劉光軍，柯宏發(fā)，劉嘉文

(1.總裝備部 通信網(wǎng)絡(luò)管理中心，北京100720;2.裝備學(xué)院，北京101416)

1 引言

武器裝備全壽命周期費(fèi)用技術(shù)受到了越來(lái)越廣泛的重視［1，2］，對(duì)武器裝備系統(tǒng)研制費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測(cè)，可為國(guó)防預(yù)算的節(jié)省，新武器裝備系統(tǒng)的論證、研制、生產(chǎn)、使用和保障等全壽命管理提供可靠的依據(jù)［3］。針對(duì)裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題，小樣本問(wèn)題和新型智能優(yōu)化算法是目前的研究熱點(diǎn)，如文獻(xiàn)［2］將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到灰色Verhulst模型來(lái)提高研制費(fèi)用預(yù)測(cè)精度，文獻(xiàn)［3］建立了基于粗糙集的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)模型。從實(shí)際工程背景來(lái)看，裝備研制遵循方案論證、初樣設(shè)計(jì)研制、正樣設(shè)計(jì)研制、靶場(chǎng)試驗(yàn)、定型等工作程序;大部分裝備研制費(fèi)用隨著時(shí)間的推移，經(jīng)費(fèi)需求初期少，中期的某一時(shí)期達(dá)到高峰，后期又減少，研制費(fèi)用累積曲線(xiàn)呈S型變化特征［4］?；疑玍erhulst模型是一種很廣泛的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型，是S型小樣本數(shù)據(jù)列建模的有效工具，在軍事裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，如文獻(xiàn)［4］利用灰色Verhulst模型對(duì)魚(yú)雷研制費(fèi)用進(jìn)行了建模。

但是灰色Verhulst模型是有偏差的灰指數(shù)模型，在應(yīng)用過(guò)程中存在模擬預(yù)測(cè)精度不高的情況，對(duì)其改進(jìn)方法的研究也是灰色理論與應(yīng)用研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［5，6，7，8，9］。如文獻(xiàn)［7］提出了以x(1)(n)作為初始條件的建模方法，文獻(xiàn)［8］提出了以殘差進(jìn)行修正來(lái)提高灰色Verhulst模型的建模精度。

本文認(rèn)為初始數(shù)據(jù)列系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)變化發(fā)展的，背景值的構(gòu)造形式和初始條件的選取是相互影響的，考慮背景值優(yōu)化和初始條件優(yōu)化之間的誤差積累傳播，提出了基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的灰色Verhulst模型優(yōu)化方法，介紹了應(yīng)用模擬退火算法求解該模型。通過(guò)對(duì)模擬數(shù)據(jù)的比較分析發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用本文所提出的灰色Verhulst優(yōu)化模型來(lái)對(duì)裝備研制費(fèi)用進(jìn)行建模，比文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［8］有更高的模擬精度，并與原始數(shù)據(jù)列具有更大的灰關(guān)聯(lián)度。

2 灰色Verhulst模型及其求解

命題1(證明略):灰色Verhulst模型x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2中待估計(jì)參數(shù)a為模型的發(fā)展系數(shù)，待估計(jì)參數(shù)b為模型的灰作用量，另設(shè)^a=(a，b)T為參數(shù)列，且設(shè)

在實(shí)際建模過(guò)程中，可以取初始序列為X(1)，其1階累減生成序列為X(0)，建立灰色Verhulst模型直接對(duì)X(1)進(jìn)行模擬。

3 灰色Verhulst優(yōu)化模型

3.1 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的灰色Verhulst優(yōu)化模型

Verhulst模型主要用來(lái)描述非單調(diào)擺動(dòng)發(fā)展或具有飽和狀態(tài)的過(guò)程，即S形過(guò)程，最初慢慢上升，然后迅速增長(zhǎng)，最后慢慢趨于極限，常用于人口預(yù)測(cè)、生物生長(zhǎng)、繁殖預(yù)測(cè)和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測(cè)等。建立灰色Verhulst模型的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)建模得到初始序列的擬合曲線(xiàn)，從擬合預(yù)測(cè)的角度出發(fā)，則希望最終的模擬序列能夠最優(yōu)地逼近初始序列，并且能具有較高的預(yù)測(cè)精度。由上節(jié)建模過(guò)程可以看出，模擬序列的建模精度取決于背景值逼近精度和初始條件常數(shù)c的精度。

定義1中Z(1)的緊鄰均值生成是一種平滑處理，當(dāng)時(shí)間間隔很小、序列數(shù)據(jù)變化平緩時(shí)，這樣構(gòu)造的背景值是合適的，模型偏差較小;但當(dāng)序列數(shù)據(jù)變化急劇時(shí)，這樣構(gòu)造出來(lái)的背景值往往產(chǎn)生較大的滯后誤差，模型偏差較大，因而在一定程度上會(huì)影響預(yù)測(cè)精度。另外，以數(shù)據(jù)表征的各種系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)變化的，因此以固定的背景值構(gòu)造形式應(yīng)用于所有系統(tǒng)也是不合適的。根據(jù)灰色系統(tǒng)的新信息有限原理，在進(jìn)行背景值的構(gòu)造時(shí)可以考慮新舊信息的相對(duì)重要性，本文采用下述背景值加權(quán)構(gòu)造形式，即:

式(7)中，ω為新信息的加權(quán)權(quán)重，針對(duì)不同的系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解?；疑玍erhulst模型本身是一個(gè)模擬預(yù)測(cè)模型，如果以系統(tǒng)的當(dāng)前預(yù)測(cè)點(diǎn)為原點(diǎn)，在該原點(diǎn)之前，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)數(shù)據(jù)的信息意義將逐步降低，再進(jìn)行Verhulst模型預(yù)測(cè)的意義就越弱，越靠近原點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息更能反映系統(tǒng)的目前特征，所以在進(jìn)行建模時(shí)考慮數(shù)據(jù)的相對(duì)重要性顯然是合理的。

針對(duì)初始條件常數(shù)c的優(yōu)化，強(qiáng)行令初始值為x(1)(1)來(lái)推導(dǎo)常數(shù)c缺乏嚴(yán)格的理論依據(jù)，使得解出的灰色Verhulst模型不一定是最佳預(yù)測(cè)公式;另外令初始值為x(1)(n)來(lái)推導(dǎo)常數(shù)c，由于x(1)(n)是由原始序列累加生成的，原始序列的信息通過(guò)x(1)(n)都可以得到充分反映，因此把它作為初始條件符合灰色系統(tǒng)理論新信息優(yōu)先原理，也符合灰色系統(tǒng)理論最少信息原理，有可能使模型的預(yù)測(cè)精度比原模型的預(yù)測(cè)精度得到提高，但是不能保證與原始數(shù)據(jù)列保持最好的動(dòng)態(tài)發(fā)展趨勢(shì)。由上節(jié)建模過(guò)程可以看出，背景值的構(gòu)造形式對(duì)常數(shù)c的求解是有影響的，也就是說(shuō)，背景值優(yōu)化帶來(lái)的偏差會(huì)影響初始條件常數(shù)c優(yōu)化。于是，基于背景值優(yōu)化和初始條件優(yōu)化之間的誤差傳播累積作用，針對(duì)任意的加權(quán)權(quán)值ω下，本文考慮模擬值與原始值的相對(duì)誤差平方和最小的目標(biāo)來(lái)優(yōu)化確定常數(shù)c，其相對(duì)誤差平方和ΔEω為:

將c代入式(5)，求得^x(1)(k)，它是ω和c的函數(shù)。于是得到灰色Verhulst參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型:

求解該模型得到最優(yōu)的ω、發(fā)展系數(shù)a、灰作用量b和初始條件常數(shù)c，根據(jù)式(5)即可求得灰色Verhulst模型的最優(yōu)模擬時(shí)間響應(yīng)序列。該模型中ΔE和ΔEω都是非線(xiàn)性函數(shù)，本文選用模擬退火算法進(jìn)行求解。

3.2 灰色Verhulst優(yōu)化模型的模擬退火算法

模擬退火算法，就是模擬固體退火過(guò)程的一種組合優(yōu)化算法，在求解過(guò)程中不但接受對(duì)目標(biāo)函數(shù)改善的狀態(tài)，而且還以某種概率接受使目標(biāo)函數(shù)惡化的狀態(tài)。算法由一個(gè)控制參數(shù)T決定，經(jīng)過(guò)大量解變換后，可求得給定控制參數(shù)下優(yōu)化問(wèn)題的相對(duì)最優(yōu)解;然后緩慢減小參數(shù)T的值，重復(fù)迭代過(guò)程，當(dāng)參數(shù)T趨于0時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解。這種算法的特點(diǎn)可以使之避免過(guò)早收斂到某個(gè)局部極值點(diǎn)，從而能夠比較有效地進(jìn)行全局搜索最優(yōu)值。

3.3 模型擬合的有效性分析方法

對(duì)灰色Verhulst模型進(jìn)行優(yōu)化的目的是使得最終的擬合曲線(xiàn)能夠最優(yōu)地逼近初始序列曲線(xiàn)，因此需要考察灰色Verhulst模型擬合的模擬序列與初始序列X(0)的接近性與相似性?；疑到y(tǒng)理論中灰色關(guān)聯(lián)分析的實(shí)質(zhì)就是比較數(shù)據(jù)到曲線(xiàn)幾何形狀的接近程度，一般來(lái)說(shuō)，幾何形狀越接近，變化趨勢(shì)也就越接近，灰關(guān)聯(lián)度就越大。因此，本文利用模擬數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關(guān)聯(lián)度大小來(lái)比較分析擬合的有效性，兩者的灰色關(guān)聯(lián)度越大，表示擬合曲線(xiàn)與系統(tǒng)曲線(xiàn)X(0)越接近，幾何形狀越相似，用序列來(lái)模擬序列X(0)越有效。

