王樂(lè)洋，許才軍，張朝玉

1.東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西南昌330013；2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079

一種確定聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法

王樂(lè)洋1，許才軍2，張朝玉2

1.東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西南昌330013；2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079

提出確定聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法。第1步是不考慮相對(duì)權(quán)比，建立兩類(lèi)或多類(lèi)數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演模型，通過(guò)赫爾墨特方差分量估計(jì)使得兩類(lèi)或多類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差相等（或單位權(quán)方差的比值接近1），從而理論上確定觀測(cè)數(shù)據(jù)合理的權(quán)陣，同時(shí)對(duì)不同種類(lèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化；第2步是在獲得合理的觀測(cè)數(shù)據(jù)權(quán)陣之后，建立顧及相對(duì)權(quán)比的聯(lián)合反演模型，以目標(biāo)函數(shù)值為最小來(lái)確定權(quán)比例因子。通過(guò)模擬數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)多個(gè)反演方案，證明兩步法的有效性和可行性。

聯(lián)合反演；相對(duì)權(quán)比；兩步法；赫爾墨特方差分量估計(jì)；單位權(quán)方差

1 引 言

大地測(cè)量地球物理聯(lián)合反演可以融合多種數(shù)據(jù)（大地測(cè)量數(shù)據(jù)、地震波數(shù)據(jù)、地質(zhì)數(shù)據(jù)以及地球物理數(shù)據(jù)等），研究地球動(dòng)力學(xué)，反演活動(dòng)斷層、塊體的運(yùn)動(dòng)情況，探討地殼運(yùn)動(dòng)與地震的關(guān)系，是大地測(cè)量學(xué)深入地學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)重要的手段。聯(lián)合反演應(yīng)用的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是相對(duì)權(quán)比的確定，它體現(xiàn)了各類(lèi)資料在聯(lián)合反演中貢獻(xiàn)的大小，一個(gè)成功的聯(lián)合反演必須有一個(gè)合理的相對(duì)權(quán)比，因此相對(duì)權(quán)比的研究是當(dāng)今聯(lián)合反演研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，得到了廣泛關(guān)注［1－14］。目前相對(duì)權(quán)比確定的方法主要有4種：將相對(duì)權(quán)比當(dāng)做未知數(shù)與模型參數(shù)一同反演求解；根據(jù)先驗(yàn)信息（驗(yàn)前方差）確定相對(duì)權(quán)比；相對(duì)權(quán)比人為定為0.5；赫爾墨特方差分量估計(jì)法［2－4，7，9，13］。本文針對(duì)這些方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出確定線性聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法，最后通過(guò)模擬計(jì)算顯示方法的有效性和可行性。

2 確定聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法

對(duì)于線性反演模型，假設(shè)有兩種不同類(lèi)型的觀測(cè)數(shù)據(jù)，聯(lián)合反演的目標(biāo)函數(shù)為

將式（1）對(duì)＾X求導(dǎo)有

轉(zhuǎn)置后得

將V1和V2代入上式，整理得

兩步法確定線性聯(lián)合反演模型中相對(duì)權(quán)比的具體步驟如下。

① 先不考慮相對(duì)權(quán)比λ，聯(lián)合反演的目標(biāo)函數(shù)為

法方程為

令

所以，式（5）變?yōu)?/p>

確定兩類(lèi)觀測(cè)資料權(quán)的初值P1和P2，選取時(shí)根據(jù)前面計(jì)算得到的結(jié)果作為初值，如利用GPS和地震矩張量聯(lián)合反演地殼運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)時(shí)，P1可選為GPS站速度場(chǎng)的先驗(yàn)權(quán)陣，P2可選為平均應(yīng)變率的先驗(yàn)權(quán)陣。一般來(lái)說(shuō)兩類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)P1和P2是可能不準(zhǔn)確的，也就是說(shuō)P1和P2所對(duì)應(yīng)的單位權(quán)方差不相等聯(lián)合反演中利用赫爾墨特方差分量估計(jì)的前提是：兩類(lèi)或多類(lèi)觀測(cè)值之間是相互獨(dú)立的，不獨(dú)立時(shí)必須利用方差－協(xié)方差分量估計(jì)來(lái)確定單位權(quán)方差與單位權(quán)協(xié)方差，然后獲得合理的觀測(cè)值權(quán)陣。

