邱學(xué)云

(文山學(xué)院數(shù)理系,云南文山663000)

一維聲子晶體帶隙研究概述

邱學(xué)云

(文山學(xué)院數(shù)理系,云南文山663000)

文章對(duì)聲子晶體的概念、基本特征和分類進(jìn)行簡(jiǎn)要概述.總結(jié)分析一維聲子晶體的三種簡(jiǎn)化模型和一維聲子晶體的計(jì)算方法及其帶隙研究成果.展望一維聲子晶體在低頻振動(dòng)、噪聲控制、抗振防震方面的應(yīng)用可能,為深入研究一維聲子晶體提供依據(jù).

一維聲子晶體;能帶結(jié)構(gòu);帶隙

半導(dǎo)體中的電子與周期分布的原子勢(shì)場(chǎng)相互作用,使得半導(dǎo)體形成電子帶隙,即電子能帶間的頻率范圍,也叫電子禁帶,人為設(shè)計(jì)能夠控制電子的流動(dòng).近年來(lái),能帶理論突破了以固有材料為研究對(duì)象的限制,進(jìn)入了通過(guò)能帶設(shè)計(jì)來(lái)模擬實(shí)際晶格以獲得新型功能材料和器件的新階段.在這些材料中存在能夠禁止某種經(jīng)典波傳播的頻率范圍,這些頻率范圍稱為帶隙.具有經(jīng)典波帶隙的周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱波晶體.通常把存在電磁波帶隙,介電常數(shù)周期分布的材料或結(jié)構(gòu)稱光子晶體,把存在彈性波帶隙,彈性常數(shù)及密度周期分布的材料或結(jié)構(gòu)稱聲子晶體.

文章對(duì)聲子晶體的概念、基本特征、和分類進(jìn)行簡(jiǎn)要概述,總結(jié)分析一維聲子晶體的計(jì)算方法及其帶隙研究成果,展望一維聲子晶體的應(yīng)用可能,為深入一維聲子晶體的應(yīng)用研究提供依據(jù).

1 聲子晶體概述

1.1 聲子晶體概念和基本特征

1987 人們年發(fā)現(xiàn)了一種新型光子材料--光子晶體[1-2],在光子晶體研究的基礎(chǔ)上,提出了聲子晶體的概念.M.S.Kushwaha等1993年第1次提出聲子晶體概念時(shí),就對(duì)電子晶體、光子晶體和聲子晶體的有關(guān)特性進(jìn)行了比較[3],通過(guò)比較研究,得出它們非常相似性[4].聲子晶體是一種具有彈性波帶隙的周期性結(jié)構(gòu)材料,即在帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波不能夠傳播.基于這一特性,聲子晶體在隔聲、降噪、減振方面有廣闊的應(yīng)用可能.

聲子晶體內(nèi)部材料的彈性常數(shù)、密度、楊氏模量等材料參數(shù)周期性變化和材料結(jié)構(gòu)參數(shù)晶格尺寸、組份比的不同,聲子晶體的彈性波帶隙也就不同.帶隙分完全帶隙和不完全帶隙,在特定的頻率范圍內(nèi),波在波矢的所有方向上都不能傳播的稱為完全帶隙.頻率范圍內(nèi)只允許某些方向上的波通過(guò),其它方向禁止通過(guò)的帶隙具有方向性,稱為不完全帶隙.一般來(lái)說(shuō),聲子晶體中各組份比越大,入射波將被散射得越強(qiáng)烈,就越容易產(chǎn)生帶隙[5].

1.2 聲子晶體的分類

聲子晶體一般由兩相或以上的彈性介質(zhì)復(fù)合組成.根據(jù)聲子晶體結(jié)構(gòu)在笛卡爾坐標(biāo)系中周期排列形式的不同,分為一維、二維及三維結(jié)構(gòu).如圖1所示,從左到右分別為一維(層狀)、二維(柱狀)、三維(正方體)聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖.聲子晶體結(jié)構(gòu)常用的組份形態(tài)有層狀、柱狀、長(zhǎng)方體、正方體、球形、橢球形等,材料可以是實(shí)心或中空的,可以是不同物相不同組份的復(fù)合.