在進(jìn)行灰關(guān)聯(lián)分析時(shí)，以初始序列X(0)作為參考序列，然后求得各種模擬數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關(guān)聯(lián)度，進(jìn)而根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的大小進(jìn)行判斷即可。數(shù)據(jù)列與X(0)的灰色關(guān)聯(lián)度用γ(，X)表示，有算式:

4 魚(yú)雷研制費(fèi)用算例驗(yàn)證

以文獻(xiàn)［4］提供的魚(yú)雷研制費(fèi)用數(shù)據(jù)為例進(jìn)行灰色Verhulst優(yōu)化模型建模，魚(yú)雷逐年研制費(fèi)用和累積研制費(fèi)用見(jiàn)表1。

表1 魚(yú)雷逐年和累積研制費(fèi)用(萬(wàn)元)

應(yīng)用本文灰色Verhulst優(yōu)化模型，求得最優(yōu)的ω=0.4，其模擬時(shí)間響應(yīng)式為:

將該模型模擬結(jié)果和文獻(xiàn)［4］、文獻(xiàn)［8］的模型進(jìn)行比較與分析。分別計(jì)算各模型的模擬數(shù)據(jù)，并將相應(yīng)的實(shí)際數(shù)據(jù)、模擬數(shù)據(jù)、相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差列于表2。

表2 各種模型的模擬精度比較

由表2可以看出，本文提出的灰色Verhulst優(yōu)化模型的平均相對(duì)誤差最小。假設(shè)X(0)代表原始數(shù)據(jù)列，分別代表文獻(xiàn)［4］模型、文獻(xiàn)［8］模型和本文模型的模擬數(shù)據(jù)列，各數(shù)據(jù)列曲線(xiàn)如圖1所示。圖中以虛線(xiàn)表示原始數(shù)據(jù)列，很直觀地就可以看出，本文灰色Verhulst優(yōu)化模型所得的模擬序列與原始序列的接近性與相似性最好，其模擬性能最優(yōu)。

考察上述三種模型所得的模擬數(shù)據(jù)列與原始序列X(0)的灰關(guān)聯(lián)度，基于式(10)求得=0.6755、γ(=0.6692和γ=0.7673，本文灰色Verhulst優(yōu)化模型所得的模擬序列與原始序列的灰關(guān)聯(lián)度最大，模擬預(yù)測(cè)性能最優(yōu)。

5 結(jié)束語(yǔ)

裝備研制費(fèi)用的預(yù)測(cè)是武器裝備全壽命管理中一項(xiàng)很重要的工作，本文提出了基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的灰色Verhulst優(yōu)化模型，有效地解決了小樣本裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題，并且較好地提高了預(yù)測(cè)精度。大量數(shù)據(jù)仿真結(jié)果表明，本文所提模型也適用于其它呈S型特征的數(shù)據(jù)列預(yù)測(cè)問(wèn)題。針對(duì)多峰值的研制費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題［2，4］，基于本文模型如何實(shí)現(xiàn)高精度預(yù)測(cè)值得進(jìn)一步研究。

1 郭繼周，宋貴寶，彭紹雄.裝備使用保障費(fèi)用灰色建模分析［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26(1):64-67.

2 劉建永，李凌，伍中軍.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)灰色Verhulst算法的裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)模型［J］.解放軍理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，(4):335-338.

3 孟科，張恒喜，李登科，等.基于粗糙集的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在裝備研制費(fèi)用預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，17(5):14-17.

4 梁慶衛(wèi)，宋保維，賈越.魚(yú)雷研制費(fèi)用的灰色Verhulst模型［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2005，17(2):257-258.

5 ZHAO ZHONGMING，CHEN XIEN.Surface Movement and Deformation Simulated by Verhulst Model［C］//Proceedings of 2009 2nd IEEE International Conference on Computer Science and Information Technology，Beijing，2009:459-461.

6 ZHAO WENQING，ZHU YONGLI.A Prediction Model for Dissolved Gas in Transformer Oil based on Improved Verhulst Grey Theory［C］//2008 3rd IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications，Singapore，2008:2042-2044.

7 LUO YOUXIN，CHEN MIANYUN，CHE XIAOYI，et al.Non-equal Interval Direct Optimizing Verhulst Model that x(n)be Taken as Initial Value and its Application［J］.Journal of Southeast University(English Edition)，2008，24(Sup):17-21.

8 左燕.基于GM(1，1)改進(jìn)的Verhulst模型預(yù)測(cè)PTA期貨價(jià)格［J］.周口師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，26(5):38-40.

9 何文章，吳愛(ài)弟.估計(jì)Verhulst模型中參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃方法及應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2006，26(8):141-144.

10 劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.