③ 進(jìn)行第一次方差分量估計(jì)［15］

式中

第1步所用的方程為

目標(biāo)函數(shù)是

（2）第2步，根據(jù)第1步得到的兩類(lèi)觀測(cè)資料權(quán)陣的估值＾P1和＾P2，在式（10）下求取相對(duì)權(quán)比和模型參數(shù)，即

具體步驟是：選定一個(gè)步長(zhǎng)，讓權(quán)比例因子τ遍歷整個(gè)取值區(qū)間0＜τ＜1，每個(gè)τ對(duì)應(yīng)于一個(gè)參數(shù)解和，把其中的最小值對(duì)應(yīng)的參數(shù)向量和此時(shí)的權(quán)比例因子作為最終結(jié)果。

由式（9）和式（10）得λ與τ的關(guān)系為

式中，j＝1，2，3，…為兩步法第1步的迭代次數(shù)。

可以將兩步法簡(jiǎn)單概括如下：第1步是不考慮相對(duì)權(quán)比，建立兩類(lèi)或多類(lèi)數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演模型，通過(guò)赫爾墨特方差分量估計(jì)使得兩類(lèi)或多類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差相等（或單位權(quán)方差的比值接近1），從理論上確定觀測(cè)數(shù)據(jù)合理的權(quán)陣，同時(shí)對(duì)不同種類(lèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化；第2步是在獲得合理的觀測(cè)數(shù)據(jù)權(quán)陣之后，建立顧及相對(duì)權(quán)比的聯(lián)合反演模型，將相對(duì)權(quán)比和模型參數(shù)當(dāng)做未知數(shù)同時(shí)進(jìn)行反演，以目標(biāo)函數(shù)值為最小來(lái)確定權(quán)比例因子。兩步法是一種概括反演方法，赫爾墨特方差分量估計(jì)法、將相對(duì)權(quán)比當(dāng)做未知數(shù)同模型參數(shù)一同反演的方法以及單一反演方法都是兩步法的特例；其優(yōu)點(diǎn)是可以獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)合理權(quán)陣，同時(shí)使得顧及相對(duì)權(quán)比的聯(lián)合反演目標(biāo)函數(shù)取得最小值，并對(duì)各類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化。

當(dāng)不同源數(shù)據(jù)出現(xiàn)量綱不一致情況時(shí)，首先需要對(duì)多源數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，常用的方法為或其中為觀測(cè)數(shù)據(jù)，F(xiàn)i（m）為各自模型擬合的觀測(cè)值，為觀測(cè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，下標(biāo)i表示第i類(lèi)數(shù)據(jù)［10］。

3 算例及分析

3.1 算 例

在假定介質(zhì)均勻且鄰近測(cè)點(diǎn)間應(yīng)變均勻的情況下，可以建立鄰近點(diǎn)間相對(duì)形變量與地殼應(yīng)變張量的線性關(guān)系［16］。設(shè)監(jiān)測(cè)網(wǎng)第j點(diǎn)兩期縱坐標(biāo)位移為uj，橫坐標(biāo)位移為vj，網(wǎng)中共有m點(diǎn)，則由坐標(biāo)位移反演應(yīng)變參數(shù)的公式（二維）為［17］

式中，xj、yj（j＝1，2，…，m）為第j點(diǎn)近似坐標(biāo)；ω為其轉(zhuǎn)動(dòng)量；εx、εy、γxy為應(yīng)變狀態(tài)參數(shù)，且γxy＝2εxy。