圖1 聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

2 一維聲子晶體簡(jiǎn)化模型

一維聲子晶體一般有層狀結(jié)構(gòu)和桿狀結(jié)構(gòu)兩種.對(duì)一維聲子晶體帶隙進(jìn)計(jì)算分析時(shí),通過(guò)調(diào)控組元材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)或材料參數(shù)來(lái)調(diào)控聲子晶體的帶隙情況.對(duì)于一維聲子晶體,當(dāng)相鄰兩個(gè)離散單元為同種材料時(shí)沿x方向的拉壓剛度為2ES/(dj+1+dj),不同種材料時(shí)拉壓剛度為2EAEBS/(EAdj+1+EBdj),E為彈性模量.對(duì)于原胞中包含兩種以上材料疊合的情形也可以按上述方法進(jìn)行簡(jiǎn)化處理.[6]

2.1 嚴(yán)格周期性聲子晶體模型

如下圖2所示是一維嚴(yán)格周期性聲子晶體簡(jiǎn)化模型.圖(a)是一維二組元結(jié)構(gòu),圖(b)是一維三組元結(jié)構(gòu).不同彈性常數(shù)和密度的材料A、B或材料A、B、C沿x方向交替排列形成一維二組元(三組元)聲子晶體的簡(jiǎn)化模型.用集中質(zhì)量法可以將其分解為有限個(gè)集中質(zhì)量,各個(gè)集中質(zhì)量間之間的連接簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的彈簧連接,聲子晶體原胞由材料A和材料B組成,理論上是無(wú)限多自由度的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng).因此,其原胞可簡(jiǎn)化為有限個(gè)自由度的彈簧振子結(jié)構(gòu),而一維聲子晶體則簡(jiǎn)化為周期彈簧振子結(jié)構(gòu).[7]如下圖3所示是一維二組元聲子晶體的離散示意圖,我們只要找到離散后的集中質(zhì)量和彈簧剛度與連續(xù)介質(zhì)材料參數(shù)之間的關(guān)系,就可以計(jì)算連續(xù)介質(zhì)的一維二組元聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).

2.2 層厚遞變式一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體模型

曹永軍等[8]提出一種層厚遞變式一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體模型.如圖4所示,系統(tǒng)共有N個(gè)周期2N層,分3種情況:第一種情況是第1個(gè)周期中兩種介質(zhì)的厚度為dA和dB,其后每個(gè)周期的厚度同時(shí)依次遞增或遞減一個(gè)Δd;第二種情況是第1個(gè)周期中兩種介質(zhì)的厚度為dA和dB,其后每個(gè)周期中介質(zhì)A的厚度不變,而介質(zhì)B的厚度依次遞增或遞減一個(gè)Δd;第三種情況是第1個(gè)周期中兩種介質(zhì)的厚度為dA和dB,其后每個(gè)周期中介質(zhì)B的厚度不變,而介質(zhì)A的厚度依次遞增或遞減一個(gè)Δd.通過(guò)計(jì)算彈性波通過(guò)該一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的透射系數(shù),并與周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的透射系數(shù)進(jìn)行比較.研究發(fā)現(xiàn)利用準(zhǔn)周期排列結(jié)構(gòu)可以有效地調(diào)節(jié)聲子晶體的帶隙寬度和所在的頻率范圍.

圖4 層厚遞變式準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體模型

2.3 一維功能梯度材料聲子晶體模型

宿星亮等[9]提出了一維功能梯度材料聲子晶體模型.如圖5所示,該模型研究的一維聲子晶體是由材料常數(shù)按指數(shù)形式分布的功能梯度材料沿x軸方向周期排列而成.該功能梯度材料單元兩端表面材料常數(shù)相同,在原胞中心a處達(dá)到材料常數(shù)峰值,周期排列后構(gòu)成材料常數(shù)宏觀上連續(xù)變化的一維結(jié)構(gòu).

圖5 一維功能梯度材料聲子晶體模型

上述三種一維聲子晶體模型:第一種是材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)嚴(yán)格周期性變化的;第二種是材料參數(shù)不變,結(jié)構(gòu)參數(shù)層厚遞變式的準(zhǔn)周期性結(jié)構(gòu);第三種是材料參數(shù)按指數(shù)形式分布變化,結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的準(zhǔn)周期性結(jié)構(gòu).三種模型各有優(yōu)點(diǎn),都具有各自的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

3 一維聲子晶體帶隙計(jì)算及其研究

國(guó)內(nèi)外有關(guān)聲子晶體帶隙研究的文獻(xiàn)主要是對(duì)聲子晶體的布拉格散射機(jī)理[10-12]、局域共振帶隙機(jī)理[13-18]和帶隙特性進(jìn)行研究.局域共振帶隙機(jī)理由我國(guó)劉正猷教授等人2000年提出.局域共振帶隙機(jī)理認(rèn)為,在特定的彈性波激勵(lì)下,聲子晶體結(jié)構(gòu)基體中的散射單元產(chǎn)生共振,并同彈性波相互作用,從而抑制其傳播.這為低頻振動(dòng)與噪聲控制的應(yīng)用研究開(kāi)辟了一條新思路[19].另外,王剛等人主要研究了不同周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算方法和帶隙特性,研究也取得了很多的成果[20].下面是常用的一維聲子晶體帶隙的計(jì)算方法及其部分研究成果.

