高艷花, 鐘曉珠,劉 娜, 李國(guó)琴,趙所所
(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)
帶有極大值項(xiàng)的奇階中立型差分方程的漸近性
高艷花, 鐘曉珠,劉 娜, 李國(guó)琴,趙所所
(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)
考慮了一類帶有極大值項(xiàng)的奇數(shù)階中立型差分方程的非振動(dòng)解的漸近性,得到了該類方程的解非振動(dòng)的一些充分條件,推廣了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.
奇數(shù)階中立型差分方程; 非振動(dòng)解; 極大值; 漸近性
考慮中立型差分方程
(1)
其中,{pn}是實(shí)數(shù)列,{qn}是非實(shí)數(shù)列.n∈N(n0)={n0,n0+1,…},l和k為正整數(shù),且k≥l,m為正奇數(shù),Δ=xn+1-xn.
當(dāng)m=1時(shí),方程(1)變?yōu)?/p>
(2)
對(duì)于方程(2)的振動(dòng)性及漸近性,文[1-2]得到了一些好的結(jié)果.當(dāng)m=2時(shí), 方程(1)為二階中立型差分方程,文[3-6]討論了此類方程的振動(dòng)性和漸近性.當(dāng)m>2時(shí),文[7]僅討論了方程解的振動(dòng)性問(wèn)題,也得到了一些充分條件.本文將討論m大于1的奇整數(shù)的情形下方程(1)的非振動(dòng)解的漸近性問(wèn)題.
方程(1)的解{xn}稱為非振動(dòng)的,如果{xn}最終為正或最終為負(fù);否則稱{xn}為振動(dòng)的,即{xn}既不最終為正也不最終為負(fù).
本文中,定義{zn}為
zn=xn+pnxn-k,
(3)
則方程(1)可變形為
(4)
引理1[5]若當(dāng)n≥n0時(shí),zn>0且Δmzn(≠0)是常號(hào)的,則存在整數(shù)i(0≤i≤m)滿足:當(dāng)Δmzn≤0時(shí),i+m為奇數(shù);當(dāng)Δmzn≥0時(shí),i+m為偶數(shù).并且,對(duì)充分大的n,
(i)當(dāng)i≤m-1時(shí),(-1)i+jΔjzn>0,i≤j≤m-1;
(ii)當(dāng)i≥1時(shí),Δjzn>0,1≤j≤i-1.
引理2[6]若存在常數(shù)p<0使得p 定理1假設(shè)下列條件滿足: H1pn≡1; 證明設(shè){xn}是方程(1)的最終正解,則zn=xn+xn-k>0.由(4)知Δmzn≤0成立,所以{Δm-1zn}為非增數(shù)列.因?yàn)閝n不恒等于0,所以Δmzn也不恒等于0. (5) (6) (7) 既然{Δm-1zn}為正的非增數(shù)列,則{Δm-1zn}必有正的下界.另一方面,H2意味著當(dāng)n→∞時(shí)(7)的右端式子趨于負(fù)無(wú)窮.因此有 (8) 對(duì)(4)從n1到n-1求和得 (9) 定理2假設(shè)下列條件滿足: H3-1≤p1≤pn≤0; 證明設(shè){xn}是方程(1)的最終正解,且(3)成立.由引理2可知zn滿足引理2中的(i)或(ii). xn+k=zn+k-pnxn≤α-p1xn≤α-p1M,N2≤n≤N2+k. 從而D=0. 定理3假設(shè)下列條件滿足: H5假設(shè)存在q,使0≤q≤qn; H6{pn}是有界非負(fù)實(shí)數(shù)列. 證明設(shè){xn}是方程(1)的最終正解,且(3)成立.則由H6知zn>0.由H5知Δmzn≤0,所以{Δm-1zn}為非增序列.對(duì)于Δm-1zn有以下兩種情形: (a)Δm-1zn→-∞,n→∞. (b)Δm-1zn≥0.且Δm-1zn→L,其中L是有限實(shí)數(shù).(L>0,L<0,L=0). 若(a)成立,則存在n2≥n0使Δm-1zn2≤0.當(dāng)n>n2時(shí) Δm-1zn<Δm-1zn2≤0, (10) 定理4假設(shè)下列條件滿足: H7存在常數(shù)p∈[0,1],使0 再設(shè){xn}是方程(1)的一個(gè)最終負(fù)解,同樣可知結(jié)果成立. 定理5假設(shè)下列條件滿足: H10pn≡0, (a*)Δm-2xn→+∞,n→∞; (b*)Δm-2xn→L*,n→∞.其中L*是有限實(shí)數(shù). 類似引理2的討論,我們可得到:情形(a*)不真而情形(b*)為真且L*=0.類似上面的過(guò)程,可得 [1] 羅交晚,劉正榮,俞元洪.帶有極大值項(xiàng)的中立型差分方程的振動(dòng)性和非振動(dòng)性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,25(3):385-391. [2] 范彩霞,趙愛(ài)民.帶有極大值項(xiàng)的中立型差分方程解的振動(dòng)性[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,28(1):5-7. [3] 劉召爽,李巧鑾.含最大值項(xiàng)二階中立型差分方程的漸近性[J].?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論,2006,2(26):191-198. [4] Luo J W, Bainov D D.Oscillatory and asymptotic behavior of second-order neutral difference equations with maxima [J].Computational and Applied Mathematics,2001,131(1/2):333-341. [5] 張廣,高英.差分方程的振動(dòng)理論[M].北京:高等教育出版社,2001. [6] 劉一龍,楊甲山.一類二階超線性中立型時(shí)滯差分方程的有界振動(dòng)性[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2008,40(2):24-28. [7] 周效良,高學(xué)亮.帶有最大值項(xiàng)的高階中立型差分方程的振動(dòng)性[J].?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(11):173-177. SomeAsymptoticalPropertiesofOddOrderNeutralDifferenceEquationswithMaxima GAO Yan-hua,ZHONG Xiao-zhu,LIU Na,LI Guo-qin,ZHAO Suo-suo (SchoolofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China) The asymptotical properties of all non-oscillatory solutions of a class of odd order neutral difference equations with maxima were studied.Some sufficient conditions for all solutions to be non-oscillatory were obtained.Thus, the existing literature conclusions were improved and extended. odd order neutral difference equation; non-oscillatory solution; maxima; asymptotical properties O 175.7 A 1671-6841(2011)03-0027-04 2010-06-17 河北省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目,編號(hào)Z2007431. 高艷花(1982-),女,碩士研究生,主要從事差分方程理論研究,E-mail:gaoyanhuagao@163.com.2 主要結(jié)論及證明