利用該應(yīng)變參數(shù)反演模型模擬生成了反演應(yīng)變參數(shù)的GPS坐標(biāo)位移數(shù)據(jù)和邊角網(wǎng)平差后的坐標(biāo)位移數(shù)據(jù)（u1、v1）和（u2、v2），并對(duì)兩類(lèi)觀測(cè)資料分別施加了σ2＝0.5mm2和ˉσ2＝1.0mm2的隨機(jī)噪聲后的數(shù)據(jù)為（u′1、v′1）和（u′2、v′2）。具體見(jiàn)表1和表2，相應(yīng)的坐標(biāo)位移協(xié)因數(shù)陣數(shù)據(jù)分別見(jiàn)表3和表4。

表1 GPS坐標(biāo)數(shù)據(jù)及坐標(biāo)位移觀測(cè)值數(shù)據(jù)Tab.1 Coordinate and displacement observation of GPS stations

表2 邊角網(wǎng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)及坐標(biāo)位移觀測(cè)值數(shù)據(jù)Tab.2 Coordinate and displacement observation of side－angle network

為了比較本文提出的確定線性聯(lián)合反演模型相對(duì)權(quán)比的兩步法與其他方法之間的優(yōu)缺點(diǎn)，利用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算，分以下10個(gè)方案進(jìn)行，λ表示GPS坐標(biāo)位移在聯(lián)合反演中所占的比重。方案1：GPS坐標(biāo)位移的單一反演；方案2：邊角網(wǎng)平差坐標(biāo)位移的單一反演；方案3：λ＝0.5；方案4：方案5：以把λ當(dāng)做未知數(shù)同模型參數(shù)一同進(jìn)行反演；方案6：赫爾墨特方差分量估計(jì)法［4］，迭代終止的條件為兩類(lèi)數(shù)據(jù)單位權(quán)方差估值之差小于等于0.000 1；為了比較兩步法中第2步的目標(biāo)函數(shù)ˉΦ（V1，V2）（式（10）所示）的不同對(duì)確定相對(duì)權(quán)比的影響，分別計(jì)算了以以及為目標(biāo)函數(shù)確定相對(duì)權(quán)比的兩步法，分別稱為方案7、方案8、方案9和方案10，迭代計(jì)算時(shí)τ步長(zhǎng)取為0.000 1；為便于閱讀將各方案的所用方法列于表5中。

各方案應(yīng)變參數(shù)反演結(jié)果見(jiàn)表6。

表3 GPS坐標(biāo)位移協(xié)因數(shù)陣數(shù)據(jù)Tab.3 Cofactor matrix of GPS coordinate displacement

表4 邊角網(wǎng)平差后坐標(biāo)位移的協(xié)因數(shù)陣數(shù)據(jù)Tab.4 Cofactor matrix of side－angle network coordinate displacement after adjustment

表5 各方案所用方法列Tab.5 The method of each project

表6 應(yīng)變參數(shù)反演結(jié)果Tab.6 Inversion results of model parameters

由于方案9與方案2等價(jià)，因此，表6中沒(méi)有列出方案9的計(jì)算結(jié)果，由方案7、方案8、方案9和方案10的兩步法計(jì)算出來(lái)的相對(duì)權(quán)比τ分別為0.500 0、0.212 7、0（不加0＜τ＜1的限制，允許取值0和1）和0.308 2。根據(jù)式（11）將對(duì)應(yīng)于的相對(duì)權(quán)比τ轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)于式（1）中Pi（i＝1，2）的相對(duì)權(quán)比λ分別為0.955 1、0.851 7、0和0.904 5（如表6所示）；‖ΔX‖表示模型參數(shù)反演結(jié)果與真值差值的范數(shù)；R表示參數(shù)的真值。然后，本文繪制了方案5、方案7、方案8、方案9和方案10的目標(biāo)函數(shù)與相對(duì)權(quán)比之間的關(guān)系圖，如圖1所示。

