席雷平，郭 輝，何 東

（1.軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國語學(xué)院，河北石家莊 050018；3.河北電力研究院，河北石家莊 050021）

基于飽和函數(shù)的機械臂模糊滑模趨近律設(shè)計

席雷平1，郭 輝2，何 東3

（1.軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國語學(xué)院，河北石家莊 050018；3.河北電力研究院，河北石家莊 050021）

為了削弱機械臂滑模控制中的抖振現(xiàn)象，提出了模糊趨近律的控制方法。利用模糊控制器實時調(diào)整滑?？刂频内吔蓞?shù)，并將飽和函數(shù)引入趨近律的設(shè)計中，設(shè)計了一種新型趨近律。該方法既保證了控制系統(tǒng)的快速性和魯棒性，又能夠有效地削弱抖振，另外，控制系統(tǒng)設(shè)計簡單，便于工程應(yīng)用。仿真結(jié)果表明，該控制策略不僅有效地抑制了系統(tǒng)的抖振，而且保證了機械臂系統(tǒng)對期望軌跡的快速跟蹤性，進而提高了機械臂的工作性能。

機械臂；模糊滑?？刂?；抖振；飽和函數(shù)；趨近律

機械臂作為一類多輸入、多輸出非線性系統(tǒng)，具有強耦合、時變、模型不確定等特點，由于測量和建模的不精確性，實際上無法得出機械臂精確完整的動力學(xué)模型，因此，必須面對機械臂大量不確定性的存在。

滑?？刂埔蚱湓诨瑒幽B(tài)對系統(tǒng)干擾和攝動具有魯棒性而得到控制界重視，近年來，滑模變結(jié)構(gòu)控制越來越多應(yīng)用到機械臂系統(tǒng)中［1－2］。但滑?？刂频娜秉c是存在高頻抖振，因此減弱抖振是機械臂滑?？刂埔鉀Q的首要問題。

采用趨近律的方法能夠有效地減弱滑?？刂浦械亩墩駟栴}［3］。筆者在對機械臂的動力學(xué)特性和常用趨近律進行深入分析的基礎(chǔ)上，將飽和函數(shù)引入趨近律的設(shè)計中，并根據(jù)改進的趨近律設(shè)計了相應(yīng)的機械臂滑模控制策略，最后以二關(guān)節(jié)機械臂為對象，對該滑?？刂撇呗赃M行了設(shè)計與仿真。

1 機械臂動力學(xué)模型

基于拉格朗日運動學(xué)建立的n關(guān)節(jié)機械臂的動態(tài)方程為［4］

2 滑模面設(shè)計

將機械臂的系統(tǒng)誤差e定義為

其中：qd為機械臂關(guān)節(jié)的期望位置矢量；q為實際輸出位置矢量。取qd為指令，設(shè)計線性滑模面為［5］

當(dāng)系統(tǒng)到達滑模面后，對給定的任意初始狀態(tài)e（0），系統(tǒng)將穩(wěn)定并在有限時間內(nèi)到達平衡點。此外，通過設(shè)計常數(shù)矩陣C，可使控制系統(tǒng)具有好的動態(tài)品質(zhì)。

3 趨近律設(shè)計

在對變結(jié)構(gòu)控制原理的描述中到達條件沒有反映運動如何趨近切換面，文獻［6］提出并發(fā)展了趨近律的概念和公式，保證正常運動段的品質(zhì)，即給出了按規(guī)定趨近律的趨近到達條件。指數(shù)趨近律是一種常用的趨近律，表示如下［7］：

式中，εsgn（s）為滑?？刂祈?，當(dāng)s→0時，ks→0，但εsgn（s）并不趨于0，故˙s也不趨于0，系統(tǒng)狀態(tài)將會來回地穿越滑模面而造成抖振，并且抖振的強度由ε的大小來決定。

對于指數(shù)趨近律，為了有效地抑制高頻抖振，必須減小ε，而小的ε又影響了系統(tǒng)的快速性；增大k可以加速趨近速度，但又要求系統(tǒng)有較大的控制強度。為了解決這個問題，采用模糊方法理論對于指數(shù)趨近律中的ε進行設(shè)計。

干擾的存在必然會引起機械臂位置誤差e發(fā)生變化，由于滑模面s是關(guān)于e的函數(shù)，因此干擾的大小會影響到s的值，可以通過s的值來間接估計?；谶@種思想，可以設(shè)計一維模糊控制器，它根據(jù)s的絕對值大小來實時地調(diào)整趨近律的參數(shù)ε，其原理如圖1所示。

模糊控制器的輸入變量為｜s｜，輸出變量為ε。描述輸入和輸出變量的語言值的模糊子集均為

圖1 模糊控制器原理圖Fig.1 Schematic diagram of sliding-mode controller

設(shè)輸入｜s｜的論域為U，并像U一樣也把輸出量ε的大小量化為6個等級，即

模糊控制規(guī)則如下：

根據(jù)控制經(jīng)驗，當(dāng)｜s｜為PB時，表示系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面，因此需要一個大的趨近律參數(shù)ε以加快趨近速度，即ε應(yīng)為PB；當(dāng)｜s｜為PS時，表示系統(tǒng)狀態(tài)離滑模面較近，因此需要一個較小的ε使趨近速度變慢以減小抖振，即ε應(yīng)為PS?；谏鲜鼋?jīng)驗，采用如表1所示的控制規(guī)則表［8］。

