白占武，陳坤

（華北電力大學(xué) 數(shù)理系，河北 保定 071003）

?？?普朗克方程的求解與噪聲誘導(dǎo)相變

白占武，陳坤

（華北電力大學(xué) 數(shù)理系，河北 保定 071003）

考慮內(nèi)部時(shí)間導(dǎo)數(shù)Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪聲激勵的一個(gè)布朗粒子在周期場中運(yùn)動的零維系統(tǒng)，用福克-普朗克方程的等價(jià)系統(tǒng)方法和一種改進(jìn)的等價(jià)系統(tǒng)判據(jù)得到近似解析解.以此討論了噪聲誘導(dǎo)相變問題和勢形狀對相變的影響，得到如下結(jié)論：新判據(jù)改進(jìn)了近似解析解的精度；相變主要決定于周期場勢壘的高度而不敏感于勢的形狀.

時(shí)間導(dǎo)數(shù)OU噪聲；福克-普朗克方程；近似解析解；殘余；噪聲誘導(dǎo)相變

朗之萬方程、?？?普朗克方程［1-2］構(gòu)成了布朗運(yùn)動研究的基礎(chǔ).近年來，反常擴(kuò)散現(xiàn)象引起人們的極大關(guān)注，系統(tǒng)長時(shí)間的動力學(xué)行為取決于噪聲功率譜的低頻分布，因此當(dāng)熱噪聲的低頻被濾掉，導(dǎo)致系統(tǒng)的有效摩擦消失，自由粒子會呈現(xiàn)熱擴(kuò)散的極限情形：彈道擴(kuò)散.彈道擴(kuò)散是反常擴(kuò)散的一種特殊情形，正是因?yàn)闀r(shí)間導(dǎo)數(shù)噪聲具有低頻消失有效阻尼為零的特點(diǎn)，它能夠產(chǎn)生彈道擴(kuò)散和各態(tài)歷經(jīng)性的破壞［3］.由于對?？?普朗克方程求解的困難，大多數(shù)情形下需要求近似解析解或數(shù)值解.等價(jià)非線性系統(tǒng)方法［4-8］是一種有效的方法，但仍有較大的誤差.

研究隨機(jī)力對非平衡相變的影響，特別是研究由噪聲誘導(dǎo)的非平衡相變現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)隨機(jī)理論的一個(gè)重要課題.相變不僅發(fā)生在一些特殊模型，還可以發(fā)生在有乘性噪聲誘導(dǎo)下的晶格模型、雙轉(zhuǎn)子模型、雙穩(wěn)態(tài)模型、染料激光等［8-11］.非平衡相變絕大多數(shù)由乘性噪聲誘導(dǎo)［8-10，12-13］或者乘性噪聲與加性噪聲同時(shí)誘導(dǎo)［13］，特殊情形下加性噪聲也可誘導(dǎo)一階相變［14］.通常研究非平衡相變的方法是平均場方法［15］.文獻(xiàn)［16］研究了一個(gè)由內(nèi)部導(dǎo)數(shù)OU噪聲誘導(dǎo)的零維布朗粒子系統(tǒng)，通過將等價(jià)系統(tǒng)方法推廣到?？?普朗克方程，得出了相應(yīng)的?？?普朗克方程的近似解析解，并得到了零維布朗粒子存在從非各態(tài)歷經(jīng)到各態(tài)歷經(jīng)相變的結(jié)論.但近似解析解還有較大的誤差.本文通過改進(jìn)等價(jià)系統(tǒng)的判據(jù)，提高結(jié)果的精度，并且研究了勢的形狀對非平衡相變的影響.

1 系統(tǒng)的描述

周期場中一個(gè)布朗粒子的運(yùn)動方程為

這里的V（x）＝u0（1-cos（x））是一維周期勢，V′（x）為其導(dǎo)數(shù).Γ（t）是通常的OU噪聲，Γ·（t）為其時(shí)間導(dǎo)數(shù)且滿足

這里D＝mηkBT為噪聲強(qiáng)度，τ為關(guān)聯(lián)時(shí)間，kB為玻耳茲曼常數(shù)，T為環(huán)境的溫度，m為布朗粒子的質(zhì)量，η為粘滯系數(shù).

