劉美靜，馬躍超

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

時滯中立型線性系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱控制器設(shè)計

劉美靜，馬躍超

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

研究了時滯中立型線性系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱控制器設(shè)計問題,分別對非脆弱控制器的乘性與加性加以討論.通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov泛函，利用Schur補引理和最近提出的積分不等式，得到了時滯相關(guān)非脆弱控制器的設(shè)計方法.利用matlab中的線性矩陣不等式工具箱進行求解，數(shù)值仿真說明了該設(shè)計方法的有效性.

中立型系統(tǒng)； Lyapunov泛函； 線性矩陣不等式； 非脆弱控制

0 引言

中立型系統(tǒng)不僅廣泛存在于工程實際中，而且許多實際系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為中立型系統(tǒng)來研究，因此，中立型時滯系統(tǒng)的魯棒控制問題受到了學者的廣泛關(guān)注[1-3].文獻[2]研究了一類不確定中立型時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制問題；文獻[3]研究了具有時變不確定性的中立型系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題.由于儀器精度不足和舍入誤差等因素，在控制器本身實現(xiàn)過程中，控制器參數(shù)會發(fā)生變化，這將破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使其性能下降，即控制器本身是脆弱的.因此，關(guān)于非脆弱控制器的設(shè)計問題引起了國內(nèi)外學者的極大興趣[4-7].文獻[4]首次提出了非脆弱控制器的思想；文獻[7]研究了中立型系統(tǒng)的基于觀測器的非脆弱H∞控制問題.

本文在文獻[5-7]基礎(chǔ)之上，針對一類不確定中立型時滯系統(tǒng)，討論了時滯中立型線性系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱控制器設(shè)計問題.利用Schur補引理和最近提出的積分不等式，給出了不確定中立型時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制器的設(shè)計方法.利用matlab 的線性矩陣不等式(LMI)工具箱求解非常方便.本文所考慮的系統(tǒng)狀態(tài)含有時滯，中立導數(shù)項含有不確定性，從而使本文所取得的結(jié)果適用范圍更廣一些.

1 問題描述

考慮不確定系統(tǒng)

(1)

式中，x(t)∈Rn,w(t)∈Rq,u(t)∈Rm,z(t)∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)，擾動輸入，控制輸入及受控輸出，且w(t)∈L2[0,∞),φ(t)為[-h,0]上的連續(xù)可微初始函數(shù),h=Const.>0為系統(tǒng)狀態(tài)時滯.系數(shù)矩陣A0,A1,B1,B2,L0,D1,D2,C為具有適當維數(shù)的常數(shù)實矩陣,ΔA0,ΔA1,ΔB1,ΔL0,ΔL1,ΔD1,ΔC為時變參數(shù)不確定性，假設(shè)具有形式

(2)

式中，H1,H2,E0,E1,E2,E3有適當維數(shù)的常數(shù)實矩陣，F(xiàn)(t)為時變未知實矩陣，滿足F(t)TF(t)≤I.

考慮非脆弱控制器

u(t)=(K+ΔK)x(t),

(3)

式中，K為控制器增益,ΔK為擾動矩陣，屬于下列兩種情形之一：

情形1(乘性不確定性) ΔK依賴于控制器增益K，滿足

ΔK=HaFa(t)EaK；

(4)

情形2(加性不確定性) ΔK不依賴于控制器增益K，滿足ΔK=HbFb(t)Eb.

系統(tǒng)(1)在非脆弱控制器(3)的作用下導出閉環(huán)系統(tǒng)(5)，t∈[-h,0],

(5)

本文設(shè)計如(3)的非脆弱控制器，使得(5)內(nèi)部穩(wěn)定，且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ，即滿足‖z(t)‖2<γ‖w(t)‖2,?0≠w(t)∈L2[0,∞).

(6)

引理2[9]給定矩陣Σ=ΣT，以及適當維數(shù)的矩陣H，E，則Σ+HFE+ETFTHT<0.對任意滿足FTF≤I的F成立的充要條件是存在ε>0，使得Σ+ε-1HHT+εETE<0.

2 主要結(jié)果

2.1時滯相關(guān)有界實條件

引理3給定γ>0并假設(shè)‖C‖+‖H1‖‖E3‖<1.如果存在n×n實矩陣P>0，R>0，Q1>0，Q2>0及M1，M2，Z1，Z2，Z3使得矩陣不等式(7)成立，

(7)

其中,

(8)

則系統(tǒng)(1)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ.

證明取Lyapunov-Krasovskii泛函

對V(t,xt)沿閉環(huán)系統(tǒng)(5)的軌線求導數(shù)，得到

(9)

由Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理知(5)內(nèi)部漸近穩(wěn)定.

2.2情形1的非脆弱H∞控制器設(shè)計

(10)

(11)

其中，

(12)

證明將不確定性矩陣(2)及(4)帶入矩陣不等式(7)，則(7)成為

(13)

其中，

兩次應用引理2有,

(14)

由Schur補引理，不等式(14)等價于

(15)

下面分兩步證明結(jié)論.首先，不等式(10)等價于式(15)，由于(14)與(15)等價，(14)成立就有(13)成立，即(7)成立；其次，若不等式(11)成立，就有不等式(8)亦真.

2.3情形2的非脆弱H∞控制器設(shè)計

對于情形2，類似于定理1 的證明，可得定理2.

(16)

說明定理1和定理2分別針對情形1和情形2給出了非脆弱H∞控制器的設(shè)計方法，只要給定定理的LMIs有解，就可以找到形如(3)的非脆弱控制器，這就是設(shè)計非脆弱控制器的過程.此外，G和P-1也都可以通過給定的LMIs來求解.

3 數(shù)值仿真

當h=0.8時，情形1和情形2兩種情況所獲得的非脆弱控制器增益矩陣K分別為：

4 結(jié)束語

本文研究了一類不確定中立型系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱控制問題.針對非脆弱控制器的乘性與加性兩種不確定形式，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法、Schur補引理和最近提出的積分不等式，給出了非脆弱控制器的設(shè)計方法.

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Delay-dependentNon-fragileControllerDesignforTimeDelayNeutralLinearSystems

LIU Mei-jing, MA Yue-chao

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004，China)

The problem of the delay-dependent non-fragile controller design for time delay neutral linear systems was studied.Both cases of non-fragile controller for multiplicative and additive were considered. By constructing appropriate Lyapunov functional, using Schur theory and the recently proposed integral inequality, the design method of non-fragile controller was obtained. By using the LMI of matlab, an illustrative example showed the effectiveness of the proposed method.

neutral systems; Lyapunov functional; linear matrix inequality(LMI); uncertainly; non-fragile control

TP 273

A

1671-6841(2011)03-0053-06

2010-04-07

國家自然科學基金資助項目，編號60974004.

劉美靜(1984-)，女，碩士研究生，主要從事廣義中立型系統(tǒng)研究，E-mail:liumeijing0315@126.com.