清晰化方法采用MIN-MAX-重心法，它是著名的Mamdani推理法。清晰化的控制量由式（5）計算，再經(jīng)過尺度變換即可變?yōu)閷嶋H的控制量ε。

表1 控制規(guī)則表Tab.1 Chart of the control regularity

利用上述的模糊控制器實時地調(diào)整ε，從而構(gòu)成了滑?？刂频哪：吔?。

采用模糊指數(shù)趨近律能夠有效地削弱系統(tǒng)的抖振，但是只要控制器中含有符號函數(shù)sgn（s），控制輸出就不可避免地會產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。飽和函數(shù)可有效抑制抖振，使輸出平滑有界。因此考慮采用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)來代替符號函數(shù)進行趨近律的設(shè)計，雙曲正切函數(shù)具體表達式如下：

飽和函數(shù)法實質(zhì)上是用飽和特性取代原有繼電特性［7］，目的是緩解切換的不連續(xù)性。圖2是符號函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的比較曲線，從圖2中可以看出，雙曲正切函數(shù)使得切換過程變得連續(xù)而又平滑，這對于抑制趨近運動過程的抖振具有重要作用。

在趨近律的設(shè)計中引入雙曲正切函數(shù)，具體表示為

˙s＝－εtanh（s）－ks，ε＞0，k＞0。 （7）

該趨近律既克服了指數(shù)趨近律方法中滑模運動切換帶為帶狀的缺點，又保證了趨近過程的快速性，并且當(dāng)接近滑模面時，該趨近律速度接近為0，有效地減小了進入滑模面的初始系統(tǒng)抖振。

4 控制律設(shè)計

［9］的系統(tǒng)設(shè)計思想，機械臂模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖3所示。根據(jù)圖3并結(jié)合式（2）可知：

圖2 雙曲正切函數(shù)與符號函數(shù)比較圖Fig.2 Curves of hyperbolic tangent function and sign function

圖3 機械臂控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Schematic diagram of robotic manipulator control system

5 系統(tǒng)仿真

選取二關(guān)節(jié)機械臂為控制對象，利用Matlab軟件對其進行仿真研究。在不考慮摩擦力的情況下，其動力學(xué)方程為

圖4 基于指數(shù)趨近律的機械臂滑?？刂品抡媲€Fig.4 Sliding-mode control simulation curves of robotic manipulator based on exponential trenind law

由仿真結(jié)果可知，基于飽和函數(shù)設(shè)計的機械臂模糊滑模趨近控制策略不僅能夠有效地抑制系統(tǒng)的抖振，使得實際的控制輸入比較平滑，而且保證了機械臂系統(tǒng)對期望軌跡的快速跟蹤性，更重要的是縮短了趨近階段的時間，使得系統(tǒng)由初始狀態(tài)進入滑模狀態(tài)的速度大大提高，從而提高了系統(tǒng)的魯棒性。

6 結(jié) 語

圖5 基于改進趨近律的機械臂模糊滑?？刂品抡媲€Fig.5 Sliding-mode control simulation curves of robotic manipulator based on improved trenind law

在對機械臂滑?？刂浦写嬖诘亩墩駟栴}進行深入分析的基礎(chǔ)上，采用模糊趨近律的方法來抑制抖振，并將飽和函數(shù)引入到模糊趨近律的設(shè)計中來，設(shè)計了相應(yīng)的機械臂模糊滑?？刂撇呗裕c常規(guī)的指數(shù)趨近律滑?？刂撇呗韵啾?，該控制策略具有更好的魯棒性，不僅能夠有效地抑制滑?？刂浦械亩墩瘢冶ＷC了機械臂關(guān)節(jié)的快速跟蹤性。最后，借助Matlab工具箱對該控制策略進行了仿真實驗，驗證了其可行性和有效性，說明了該控制策略具有較好的控制性能。

參考文獻:

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Design of fuzzy trending law based on saturation function in sliding mode control for robotic manipulators

XI Lei-ping1，GUO Hui2，HE Dong3
（1.Department of Optics and Electrics Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.College of Foreign Languages，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；3.Hebei Electric Power Research Institute，Shijiazhuang Hebei 050021，China）

In order to weaken chattering phenomenon of robotic manipulators，a method of fuzzy trending law is presented.It applies fuzzy controller to adjust the parameters of trending law of sliding mode control timely，while saturation function is introduced into trending law design，and then a new trending law is proposed.This method can not only ensure the speediness and robustness of the control system，but also weaken chattering effectively.In addition，the design of the control system is simple，so it can be easily applied to engineering.The simulation results show that the scheme can not only control the chattering effectively but also achieve a fast and accurate tracking，thus enhancing the operational performance of robot manipulators.

robotic manipulator；fuzzy sliding mode control；chattering；saturation function；trending law

TP391.8

A

1008-1542（2011）05-0482-06

2011-06-17；

2011-09-09；責(zé)任編輯:李 穆

軍隊2110實驗室重點資助項目；軍械工程學(xué)院基金項目（JX2011026）

席雷平（1979-），男，河北邯鄲人，講師，博士研究生，主要從事導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制方面的研究。