劉軼中,薛曉鵬

(貴州大學理學院數學系,貴州貴陽 550025)

雙曲型方程的一類并行格式及其數值實驗

劉軼中,薛曉鵬

(貴州大學理學院數學系,貴州貴陽 550025)

雙曲型方程的一般并行格式是采用空間方向并行,時間方向步進的計算方式。本文構造一類恰是時間方向并行,空間方向步進的并行格式,該格式絕對穩(wěn)定,局部截斷誤差為o(m2τ2+mτh+h2)。

雙曲型方程;并行格式;穩(wěn)定性;截斷誤差

構造雙曲型方程的并行算法是并行計算研究中極為重要的部分,但由于對雙曲型方程的計算具有極強的方向性、不具有絕對穩(wěn)定的顯格式、一般不具有對角占優(yōu)且僅具有單邊邊界條件,故對雙曲型方程串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情,且雙曲型方程的并行格式一般是采用空間方向并行,時間方向步進的計算方式,見文獻[1-10]。但對于時間方向并行,空間方向步進的并行格式,尚未見到這方面的文獻。筆者針對下述的雙曲型方程的初邊值問題

構造了一類并行格式就是這樣一類時間方向并行,空間方向步進的計算格式,該格式絕對穩(wěn)定,局部截斷誤差為o(m2τ2+mτh+h2)。

1 構造并行格式

設問題(1)的解u(x,t)充分光滑,于是,由方程(1)可得如下關系式

如果j從0開始,則計算從左往右行;如果j從J-1開始,則計算從右往左行,如此每一次可用并行機同時計算m個函數值…具有良好的并行度。但m的值不宜太大,以免計算誤差放大。

2 穩(wěn)定性分析

對于并行格式(9)的穩(wěn)定性分析,用Fourier變換,見文獻[13],有:

對?r≠0皆成立,亦即此格式絕對穩(wěn)定。由此,有:

定理2 對?r≠0,并行格式(9)絕對穩(wěn)定。

3 實驗報告

3.1 實驗目的及要求

(1)有效求解雙曲型方程;

(2)通過編程實例計算,驗證理論分析的正確性。

3.2 實驗(或算法)設計(上已敘述,略)

3.3 實驗硬件及軟件平臺

(1)硬件平臺:貴州大學理學院數學系應用數學與建筑力學實驗室的方正電腦;

(2)軟件平臺:VC++6.0。

3.4 實驗步驟和實驗內容

(1)編寫程序(略)

(2)具體數例

考慮雙曲型方程的初邊值問題

表1 并行格式(9)的誤差(r=1.9,m=5,h=0.01)

3.5 實驗結果與討論

以上數值例子表明理論分析是正確的,格式是有效的。

[1] Evans D J,Abdullah A R B.Group explicit method for parabolic equations[J].Inter J Computer Math,1983,14:73-105.

[2] Evans D J.Alternating group explicit method for hyperbolic equations Comput[M].Math.Appl.,1988.15:659-697.

[3] 陸金甫,肖世江.對流方程的 GE方法[J].計算物理,1995,12(3):355-362.

[4] 劉百良.一階雙曲型方程的AGE方法[J].計算物理,1998,15(1):101-106.

[5] 張寶琳,谷同祥,莫則堯.數值并行計算原理與方法[M],北京:國防工業(yè)出版社,1999.

[6] 金承日,劉家琦.對流方程的交替分組顯式方法[J].哈爾濱工業(yè)大學學報,2000,32(1):48-50.

[7] 金承日,丁效華,張少太.雙曲型方程的有限差分并行迭代算法[J].哈爾濱工業(yè)大學學報,2002,34(3):340-343.

[8] 譚暢,劉播.解雙曲型方程的幾種并行算法[J].工程數學學報,2004,21(8):155-159.

[9] 方春華,張大凱.雙曲型方程的一類分組顯示并行算法[J].貴州科學,2006,24(3):11-13.

[10] 劉軼中,張大凱.解雙曲型方程的分組并行格式[J].貴州大學學報(自然科學版),2007,24(4):340-344.

[11] 方春華,張大凱.雙曲型方程的組合差商解法[J].貴州大學學報(自然科學版),2004,21(2):136-139.

[12] 方春華,張大凱.雙曲型方程在乘積型差商空間中的高精度組合差商算法研究[D].貴州大學.

[13] 李榮華,馮果忱.微分方程數值解法[M].北京:高等教育出版社,1997.

A class of parallel schemes and numerical experimen ts for hyperbolic equation

LIU Yi-zhong,XUEXiao-peng

(Department of M athematics,College of Sciences,Guizhou University,Guiyang550025,China)

The general parallel schemes for hyperbolic equation are parallel in the direction of space and stepping in the direction of time.In this paper,it construct a scheme that is exactly parallel computing in the direction of time and stepping in the direction of space.The scheme is absolutely stable.The local truncation error iso(m2τ2+mτh+h2).

Hyperbolic equation;Parallel scheme;Stability;Truncation error

O241.82

:A

1001-9383(2011)02-0001-04

2010-04-22

貴州大學大學生創(chuàng)新性實驗計劃項目

劉軼中(1973-),男,湖南衡東人,碩士,實驗師,研究方向:微分方程數值解,Email:liuyiz2004@126.com.