3.2 結(jié)果分析

（1）對(duì)于反演結(jié)果的評(píng)價(jià)一般要從內(nèi)符合精度和外符合精度兩個(gè)方面進(jìn)行綜合考慮。本文參數(shù)估值的中誤差是反演結(jié)果的內(nèi)符合精度指標(biāo)，反演結(jié)果與真值的差值范數(shù)‖ΔX‖作為外符合精度指標(biāo)。整體上從內(nèi)符合精度來(lái)看，方案6和方案7的結(jié)果最優(yōu)，而且二者是等價(jià)的。從外符合精度來(lái)看，方案4的差值范數(shù)最小，這與理論相符，因?yàn)榻o定的權(quán)比即為實(shí)際權(quán)比。然而這種方法不具操作性，因?yàn)樵诜囱葜皟深?lèi)數(shù)據(jù)的驗(yàn)前單位權(quán)方差是很難準(zhǔn)確知道的；方案3雖然外符合精度較高，但是內(nèi)符合精度稍差；方案5的結(jié)果與方案1幾乎相同，若不加0＜λ＜1的限制允許取值0和1，則方案5與方案1是等價(jià)的；方案8具有較高的外符合和內(nèi)符合精度；方案10具有較高的外符合精度，但內(nèi)符合精度較差；方案9與方案2等價(jià)，為邊角網(wǎng)坐標(biāo)位移的單一反演。綜合起來(lái)看，當(dāng)觀測(cè)值不含粗差時(shí)，兩步法（除方案10外）可以得到較好的反演結(jié)果。

（2）驗(yàn)前單位權(quán)方差法（方案4）的主要缺點(diǎn)是反演結(jié)果與給予的驗(yàn)前（初始）單位權(quán)方差有著很大的關(guān)系。驗(yàn)前單位權(quán)方差給的準(zhǔn)確，則可以得到較好的結(jié)果（如本文的算例），若初始單位權(quán)方差不準(zhǔn)確，就會(huì)得到不好的結(jié)果［2，4］。赫爾墨特方差分量估計(jì)法（方案6）的主要優(yōu)點(diǎn)是得到的結(jié)果具有最優(yōu)無(wú)偏的特性，不會(huì)受到驗(yàn)前單位權(quán)方差不準(zhǔn)確的限制。兩步法是一種概括反演方法，赫爾墨特方差分量估計(jì)法（方案6）以及單一反演方法（方案2）等都是兩步法的特例。兩步法通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的選擇統(tǒng)一了這些常用的方法。兩步法同樣不會(huì)受到驗(yàn)前單位權(quán)方差不準(zhǔn)確的限制，可以獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)合理權(quán)陣，同時(shí)使得顧及相對(duì)權(quán)比的聯(lián)合反演目標(biāo)函數(shù)取得最小值，并對(duì)各類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了歸一化。由圖1可以看出，兩步法的第2步采用不同的目標(biāo)函數(shù)確定相對(duì)權(quán)比的結(jié)果是不同的。兩步法目標(biāo)函數(shù)的選取方法為，觀測(cè)值僅含偶然誤差時(shí)，若要獲得最優(yōu)無(wú)偏的反演結(jié)果，則選為目標(biāo)函數(shù)；相對(duì)權(quán)比和模型參數(shù)都當(dāng)做未知數(shù)同時(shí)計(jì)算時(shí)，可選為目標(biāo)函數(shù)；相對(duì)權(quán)比和模型參數(shù)都當(dāng)做未知數(shù)同時(shí)計(jì)算時(shí)，不可選作為目標(biāo)函數(shù)，否則變成單一反演。因此，目標(biāo)函數(shù)的選擇可以根據(jù)實(shí)際情況確定。

（3）由殘差圖1（a）（方案5）和圖1（d）（方案4）可以看出與相對(duì)權(quán)比λ以及與相對(duì)權(quán)比τ之間是成遞減或遞增的關(guān)系，因此當(dāng)以此類(lèi)目標(biāo)函數(shù)作為確定相對(duì)權(quán)比的標(biāo)準(zhǔn)，且將其當(dāng)做未知數(shù)與模型參數(shù)一同進(jìn)行求解時(shí)，得到相對(duì)權(quán)比的值為1或者0，如文獻(xiàn)［4］中的λ＝1。

