楊紅艷, 夏茂輝, 于 玲, 李海龍

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

基于LMI的隨機時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性分析

楊紅艷, 夏茂輝, 于 玲, 李海龍

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究了一類時變時滯與分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局漸近穩(wěn)定性，該模型考慮了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機擾動性.通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，以線性矩陣不等式的形式給出了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件.最后，數(shù)值算例說明了結(jié)果的正確性.

隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 分布時滯； 全局漸近穩(wěn)定； Lyapunov 泛函

0 引言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊結(jié)構(gòu)的動力系統(tǒng),已被成功地應(yīng)用到很多領(lǐng)域,如信號處理、非線性代數(shù)微分方程的求解.由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)常常受到隨機因素的干擾以及系統(tǒng)本身存在延時, 所以出現(xiàn)了隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.近年來，對隨機時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局穩(wěn)定性的研究已取得了一些有益的成果[1-2].

到目前為止，時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大部分工作是處理帶有分布時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題，由于軸突的大小和長度的不同，以及并行通道的存在，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有空間的特性，所以描述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型一般都引入沒有界限的時滯.許多學(xué)者對帶有分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很大的研究興趣.文獻[3-4]研究了含有無界分布時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性，然而隨機性在模型中沒有給于考慮.文獻[5]雖然引用了分布時滯，但分布時滯是有界的.在[6-10]的基礎(chǔ)上，研究了無界分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性.通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，結(jié)合不等式技巧，以線性矩陣不等式的形式，建立了帶有無界分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的新判據(jù).

1 預(yù)備知識

考慮含有微分積分系統(tǒng)的連續(xù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)

或者

(2)

其中，i=1,2,…,n,n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)細(xì)胞的個數(shù)，xi(t)是時刻t第i個神經(jīng)細(xì)胞的狀態(tài)，x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn,(x(t))=[1(t),2(t),…,n(t)]T∈Rn在時刻t第j個神經(jīng)細(xì)胞的激勵函數(shù)，D=diag(d1,d2,…,dn)>0是正對角矩陣，A=(aij)n×n,B=(bij)n×n,C=(cij)n×n分別是反饋矩陣、時滯反饋矩陣和反饋矩陣，I=(I1,I2,…,In)T是外部輸入向量，kij(s)在[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)有界且滿足是任意非負(fù)連續(xù)函數(shù)，并且滿足其中τ,u是已知常數(shù).

要求每個fj(j=1,2,…,n)是有界的并且滿足條件H.

系統(tǒng)(1)的初始條件xi(t)=?i(t),t∈[-τ,0],i=1,2,…,n,其中?i(t)是定義在[-τ,0]上的連續(xù)函數(shù).

y(t)=x(t)-x*,y(t-τ(t))=x(t-τ(t))-x*,

則系統(tǒng)(2)變成以下形式

(3)

由假設(shè)H我們得知對于每一gj(·)都滿足

H1gj(0)=0,

H2|gj(ζj)|≤Lj|ζj|,?ζj∈R,

H3gj2(ζj)≤Ljζjgj(ζj),?ζj∈R.

下面考慮如下一類帶有時變時滯和分布時滯的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中i=1,2,…,n;gj(yj)=j(yj+xj*)-gj(xj*);w(t)=(w1(t),w2(t),…,wn(t))T是定義在完備的概率空間(Ω,F,P)上具有{Ft}t≥0自然流的m維Brown運動，w(s):0≤w(s)≤t.σ(t,x,y):R+×R×R→Rn×m滿足Lipschitz連續(xù)和線性增長條件，σ(t,x*(t),x*(t-τ(t)))=0.

2 主要結(jié)果

Θ=(u-1)Q1+P2

證明選擇下面的Lyapunov 泛函

V(y(t),t)=V1(y(t),t)+V2(y(t),t)+V3(y(t),t)+V4(y(t),t);

其中,

V1(y(t),t)=yT(t)Py(t);

由此可以推出

LV(y(t),t)≤yT(t)[-2PD+P1+Q1]y(t)+2yT(t)PAg(y(t))+2yT(t)PBg(y(t-τ(t)))+

E)g(y(t))+2βgT(y(t))MBg(y(t-τ(t)))+

所以LV(y(t),t)≤ζT(t)Ξζ(t)+yT(t-τ(t))Θy(t-τ(t)).

Θ=(u-1)Q1+P2,

因此，對于系統(tǒng)模型(4)在任何狀態(tài)下保證LV(y(t),t)為負(fù)定的充分條件是Θ<0,Ξ<0,這就意味著系統(tǒng)(4)的平衡點是全局漸近穩(wěn)定.

當(dāng)定理1中β=1，易得到推論1.

推論1對于系統(tǒng)(4)，如果存在矩陣P=diag(pi)n×n>0,P1≥0,P2≥0,使得trace[σT(t,y(t),y(t-

Θ=(u-1)Q1+P2

推論2對于系統(tǒng)(3),如果存在正定矩陣P,Q1,Q2，正定對角矩陣M,E，以及β>0滿足Θ<0,Ξ<0，則系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定.其中,

Θ=(u-1)Q1

3 數(shù)值算例

考慮隨機無界分布時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4),并給出算例仿真實驗.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下

dy1(t)=[-3y1(t)-g1(y1(t))+0.5g2(y2(t))-0.5g1(y1(t-τ(t)))+

dy2(t)=[-4.5y2(t)+0.5g1(y1(t))-g2(y2(t))+0.1g1(y1(t-τ1(t)))-

(5)

其中,激勵函數(shù)gi(x)tanh(x),τ1(t)=0.6+0.5sint,τ2(t)=0.6+0.5cost,ki(t-s)=e-(t-s).時滯反饋矩陣A,B,C,D分別是

由定理1，應(yīng)用matlab的LMI工具箱,可以得到系統(tǒng)模型(5)是全局漸近穩(wěn)定的可行解

通過仿真圖圖1可以看出,系統(tǒng)模型(5)是全局漸近穩(wěn)定的.

圖1 隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性

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GlobalAsymptoticStabilityAnalysisofClassofStochasticDelayNeuralNetworks

YANG Hong-yan，XIA Mao-hui，YU Ling，LI Hai-long

(SchoolofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004，China)

Global asymptotic stability for a class of stochastic neural networks with time-varying delays and distributed delay was studied. By constructing suitable Lyapunov functionals and combining with matrix inequality technique, a simple sufficient condition was presented for global asymptotic stability in the mean square of stochastic neural networks with time-varying delays and distributed delay. By LMI toobox, it demonstrated the usefulness of the new proposed global asymptotic stability criteria.

stochastic neural networks; distributed delay; global asymptotic stability; Lyapunov functionals

TP 183

A

1671-6841(2011)03-0048-05

2010-07-10

燕山大學(xué)博士基金資助項目，編號B272.

楊紅艷(1982-),女，碩士研究生，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性研究,E-mail:yanghongyan3190845@163.com；通訊作者：夏茂輝(1964-),男,教授,主要從事無網(wǎng)格方法研究,E-mail:zhizihua666@126.com.