何 珍 文，鄭 祖 芳，劉 剛，吳 沖 龍

動態(tài)廣義表空間索引方法

何 珍 文，鄭 祖 芳，劉 剛，吳 沖 龍

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）計算機(jī)學(xué)院，湖北 武漢 430074）

提出了一種新的動態(tài)空間索引結(jié)構(gòu)X-Lists，設(shè)計實(shí)現(xiàn)了X-Lists的動態(tài)插入、動態(tài)刪除、查找等算法，并進(jìn)行了算法實(shí)驗。X-Lists是一種支持高維點(diǎn)查詢和區(qū)域查詢的廣義表，實(shí)驗表明，X-Lists在索引構(gòu)建與區(qū)域查找方面性能明顯優(yōu)于現(xiàn)有R-Tree及其改進(jìn)索引結(jié)構(gòu)。

空間索引;R樹;廣義表;X-Lists

0 引言

高效的多維空間索引是海量多維空間數(shù)據(jù)存儲管理與有效調(diào)度的基礎(chǔ)。由于空間數(shù)據(jù)的海量性及空間查詢的高度復(fù)雜性，如何建立高效的多維空間索引實(shí)現(xiàn)海量空間數(shù)據(jù)的快速調(diào)度一直是人們研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)問題之一。近30年眾多學(xué)者提出了多種空間索引方法［1－3］，大致可分為線性索引、網(wǎng)格索引和樹形索引三大類（圖1），但目前研究使用最廣泛的三維空間索引依然是R樹系列索引方法。

線性索引是一種最直觀簡單的索引，但在大型空間數(shù)據(jù)庫中訪問效率較低，較少被采用。網(wǎng)格索引是將研究區(qū)域縱橫分成若干個均等的小塊，每小塊都作為一個桶，將落在該小塊內(nèi)的地物對象放入該小塊對應(yīng)的桶中。當(dāng)用戶進(jìn)行查詢時，首先計算出用戶查詢對象所在格網(wǎng)，然后在該網(wǎng)格中快速查詢所選空間實(shí)體。目前在3DGIS中常被用作一級索引與R樹系列索引混合使用［3］。目前絕大部分的空間索引都是樹形索引（圖1），并且高維索引大都基于R-Tree［4］。R-Tree奠定了高維空間索引的技術(shù)架構(gòu)［5］，是目前應(yīng)用最為廣泛的一種空間索引結(jié)構(gòu)，許多商用空間數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)（如Oracle Spatial、IBM DB2 Spatial DataBlade、MySQL Spatial Extensions和MapInfo Spatial Ware等）均提供對R-Tree的支持，開放源碼系統(tǒng)PostgreSQL也實(shí)現(xiàn)了R-Tree。近20多年來，許多學(xué)者致力于R-Tree的研究，在R-Tree的基礎(chǔ)上衍生出了許多變種，比較典型的有R＋－Tree［6］、R＊-Tree［7］、壓 縮 R-Tree［8］、Hilbert RTree［9］、ER＊－Tree［10］、CSR－Tree［1，2］等。

圖1 空間索引方法分類［3］Fig.1 Classification of spatial index method

目前大量使用和研究的多維空間索引依然是以R-Tree及其衍生索引結(jié)構(gòu)為主。廣義表是一種非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，是線性表和樹的推廣，被廣泛應(yīng)用于多項式處理、DNA計算機(jī)、表處理語言LISP、人工智能等領(lǐng)域。2010年，筆者對基于廣義表的三維空間索引進(jìn)行了研究，提出了R-Lists［11］空間索引結(jié)構(gòu)，其邊界矩形采用三維矩形，沒有給出該結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的具體輔助算法。

本文以R-Lists為基礎(chǔ)，對基于廣義表的動態(tài)空間索引結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，提出了一種新的動態(tài)索引結(jié)構(gòu)X-Lists，設(shè)計實(shí)現(xiàn)了X-Lists的動態(tài)插入、動態(tài)刪除、查找等算法，并進(jìn)行了算法實(shí)驗。研究表明：在內(nèi)存空間占用方面，X-Lists的構(gòu)建性能明顯優(yōu)于R-Tree和CSR-Tree;在索引構(gòu)建時間方面，X-Lists與 R-Tree相 當(dāng)，優(yōu) 于 R＊-Tree和 CSR-Tree;XLists的查詢性能在時間和空間占用上均明顯優(yōu)于R-Tree和CSR-Tree;X-Lists能有效地支持高維點(diǎn)查詢和區(qū)域查詢，具有廣義表的一般屬性及其優(yōu)良性質(zhì)，在具有高效的空間索引性能的同時，將更有利于對大規(guī)模空間數(shù)據(jù)集進(jìn)行空間關(guān)系推理，或?qū)榛谒饕Y(jié)構(gòu)的空間關(guān)系的智能推理提供新的實(shí)現(xiàn)思路和方法。