（4）聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的大小雖然是由所用的方法確定的，但并不能以得到的相對(duì)權(quán)比的大小作為評(píng)價(jià)確定相對(duì)權(quán)比方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)。無(wú)論采用何種方法確定相對(duì)權(quán)比，一般精度較高、數(shù)目較多的一類(lèi)觀測(cè)值應(yīng)該在聯(lián)合反演中起主要作用，該觀測(cè)值的相對(duì)權(quán)比也較大，如本文算例中的GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)。

相對(duì)權(quán)比的確定是聯(lián)合反演中的關(guān)鍵問(wèn)題。本文提出的確定聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法是一種概括反演方法，其優(yōu)點(diǎn)是不受驗(yàn)前單位權(quán)方差的限制，可以獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)的合理權(quán)陣，同時(shí)使得顧及相對(duì)權(quán)比的聯(lián)合反演目標(biāo)函數(shù)取得最小值，并對(duì)各類(lèi)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了歸一化。模擬數(shù)據(jù)的計(jì)算，顯示了在處理線性聯(lián)合反演問(wèn)題時(shí)該方法是非常有效的。但是，兩步法還需要在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步驗(yàn)證和改進(jìn)。

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［15］ CUI Xizhang，YU Zongchou，TAO Benzao，et al.Generalized Surveying Adjustment［M］.New ed.Wuhan：Wuhan Technical University of Surveying and Mapping Press，2001.（崔希璋，于宗儔，陶本藻，等.廣義測(cè)量平差［M］.新版.武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，2001.）

［16］ TAO Benzao.Robust Homogeneous Analysis of Displacement－Strain Models［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2000，29（4）：293－296.（陶本藻.位移－應(yīng)變模型的穩(wěn)健均勻分析［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2000，29（4）：293－296.）

［17］ CHEN Jian，TAO Benzao.Geodetic Deformation Surveying［M］.Beijing：Earthquake Publishing House，1987.（陳健，陶本藻.大地形變測(cè)量學(xué)［M］.北京：地震出版社，1987.）

A Two－step Method to Determine Relative Weight Ratio Factors in Joint Inversion

WANG Leyang1，XU Caijun2，ZHANG Chaoyu2
1.Faculty of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China；2.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China

The two－step method to determine relative weight ratio factors in joint inversion is derived.In the first step，without considering relative weight ratio factors，the joint inversion model of two or more kinds of observation data is established.Through Helmert method of variance components estimation，unit weight variances of observation data are equal（or the ratio of unit weight variances is approximate to1），and the reasonable and theoretical weight matrix is determined.At the sametime，different kinds of observation data are normalized.In the second step，on the base of reasonable weight matrix，the joint inversion model considering relative weight ratio factors is established.The relative weight ratio factors are determined when objective function is minimum.Through simulated data and several solutions，the effectiveness and feasibility of two－step method are proved.

joint inversion；relative weight ratio factors；two－step method；Helmert method of variance components estimation；unit weight variance

WANG Leyang（1983—），male，PhD，lecturer，majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

WANG Leyang，XU Caijun，ZHANG Chaoyu.A Two－step Method to Determine Relative Weight Ratio Factors in Joint Inversion［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（1）：19－24.（王樂(lè)洋，許才軍，張朝玉.一種確定聯(lián)合反演中相對(duì)權(quán)比的兩步法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（1）：19－24.）

P207

A

1001－1595（2012）01－0019－06

國(guó)家自然科學(xué)基金（40874003；40974017；41074007；41021061）；國(guó)家863計(jì)劃（2009AA12Z317）；國(guó)家公益地震行業(yè)科研專項(xiàng)（200808080）；教育部博士點(diǎn)基金（20090141110055）；東華理工大學(xué)地理空間信息采集處理及應(yīng)用科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目

叢樹(shù)平）

2011－01－10

2011－07－28

王樂(lè)洋（1983—），男，博士，講師，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量反演及大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。

E－mail：wleyang＠163.com