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由于此類方程求解相當(dāng)困難，人們發(fā)展了多種近似解析方法，其中等價(jià)系統(tǒng)方法是一種普遍應(yīng)用的方法.它的基本思想是尋找一個(gè)與原系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義上相近但可解的等價(jià)朗之萬方程，來代替原系統(tǒng).為了討論周期場中零維布朗粒子經(jīng)受一個(gè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)噪聲的情形，文獻(xiàn)［16］的做法是尋找一個(gè)與此系統(tǒng)福克 -普朗克方程相近的?？?-普朗克方程而非與原系統(tǒng)近似的朗之萬方程.目的是讓等價(jià)系統(tǒng)包含記憶核函數(shù)項(xiàng)，以便使等價(jià)系統(tǒng)包含原系統(tǒng)更多的“信息”.為了能夠精確地求解并包含記憶項(xiàng)，將朗之萬方程中的記憶項(xiàng)對應(yīng)的算子分出一部分包含在等價(jià)系統(tǒng)中.

3 判據(jù)的改進(jìn)

在等價(jià)系統(tǒng)方法中有2個(gè)要素，一是讓等價(jià)系統(tǒng)盡量逼近原系統(tǒng)，一是選擇合適的等價(jià)判據(jù).文獻(xiàn)［16］所用的判據(jù)相當(dāng)于殘余?？似绽士怂惴姆稊?shù)最小.殘余項(xiàng)FPρ0是一個(gè)漲落量，類比于統(tǒng)計(jì)物理，大小可用其平方平均來衡量.殘余項(xiàng)的平方平均最小可作為為判據(jù)，即系數(shù)c1，c2，c3，c4的值由函數(shù)

可得到參數(shù)c1，c2，c3，c4，進(jìn)一步可得速度的分布密度函數(shù)ρ0（v），結(jié)果示于圖1，其中η＝1，T＝1，τ＝1，上方實(shí)線為理論結(jié)果，下方實(shí)線為文獻(xiàn)［16］結(jié)果，虛線為數(shù)值模擬的結(jié)果.

圖1 約化幾率密度ρ0（v）作為速度v的函數(shù)Fig.1 Reduced probability densityρ0（v）as a function of v

與原判據(jù)［16］相比，幾率密度的近似解析解與數(shù)值結(jié)果更好相符.由圖1可知當(dāng)勢參數(shù)u0＝0.6，u0＝0.5，u0＝0.4時(shí)，ρ0（v）幾乎沒有變化，當(dāng)u0≈0.3時(shí)，ρ0（v）的解析結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果都發(fā)生了定性的變化.如果取方均速率，〈v2〉為序參量，這種變化可以從方均速率〈v2〉隨u0的變化曲線更清楚地看到（圖2），其中實(shí)線為理論結(jié)果，中間虛線為數(shù)值模擬的結(jié)果，上方虛線為文獻(xiàn)［16］的結(jié)果.

由圖2可見理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果定性一致，精度較文獻(xiàn)［16］有改進(jìn)，解析與數(shù)值模擬結(jié)果最大相對誤差為8.8%，由圖可清晰地觀察到有相變發(fā)生.近似解析解對相變點(diǎn)的計(jì)算與數(shù)值模擬相符合.當(dāng)勢壘較高時(shí)，布朗粒子感受到的勢近似為簡諧勢，粒子運(yùn)動是各態(tài)歷經(jīng)的；當(dāng)勢壘很低時(shí)，粒子的運(yùn)動是漸進(jìn)自由的，此時(shí)布朗粒子初始能量的耗散和環(huán)境對布朗粒子的熱化都是不完全的，布朗粒子對初態(tài)有記憶，運(yùn)動是非各態(tài)歷經(jīng)性的.結(jié)果表明，隨著勢壘高度的降低，布朗粒子由各態(tài)歷經(jīng)到非各態(tài)歷經(jīng)的轉(zhuǎn)變是一種相變.

圖2 速率平方平均〈v2〉隨u0的變化Fig.2 Mean square velocity〈v2〉as a function of u0

圖3 u0＝0.6時(shí)速度幾率密度隨速度v的變化曲線Fig.3 Velocity probability density as a function of vfor u0 ＝0.6

應(yīng)用上述判據(jù)研究了勢的形狀對約化幾率密度ρ（v）的影響，結(jié)果如圖3所示，其中，B線為原勢，C線是勢周期增大1倍情形，D線為三角形周期勢.三角形周期勢為（1個(gè)周期）

由圖3可知當(dāng)勢的變化平緩以后，幾率密度隨速度的變化曲線在v＝0處的變化最大，相對于原勢最大相對變化為1.1%，方均速率〈v2〉的值最大相對變化為0.2%.可見，勢的形狀對速度的幾率密度函數(shù)影響很小，這是由于勢只以某種平均的形式影響速度的分布.上述結(jié)果表明序參量〈v2〉及相變點(diǎn)主要決定于勢壘的高度，而不敏感于勢的形狀.