1 X-Lists索引結(jié)構(gòu)

廣義表一般記為：

其中：GL（Generalized List）是廣義表名稱，n是其長度，ei是GL的一個元素，可以是原子（Atom）或子表（Sublist），這就決定了廣義表的遞歸結(jié)構(gòu)。X-Lists是一種帶有最小包圍邊界并限定了表長度的廣義表。這里的X代表單個或多個空間對象的任意形狀的可進(jìn)行疊置（Overlap）運(yùn)算的最小包圍體，常用的是超維最小邊界矩形（MRB）、超球體或超維凸包體等。在高維點(diǎn)查詢中一般采用超球體具有較高效率，在區(qū)域查詢中一般采用多維最小邊界矩形。在本文的算法實(shí)現(xiàn)中，如果沒有特殊說明，最小包圍體用最小邊界矩形（MRB）表示。

在X-Lists中，每個原子元素對應(yīng)一個空間對象SOj，記為：

其中：X＝（X0，X1，…，Xd－1）是一個d維最小包圍體，d是空間維度;SO＿Identifier代表空間數(shù)據(jù)庫中空間對象的唯一標(biāo)識，在實(shí)現(xiàn)過程中一般采用空間對象ID或指針表示。對于X-Lists的子表，則對應(yīng)一個約束在一定空間范圍的空間對象集合或者集合的集合，記為：

如果X代表矩形，以 Guttman［4］給出的R-Tree的示例數(shù)據(jù)為例，且令m＝3，則采用X-Lists表示廣義表XL為：

采用擴(kuò)展線性存儲方式，XL的存儲結(jié)構(gòu)如圖2所示，標(biāo)有數(shù)字的為原子，標(biāo)有圓圈的為子表。

圖2 Guttman示例數(shù)據(jù)對應(yīng)的X-ListsFig.2 X-Lists for Guttman′s sample data

為了便于查找與更新實(shí)現(xiàn)，本文對擴(kuò)展線性存儲方式采用了雙向鏈表形式，如果需要節(jié)省空間，也可以采用單向鏈表實(shí)現(xiàn)。后面的相關(guān)算法采用的是雙向鏈表的實(shí)現(xiàn)方式。采用雙向鏈表的擴(kuò)展線性存儲方式，X-Lists中的節(jié)點(diǎn)元素用C?語言描述如下：

其中：模板參數(shù)MBXVALUETYPE表示包圍盒的分量類型，一般為float或double型;NUMDIMS表示空間維數(shù);OBJTYPE表示空間對象或其唯一標(biāo)識類型，當(dāng)X-Lists用于文件系統(tǒng)時，OBJTYPE是一個帶有文件指針和偏移位置信息的結(jié)構(gòu)體，為闡述方便，本文將其定義為int型;Element的prev和next成員變量用于雙向鏈表指針;type表示元素類型，如果為0表示原子，為1表示子表;當(dāng)類型為原子元素時，obj用于唯一標(biāo)識空間對象;當(dāng)類型為子表時，sublist指向子表的頭節(jié)點(diǎn);bound表示子表或原子的最小包圍邊界，可以是超矩形或超球體等，本文采用對象Bound Box實(shí)現(xiàn)，只要實(shí)現(xiàn)了Bound Box的overlap、union等相關(guān)虛函數(shù)的幾何實(shí)體都可以在X-Lists中使用，提高了X-Lists的可擴(kuò)展性。

2 查找與更新算法

查找與更新算法是索引的核心算法，其效率直接決定索引的性能好壞。本文重點(diǎn)討論X-Lists索引結(jié)構(gòu)的查找、動態(tài)插入、動態(tài)刪除等算法。假定空間對象的 MBX的集合為R＝｛Ri｜i∈［0，n］｝，當(dāng)前待處理的 X-Lists為CXL＝｛C0，C1，…，Cj，…，Ck｝，其中0≤j≤k，且k＜m。

2.1 查找算法

查找算法（Searching）即在X-Lists中查找符合給定條件的原子元素。最常用的查詢是空間范圍查詢，也即給定一個待查詢的MBX值S，查詢X-Lists中有哪些原子元素落在MBX中。設(shè)CXL的頭指針為H，由于X-Lists是一種遞歸結(jié)構(gòu)，因此，查找算法可以采用遞歸方式描述如下：

