bào)，2010，32（2）：319.

［11］STOCKWELL R G，MANSINHA L，LOWE R P.Localization of the complex spectrum：the S transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996；44（4）：998.

［12］STOCKWELL R G.A basis for efficient representation of the S－transform［J］.Digital Signal Processing，2007；17（1）：371.

［13］MANSINHA L，STOCKWELL R G.Local S－spectrum analysis of 1－D and 2－D data［J］.Physics of the Earth and Plantetary Interiors，1997，103（3）：329.

［14］PINNEGAR C R，MANSINHA L.The s transform with windows of arbitrary and varying shape［J］.Geophysics，2003，68（1）：381.

［15］PINNEGAR C R，MANSINHA L.The bi—Gaussian S transform［J］.SIAM Journal of Scientific Computing，2003，24（5）：1678.

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A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.03

1001—1749（2012）05—0518—05

2011－11－04 改回日期：2012－06－04

周竹生（1965－），男，湖南祁陽(yáng)人，博士后，教授，現(xiàn)主要從事資源勘查、工程物探、地質(zhì)災(zāi)害調(diào)查、信號(hào)處理、應(yīng)用軟件研制及數(shù)據(jù)庫(kù)開(kāi)發(fā)等方面的教學(xué)和研究工作。