4 結(jié)論

導(dǎo)數(shù)OU噪聲激勵的一個(gè)布朗粒子在周期場中的運(yùn)動可由一個(gè)高維的?？?-普朗克方程來描述，利用?？?-普朗克方程的等價(jià)系統(tǒng)方法可以得到原系統(tǒng)的近似解析解.以殘余項(xiàng)平方的平均最小為判據(jù)確定其中的參數(shù).與以前結(jié)果相比，此判據(jù)改進(jìn)了結(jié)果的精度.以此近似解析解和判據(jù)為基礎(chǔ)，討論了零維布朗粒子在周期勢場中的噪聲誘導(dǎo)相變問題.在一定的噪聲強(qiáng)度下，當(dāng)勢壘高度變化時(shí)，布朗粒子的運(yùn)動存在各態(tài)歷經(jīng)到非各態(tài)歷經(jīng)的相變.近似解析解能夠比較準(zhǔn)確地給出相變點(diǎn).筆者還討論了速度的概率密度與勢形狀的關(guān)系.速度的概率密度以及方均速率隨勢的形狀沒有明顯的變化，這表明相變對勢阱的形狀不敏感，序參量主要由勢壘高度決定.

［1］張?zhí)珮s.統(tǒng)計(jì)動力學(xué)及其應(yīng)用［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，2007.

［2］胡崗.隨機(jī)力和非線性系統(tǒng)［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1994.

［3］包景東.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和反常擴(kuò)散［J］.物理學(xué)進(jìn)展，2005，25（4）：359-367.

［4］DIMENTBERG M，CAI G Q，LIN Y K.Application of quasi-conservative averaging to a non-linear system under nonwhite excitation［J］.Int J Non-Linear Mechanics，1995，30（5）：677-685.

［5］CAI G Q，LIN Y K.Exact and approximate solutions for randomly excited mdof non-linear systems［J］.Int J Non-Linear Mechanics，1996，31（5）：647-655.

［6］ZHU W Q，HUANG Z L，SUZUKI Y.Equivalent non-linear system method for stochastically excited and dissipated partially integrable Hamiltonian systems［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2001，36：773-786.

［7］TO C W S.A statistical nonlinearization technique for multi-degrees of freedom nonlinear systems under white noise excitations［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，286：69-79.

［8］BROECK D C V，PARRONDO J M R，TORAL R.Noise-induced nonequilibrium phase transition［J］.Physical Review Letters，1994，73（25）：3395-3398.

［9］PARK S H，KIM S.Noise-induced phase transitions in globally coupled active rotators［J］.Physical Review E，1996，53，（4）：3425-3430.

［10］屈支林，劉杰，田鋼.色噪聲誘導(dǎo)的激光相變［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1995，31（2）：219-222.

［11］申洪，漆安慎.外噪聲下相變模型福克-普朗克方程的含時(shí)精確解［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，37（5）：632-637.

［12］KIM S，PARK S H.Colored-noise-induced multistability in nonequilibrium phase transitions［J］.Physical Review E，1998，58（6）：7994-7997

［13］JIA Ya，LI Jiarong，CHEN Yicheng.A novel phase transition phenomenon in bistable system［J］.Chinese Physics Letters，1997，14（4）：245-247.

［14］ZAIKIN A A，GARCíA-OJALVO J，SCHIMANSKY-GEIER L.Nonequilibrium first-order phase transition induced by additive noise［J］.Physical Review E，1999，60（6）：R6275-R6278.

［15］GUDYMA Y V.Nonequilibrium first-order phase transition in semiconductor system driven by colored noise［J］.Physica A ，2004，331：61-68.

［16］BAI Zhanwu.Noise-induced phase transition：zero-dimensional Brownian particles varying between ergodicity and nonergodicity［J］.Chinese Physics Letters，2008，25（4）：1213-1216.

Solution of the Fokker-Planck Equation and Noise-induced Phase Transition

BAI Zhan-wu，CHEN Kun
（Department of Mathematics and Physics，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

We study a zero-dimensional system of Brownian particles which move in a periodic potential and subject to an internal time derivative Ornstein-Uhlenbeck（OU）noise.we use the equivalent system method to get the approximate analytical solution.Then，we discuss the noise-induced phase transition problem and the affect of the potential shape，obtain the following conclusions：The new criteria improves the accuracy of the approximate analytical solution；phase transition mainly depends on the height of the potential barrier but insensitive to the shape of the potential.

time derivative ornstein-uhlenbeck noise；Fokker-Planck equation；approximate analytical solution；residue；noise-induced phase transition

O 414.2

A

1000-1565（2011）05-0475-05

2011-01-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10647129）

白占武（1962-），男，河北保定人，華北電力大學(xué)教授，主要從事非平衡統(tǒng)計(jì)研究.

E-mail：baizhanwu＠126.com

孟素蘭）