孫 璐， 張法勇， 朱 捷， 任秋萍

(1.黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院，哈爾濱 150027;2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150080)

Zakharov方程組半離散Fourier譜格式的穩(wěn)定性

孫 璐1， 張法勇2， 朱 捷1， 任秋萍1

(1.黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院，哈爾濱 150027;2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150080)

為研究等離子體物理中Zakharov方程組數(shù)值方法解的適定性，利用Fourier譜方法，在有限時(shí)間段［0，T］內(nèi)，分析Fourier譜格式解的存在性和收斂性，研究半離散Fourier譜格式的穩(wěn)定性。首先證明了誤差eM的L2模，其次證明了eM和ηM的能量模，最后利用Gr?nwall不等式，借助穩(wěn)定性的分析方法，證明了Zakharov方程組Fourier譜格式解的穩(wěn)定性，從而得到了方程組在空間方向上近似解的穩(wěn)定性結(jié)論。

Zakharov方程組;Fourier譜格式;穩(wěn)定性

0 引言

在等離子物理學(xué)中出現(xiàn)的方程組的周期初邊值問題:

其中，未知復(fù)值函數(shù)E(x，t)為高頻電場的包絡(luò)波解，N(x，t)為未知實(shí)值函數(shù)是離子數(shù)密度在平衡態(tài)附近的擾動(dòng)。由于該方程是一個(gè)偏微分方程組，其解析解無法求出，因此，要尋找一種適合的離散方法來求解。1979年，C.Sulem和P.L.Sulem對一維Zakharov方程組的弱解的存在性進(jìn)行了研究［1］。1992年，R.T.Glassey利用差分法對一維Zakharov方程組進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了所給出的格式具有守恒性質(zhì)［2］。其收斂階達(dá)到O(h2)。1996年，張法勇、向新民利用Fourier擬譜方法對Zakharov方程組進(jìn)行了誤差估計(jì)［3-4］。2010年，孫璐利用Fourier譜方法證明了Zakharov方程組離散解的存在性和收斂性［5］。文中進(jìn)一步利用譜方法［6-8］研究半離散解的穩(wěn)定性。

1 符號說明

2 主要結(jié)果

問題(1)～(5)的半離散Fourier譜格式為:求映射EM(t)，NM(t)，［0，T］→SM。使得:

設(shè)EM1(x，t)、)))為其2組解，這里定義誤差:eM=-，ηM=-，則其滿足:

定理1 (eM的L2模估計(jì)) 存在一個(gè)常數(shù)C，使得

則有下面定理成立。

3 結(jié)束語

文中考慮動(dòng)力系統(tǒng)中一個(gè)重要方程組Zakharov方程組，由于方程組的解析解的表達(dá)形式無法求出，需要利用數(shù)值方法來求所給定方程組的數(shù)值解。因此，文中建立了半離散Fourier譜格式。而近似方程解的存在性、收斂性及穩(wěn)定性研究就成為重點(diǎn)。文中在Zakharov方程組的先驗(yàn)估計(jì)及誤差估計(jì)的基礎(chǔ)上，利用方程組解所具有的守恒性質(zhì)，驗(yàn)證了方程組的半離散Fourier譜格式的離散解穩(wěn)定性。方法的優(yōu)點(diǎn)在于離散解可以無限光滑，收斂階可以達(dá)到無窮階的收斂速。該方法可以推廣到動(dòng)力系統(tǒng)其他偏微分方程組中，針對不同方程對建立的譜格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析。由于文中是在有限時(shí)間［0，T］內(nèi)做地研究，在無限時(shí)間內(nèi)還有待討論。

［1］SULEM C，SULEM P L.Regularity properties for the zakharov equations［M］.Berlin:Springer，1979:123-149.

［2］GLASSEY R T.Convergence of energy-preserving scheme for the zakharov equations in one space diminsion［J］.Mathematics of Computation，1992，1:83-102.

［3］張法勇，向新民.一類廣義Zakharov方程組擬譜方法的整體誤差估計(jì)Ⅰ［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996，6:1-6.

［4］張法勇，向新民.一類廣義Zakharov方程組擬譜方法的整體誤差估計(jì)Ⅱ［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1997，9:2 -7.

［5］孫 璐.Zakharov方程組的Fourier譜方法［D］.哈爾濱:黑龍江大學(xué)，2010.

［6］向新民.譜方法的數(shù)值分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2000.

［7］陸 瑤，李德生，楊 洋.非線性Schrodinger方程的Fourier譜逼近［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2011，01:119-126.

［8］蘇在濱，張法勇，范廣慧.帶有弱阻尼項(xiàng)的非線性Schrodinger方程全離散Fourier擬譜格式的長時(shí)間行為［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，03:296-303.

Stability of semi-discrete Fourier spectral scheme for Zakharov equations

SUN Lu1， ZHANG Fayong2， ZHU Jie1， REN Qiuping1
(1.College of Sciences，Heilongjiang Institute of Science＆Technology，Harbin 150027，China; 2.School of Mathematical Science，Heilongjiang University，Harbin 150080，China)

Aimed at studying the solutions of numerical method of Zakharov equations in plasma physics and analyzing the stability of the approximate equations using Fourier spectral method，this paper discusses the stability of semi-discrete Fourier spectral scheme of the equations in［0，T］based on the existence and convergence of the solutions.The paper starts with proving the L2norm of the error eM，proceeds to prove the energy norm of the error eMand ηM，and ends with proving the stability of Zakharov equations with the stability analysis method using the Gr?nwall inequality and the conservative nature of the Fourier spectral scheme of the equations，all of which leads to the stability conclusion of the approximate solutions in space.

Zakharov equations;Fourier spectral scheme;stability

O241.82

A

1671-0118(2011)04-0337-05

2011-07-04

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究指導(dǎo)項(xiàng)目(12513081)

孫 璐(1980-)，女，黑龍江省哈爾濱人，講師，碩士，研究方向:微分方程數(shù)值解法，E-mail:adams-lulu@126.com。

(編輯王 冬)