［Searching］

（1）以H為頭指針，向后遍歷鏈表，訪問每個元素Cj;

（2）如果Cj對應(yīng)的MBX與S相交，則進(jìn)一步判斷Cj的類型：如果是原子，則直接將Cj添加到查找結(jié)果列表中，如果是子表，以子表的頭指針為H，遞歸調(diào)用查找算法［Searching］;

（3）如果Cj對應(yīng)的MBX與S不相交，則指針后移一個元素，重復(fù)步驟2，直到j(luò)等于k為止。

2.2 插入算法

插入算法（Insert）是X-Lists的關(guān)鍵，是一種動態(tài)插入算法，設(shè)當(dāng)前的X-Lists為CXL，其中已有k＋1個元素?，F(xiàn)要在集合R中依次取出一個元素，順次插入CXL中。

［Insert］

（1）設(shè)當(dāng)前取出的元素Ri∈R，首先計算Ri與C是否相交;

（2）如果不相交，并且k＜m－1，則將Ri作為CXL的表尾元素添加;

（3）如果不相交，并且k＝m－1，則將CXL作為表頭，Ri作為表尾，構(gòu)建新的表，重新記為CXL;

（4）如果相交，并且存在Cj與Ri相交，則將Ri與Cj合并成新的Cj;這個合并過程是一個將Ri遞歸插入Cj中的過程，其終止條件是Ri插入Cj中的與Ri相交的子表中，或者直接成為Cj的原子元素，使得Cj本身也是一個X-Lists;

（5）如果相交，并且在CXL中不存在任何元素與Ri相交，若k＜m－1，則將Ri作為C的表尾元素添加;若k＝m－1，則將CXL作為表頭，Ri作為表尾，構(gòu)建新的表，重新記為CXL，并調(diào)用［AdjustInsert］算法調(diào)整列表CXL;

（6）重復(fù)上述步驟，完成R集合的插入，也即完成X-Lists的構(gòu)建過程。

按照上述插入算法，圖2中R8至R19的插入過程如下（當(dāng)前插入元素用黑體表示）：

2.3 刪除算法

X-Lists的刪除分為兩種：第一種是給定一個空間對象的唯一標(biāo)識，在列表中刪除該元素節(jié)點(diǎn);第二種是給定一個區(qū)域，刪除列表中所有落在該區(qū)域中的元素節(jié)點(diǎn)，其可以由第一種算法多次執(zhí)行得到。本文重點(diǎn)討論第一種動態(tài)刪除算法。

［Delete］

（1）設(shè)CXL中要刪除的空間對象為obj，調(diào)用［FindPath］算法，得到obj的路徑棧S;

（2）如果［FindPath］查找失敗，則表明CXL中沒有obj元素，直接返回，否則繼續(xù);

（3）取出S的棧頂元素，賦值給head，pNode;

（4）如果S為空，則pNode是頂層表元素，在該層雙向鏈表中刪除節(jié)點(diǎn)pNode，重新計算總體包圍邊界;

（5）如果S不為空，則取S棧頂元素，賦值給pParentNode，則pParentNode是pNode的父表元素;

（6）在pNode所在的同級鏈表中刪除pNode，并獲取其頭節(jié)點(diǎn)head，令pParentNode→sublist指向h;

（7）如果head所在鏈表只有一個元素，則用head替換pParentNode，該步可以直接調(diào)用［AdjustDelete］算法實(shí)現(xiàn);

（8）將S中的所有元素順次彈出，計算調(diào)整各個父表元素的包圍邊界，最后計算調(diào)整總包圍邊界后返回，該步可以直接調(diào)用［Adjust Boundary］算法實(shí)現(xiàn)。

2.4 其他輔助算法

在X-Lists中除了上述的查找（Searching）、刪除（Delete）、插入（Insert）3個主要算法外，還有一些輔助算法。

2.4.1 元素定位 定位算法（Find）主要實(shí)現(xiàn)在XLists中查找指定的空間對象所在的元素位置。設(shè)要定位的空間對象唯一標(biāo)識為obj，需要返回obj對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)元素element及其父表元素parent＿element，具體算法描述如下：

2.4.2 路徑定位 路徑定位（FindPath）算法用于實(shí)現(xiàn)在一個X-Lists中查找指定的空間對象所在位置及從節(jié)點(diǎn)上溯到最頂層父表的所有各層級的父表元素構(gòu)成的路徑。為實(shí)現(xiàn)該算法，首先實(shí)現(xiàn)［Find-Parents］算法。設(shè)要定位的空間對象為obj，當(dāng)前列表的頭節(jié)點(diǎn)為head，head的上級父表節(jié)點(diǎn)為head＿parent，采用棧結(jié)構(gòu)存儲父表節(jié)點(diǎn)路徑。