3.1 傳遞矩陣法

傳遞矩陣法[21-22]是從連續(xù)狀態(tài)參數(shù)應(yīng)力、質(zhì)點(diǎn)位移等的基本方程入手,結(jié)合界面連續(xù)條件,得出單個(gè)周期的傳遞矩陣.通過(guò)引入周期邊界條件得到相應(yīng)的色散關(guān)系即能帶結(jié)構(gòu),同時(shí)通過(guò)有限個(gè)傳遞矩陣相乘可得到有限周期傳輸特性.該方法計(jì)算量較小,可計(jì)算一維聲子晶體帶隙,不能直接處理二維和三維聲子晶體的帶隙.

郁殿龍等[23]利用該法研究了表面局域態(tài)對(duì)一維聲子晶體中水平剪切波傳輸特性的影響情況,研究表明共振峰的極值與入射角度和聲子晶體層數(shù)有關(guān),合適的入射角度和層數(shù)可以使聲波完全透射.當(dāng)入射角在一定范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí),在較寬頻率范圍內(nèi)均出現(xiàn)較大透過(guò)率.聲子晶體的這一特性可以應(yīng)用于高性能的阻抗匹配材料和聲波濾波器中.

蔣澤等[24]應(yīng)用廣義傳輸矩陣法,建立了聲波傳播特性的理論分析模型,得到了其聲波場(chǎng)的平面波解,給出了數(shù)值實(shí)現(xiàn)方案.其研究表明,該方法可精確地模擬彈性波通過(guò)一維有限厚的嚴(yán)格周期結(jié)構(gòu)、準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)以及完全無(wú)序結(jié)構(gòu)的傳播特性.

3.2 平面波展開(kāi)法

對(duì)于平面波展開(kāi)法[25-26]是因?yàn)槁曌泳w具有周期性,可將相關(guān)參數(shù)按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi),結(jié)合Bloch定理,把聲子晶體波動(dòng)方程放到倒格矢空間以平面波疊加的形式展開(kāi),將聲子晶體波動(dòng)方程的求解轉(zhuǎn)化成本征值問(wèn)題,從而得到頻率與波矢之間的色散關(guān)系即聲子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).該法可用于計(jì)算一維、二維、三維聲子晶體中固體/固體、液體(氣體)/液體(氣體)的復(fù)合結(jié)構(gòu),但在計(jì)算、液體(氣體)/固體結(jié)構(gòu)時(shí)存在困難.應(yīng)用該法時(shí)當(dāng)組元材料參數(shù)差異較大時(shí)計(jì)算量大,收斂慢,但是隨著計(jì)算機(jī)的更新?lián)Q代,這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)得到改善.宿星亮,等[9]應(yīng)用此法研究了由功能梯度材料周期復(fù)合而成的一維聲子晶體中存在的彈性波帶隙特征,結(jié)果表明功能梯度材料聲子晶體較常規(guī)材料聲子晶體在相同范圍內(nèi)能夠出現(xiàn)更多階帶隙結(jié)構(gòu).

肖偉等[27]提出用波傳播法來(lái)研究一維聲子晶體的帶隙特性,將該方法與平面波展開(kāi)法進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)平面波展開(kāi)法隨著波數(shù)的增加而逐漸收斂于波傳播法的結(jié)果.如將波傳播法應(yīng)用于一維二組元和一維四組元聲子晶體禁帶特性的計(jì)算中,在相同計(jì)算精度下波傳播法的計(jì)算時(shí)間大約為平面波展開(kāi)法的1/50和1/100.當(dāng)考慮到粘彈性材料的頻變特性時(shí),波傳播法能直接得到聲子晶體的禁帶特性,在相同的計(jì)算精度下波傳播法的計(jì)算量大約要比經(jīng)過(guò)迭代改進(jìn)的平面波展開(kāi)法的計(jì)算量小兩個(gè)數(shù)量級(jí).