（8）如果上述步驟都無最終返回TRUE，則將棧頂元素出棧，返回FALSE。

（9）返回的棧內(nèi)元素即為obj節(jié)點(diǎn)的各層級的父節(jié)點(diǎn)元素。

該算法采用遞歸方式實(shí)現(xiàn)了obj各個層級的父表節(jié)點(diǎn)，但在棧內(nèi)沒有包含obj節(jié)點(diǎn)，［FindPath］算法則在此基礎(chǔ)上將obj找到，并壓棧處理。具體算法描述如下：

2.4.3 調(diào)整算法 調(diào)整算法［Adjust］主要針對XLists的動態(tài)插入、刪除過程中出現(xiàn)的一些異常情況進(jìn)行處理和優(yōu)化，是一個算法集合。在X-Lists的更新中常會涉及節(jié)點(diǎn)的包圍邊界的調(diào)整問題，本文給出指定節(jié)點(diǎn)邊界調(diào)整算法［AdjustBoundary］，該算法的輸入?yún)?shù)是一個路徑棧，棧頂元素為當(dāng)前改動邊界范圍的節(jié)點(diǎn)元素。

（7）如果S不為空，重復(fù)執(zhí)行步驟3～7，直到S為空;

（8）遍歷pNextTopNode所在鏈表，重新計算每個元素的邊界之和，賦值給X-Lists總邊界范圍。

上述邊界調(diào)整算法相對比較簡單，可以單獨(dú)成函數(shù)供調(diào)用，也可以在插入、刪除中直接嵌入。為了敘述清晰，在邊界調(diào)整的地方直接調(diào)用［Adjust-Boundary］。

圖3a顯示的是圖2的局部，如果刪除R14節(jié)點(diǎn)，則以R13為頭的鏈表只有一個節(jié)點(diǎn)，不符合X-Lists性質(zhì)，需要進(jìn)行調(diào)整，即把R13升級為其父表元素，并調(diào)整上層的包圍邊界，如圖3b所示。刪除過程中的調(diào)整算法描述如下：

（4）以S為參數(shù)，調(diào)用［AdjustBoundary］調(diào)整相關(guān)節(jié)點(diǎn)的包圍邊界;

（5）用pSubNode節(jié)點(diǎn)替換pNode節(jié)點(diǎn)。

圖3 刪除過程中的異常情況Fig.3 Anomalies in the process of deletion

圖4顯示了插入過程中經(jīng)常出現(xiàn)一種異常情況。以圖2所示的數(shù)據(jù)為例，如果R17先于R10插入，按照［Insert］的步驟5，則會出現(xiàn)如圖4a所示情況，顯然不如圖4b所示的狀況好，因為R8、R9、R17構(gòu)成的包圍邊界范圍遠(yuǎn)大于R8、R9、R10構(gòu)成的邊界范圍，如果不進(jìn)行調(diào)整，會大大增加X-Lists中節(jié)點(diǎn)重疊率和X-Lists的深度。調(diào)整的原則是使各個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的子表的邊界范圍盡可能最小。這種異常情況一般出現(xiàn)在［Insert］算法的步驟5中，設(shè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為pNode，待插入的節(jié)點(diǎn)為element（對應(yīng)圖4a中的R10），如果element→bound與pNode→bound有重疊，不與pNode子表中的任何元素有重疊，并且pNode子表中的元素個數(shù)已經(jīng)達(dá)到最大節(jié)點(diǎn)數(shù)m，在這種情況下則需要進(jìn)行插入調(diào)整。

圖4 插入過程中的異常情況Fig.4 Anomalies in the process of inserting

針對這種情況，調(diào)整算法設(shè)計如下：

3 算法實(shí)驗與分析

為驗證算法的有效性，對本文提出的算法進(jìn)行了實(shí)驗。實(shí)驗設(shè)備為Sony VGN-SR48J，Intel Core2 Duo CPU 2.53 GHz，內(nèi)存2 GB，操作系統(tǒng)為 Windows XP。由于CSR-Tree是以R＊-Tree為基類實(shí)現(xiàn)的，其性能高于R＊-Tree，為此，本文選擇R-Tree和CSR-Tree與X-Lists進(jìn)行對比分析，分別對RTree、CSR-Tree和X-Lists的構(gòu)建算法和查找算法的時間和空間性能進(jìn)行了測試。

測試數(shù)據(jù)集為隨機(jī)生成數(shù)據(jù)。X-Lists和RTree一樣，是一種動態(tài)多維空間索引結(jié)構(gòu)，可以適用于高維查詢，本文重點(diǎn)對三維數(shù)據(jù)集進(jìn)行測試，結(jié)果見表1。

表1 X-Lists、R-Tree與CSR-Tree測試結(jié)果Table 1 Experimental results of X-Lists，R-Tree and CSR-Tree

為了更清楚地看出效率差異，將上述數(shù)據(jù)處理成折線圖，見圖5～圖7。圖5顯示了R-Tree、CSRTree和X-Lists 3種索引結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建時間對比，隨著空間對象個數(shù)的增加，X-Lists與R-Tree創(chuàng)建索引的效率基本相當(dāng)，CSR-Tree由于需要進(jìn)行聚類、排序操作，所以CSR-Tree的創(chuàng)建耗時要明顯大于XLists和R-Tree。圖6顯示了R-Tree、CSR-Tree和X-Lists 3種索引占用內(nèi)存空間情況的比較。由于CSR-Tree對數(shù)據(jù)集進(jìn)行了聚類排序處理，因此CSR-Tree中的節(jié)點(diǎn)重疊率明顯低于R-Tree。因此，對于同樣的數(shù)據(jù)集，CSR-Tree的節(jié)點(diǎn)數(shù)要小于RTree，也即其內(nèi)存占用量小于R-Tree的內(nèi)存占用量，其節(jié)點(diǎn)數(shù)或內(nèi)存占用量與空間對象數(shù)基本呈正比。X-Lists針對同一數(shù)據(jù)集創(chuàng)建的索引內(nèi)存占用量小于CSR-Tree，明顯優(yōu)于 R-Tree，如圖6所示。圖7是 R-Tree、CSR-Tree和 X-Lists 3種索引查詢效率的比較。由于CSR-Tree是對R＊-Tree的改進(jìn)，隨著數(shù)據(jù)量的增加，CSR-Tree相對于R-Tree的查詢優(yōu)勢會變大。對于同樣的隨機(jī)數(shù)據(jù)集和同樣的區(qū)域查詢，X-Lists查詢性能明顯高于CSR-Tree和R-Tree（圖7）。

圖5 索引創(chuàng)建耗時Fig.5 The time cost of index creation

4 結(jié)論

本文對基于廣義表的動態(tài)空間索引結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，提出了一種新的動態(tài)索引結(jié)構(gòu)X-Lists，設(shè)計實(shí)現(xiàn)了X-Lists的動態(tài)插入、動態(tài)刪除、查找等算法，并進(jìn)行了算法實(shí)驗，結(jié)果表明：在內(nèi)存空間占用方面，X-Lists的構(gòu)建性能明顯優(yōu)于R-Tree和CSRTree;在索引構(gòu)建時間方面，X-Lists與 R-Tree相當(dāng)，優(yōu)于R＊-Tree和CSR-Tree;X-Lists的查詢性能在時間和空間占用上均明顯優(yōu)于R-Tree和CSRTree。

此外，X-Lists是一種廣義表，R-Tree是 X-Lists的一個子集，能支持高維點(diǎn)查詢和區(qū)域查詢。由于廣義表的優(yōu)良性質(zhì)，X-Lists在具有高效的空間索引性能的同時，更有利于對大規(guī)?？臻g數(shù)據(jù)集進(jìn)行空間關(guān)系推理，或?qū)榛谒饕Y(jié)構(gòu)的空間關(guān)系的智能推理提供新的實(shí)現(xiàn)思路和方法。

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Dynamic Generalized List Spatial Index Method

HE Zhen－wen，ZHENG Zu－fang，LIU Gang，WU Chong－long
（SchoolofComputer，ChinaUniversityofGeosciences，Wuhan430074，China）

A new dynamic spatial indexing structure named X-Lists has been presented in this paper.The X-Lists algorithms including the dynamic insertion，dynamic deletion and searching algorithms have been designed and implemented，and the algorithm experiments have been carried out.X-Lists is a type of generalized lists which supports multi-dimensional point query and range query.Experimental results show that，X-Lists in the two aspects of construction and regional searching is superior to the existing R-Tree index structure and its improvement index structures.

spatial index;R-Tree;generalized lists;X-Lists

P208

A

1672－0504（2011）05－0009－07

2011－03- 18;

2011－05－06

國家自然科學(xué)基金項目（41101368）;教育部高校博士點(diǎn)基金項目（20100145110009）;中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目

何珍文（1978－），男，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域為數(shù)據(jù)庫技術(shù)、空間信息科學(xué)與技術(shù)。E－mail：zwhe＠foxmail.com