閆志忠等[28]發(fā)展了一種基于小波的一維聲子晶體彈性波帶隙計(jì)算方法,將彈性波場(chǎng)在小波基上展開(kāi),得到一個(gè)關(guān)于自適應(yīng)計(jì)算小波積分的一般矩陣特征值問(wèn)題.將該方法應(yīng)用到二元體系的聲子晶體,與傳統(tǒng)平面波展開(kāi)法相比,該方法的計(jì)算結(jié)果與之相符合,而且可在得到同樣計(jì)算精度的條件下,顯著降低計(jì)算量,提高計(jì)算速度.

王剛等[29]采用迭代法改進(jìn)了一維聲子晶體帶隙特性計(jì)算的平面波展開(kāi)算法,以使其適用于組成材料粘彈性所導(dǎo)致的彈性常數(shù)隨頻率非線性變化的特性.在將該算法應(yīng)用于丁腈橡膠和鋼組成的一維周期結(jié)構(gòu)聲子晶體振動(dòng)帶隙的研究中,理論計(jì)算和振動(dòng)測(cè)試結(jié)果吻合理想.

3.3 集中質(zhì)量法

集中質(zhì)量法[30-31]是基于振動(dòng)力學(xué)中連續(xù)系統(tǒng)的離散化思想,在聲子晶體中將各組元連續(xù)介質(zhì)中的質(zhì)量集中到有限個(gè)節(jié)點(diǎn)或截面上,把有限個(gè)節(jié)點(diǎn)或截面視為有限多個(gè)自由度的彈簧振子結(jié)構(gòu),即將聲子晶體彈性波帶隙的計(jì)算簡(jiǎn)化為計(jì)算周期彈簧振子結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙.其本質(zhì)是將無(wú)限自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成有限自由度系統(tǒng)近似求解.這種方法特別適合計(jì)算大彈性常數(shù)差組份復(fù)合而成的一維聲子晶體,并且這種方法可以更加直觀地描述聲子晶體內(nèi)部作用機(jī)理,這對(duì)聲子晶體帶隙的產(chǎn)生機(jī)理揭示將起到重要作用.

劉鐵權(quán)等[32]將一維聲子晶體的原胞簡(jiǎn)化為有限多個(gè)自由度的彈簧振子結(jié)構(gòu)后,在辛對(duì)偶變量體系下探討晶格振動(dòng),引入辛數(shù)學(xué)方法確定波矢與本證值的色散關(guān)系.通過(guò)本證值計(jì)數(shù)法計(jì)算特征頻率,從而得到禁帶區(qū)間.研究認(rèn)為與傳統(tǒng)集中質(zhì)量法相比,該算法的計(jì)算結(jié)果與之吻合很好,且提高了計(jì)算精度和計(jì)算效率,在低頻處收斂性更好,可以借鑒參考.

結(jié)束語(yǔ)

深入研究一維聲子晶體的帶隙特性,將會(huì)發(fā)現(xiàn)許多新的物理現(xiàn)象,從理論計(jì)算尋找到具有帶隙起始頻率低且有一定帶寬的周期結(jié)構(gòu),分析其在噪聲控制、低頻防震方面的應(yīng)用可能,理論設(shè)計(jì)出具有隔聲、降噪、減振性能的一維聲子晶體模型和具有低頻防震性能的工程模型,可為工程應(yīng)用做貢獻(xiàn).

作為一種新材料,各種結(jié)構(gòu)聲子晶體的應(yīng)用都還處于展望階段,但由于聲子晶體所具有的特殊性質(zhì)使得其在航空航天、電子器件、人造臟器、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)、聲功能器件、等諸多方面都有廣泛的應(yīng)用前景.

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Research Review on the Band Gap of One-dimensional Phononic Crystals

QIU Xue-yun

(Department of Math and Physics,Wenshan University,Wenshan Yunnan 663000,China)

The article briefly summarizes the concept of photonic crystals,its basic characteristics and classification.It analyzes and concludes the three simplified models of the one-dimensional phononic crystals,the calculation methods and the research result of the band gap.It offers a basis for further research on one-dimensional phononic crystals by forecasting the possible applications in low frequency vibration,noise control,anti-seismic and the earthquake prevention.

one-dimensional phononic crystals;band structure;band gap

O469

A

1008-9128(2011)02-0005-04

2011-03-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10664006);云南省教育廳科研基金項(xiàng)目(2010Y093)。

邱學(xué)云(1979-),男,云南宣威人,助理研究員,理學(xué)碩士。研究方向:聲子晶體、凝聚態(tài)物理。

[責(zé)任編輯 張燦邦]