寧小虎，田乃碩，原小娟，趙 媛，徐利花

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

延遲產(chǎn)品分化的離散時(shí)間排隊(duì)模型

寧小虎，田乃碩，原小娟，趙 媛，徐利花

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究了一個(gè)延遲產(chǎn)品分化的生產(chǎn)系統(tǒng)，供應(yīng)商在MTS系統(tǒng)的基礎(chǔ)上為制造商提供半成品，當(dāng)收到客戶訂單時(shí)，制造商再在MTO系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過定制半成品來滿足客戶的需求.供應(yīng)商生產(chǎn)半成品所花費(fèi)的時(shí)間占總生產(chǎn)時(shí)間的比例將決定半成品適應(yīng)客戶需求的程度，制造商希望決定最佳的產(chǎn)品分化點(diǎn)和半成品緩沖區(qū)大小.利用擬生滅過程和矩陣幾何解得到這個(gè)系統(tǒng)的性能指標(biāo)，并且給出優(yōu)化策略，通過系統(tǒng)仿真得到優(yōu)化結(jié)果.

延遲產(chǎn)品分化； 分化點(diǎn)； 半成品緩沖區(qū)； 擬生滅過程； 矩陣幾何解

0 引言

在當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)中，制造商們都采用兩種策略來滿足客戶的需求：一是資源型模式(make-to-stock，MTS系統(tǒng))，這種系統(tǒng)雖然能在短時(shí)間內(nèi)滿足客戶的訂單需求，但是，由于產(chǎn)品生命周期短、需求多樣化等原因會使庫存風(fēng)險(xiǎn)增大；二是訂單型模式(make-to-order，MTO系統(tǒng))，這種系統(tǒng)可以滿足客戶多樣化的訂單需求，并且有較小的庫存風(fēng)險(xiǎn)，但是，它需要一個(gè)較長的產(chǎn)品交貨時(shí)間.而延遲產(chǎn)品分化模式(delayed-product-differentiation，DPD系統(tǒng))是一種混合型的策略，產(chǎn)品的一部分是通過MTS系統(tǒng)完成的，當(dāng)一個(gè)客戶訂單到來時(shí)，制造商再通過MTO系統(tǒng)來完成整個(gè)產(chǎn)品.與MTS和MTO系統(tǒng)相比，這種系統(tǒng)可以縮短產(chǎn)品的交貨時(shí)間和保持一個(gè)適度容量的庫存，并且能夠增強(qiáng)企業(yè)對于市場變化的適應(yīng)性.然而，在實(shí)施的過程中，它會引起潛在費(fèi)用的增加，同時(shí)使得滿足客戶需求的情況復(fù)雜化.

文[1-2]分析了庫存費(fèi)用和重新設(shè)計(jì)流程費(fèi)用的優(yōu)化問題，文[3]則構(gòu)造了一個(gè)普通的排隊(duì)模型來分析MTS、MTO和DPD系統(tǒng)，并測試了在多重排隊(duì)系統(tǒng)中的最佳分化點(diǎn).最近，文[4]對DPD系統(tǒng)做了進(jìn)一步研究，在模型中加入市場特征，并用一個(gè)連續(xù)時(shí)間排隊(duì)模型分析了DPD系統(tǒng)對客戶延遲服務(wù)和庫存風(fēng)險(xiǎn)的影響程度.然而，至今還沒有利用離散時(shí)間排隊(duì)模型研究DPD系統(tǒng)的報(bào)道.本文將建立一個(gè)離散時(shí)間排隊(duì)模型來評估DPD系統(tǒng)的性能指標(biāo)，并測試最佳的分化點(diǎn)和半成品緩沖區(qū)大小.與以往的研究相比，離散時(shí)間排隊(duì)模型的應(yīng)用更符合生產(chǎn)系統(tǒng)的實(shí)際情況，而且在庫存優(yōu)化管理及成本節(jié)約等方面有很大的改進(jìn).

1 模型描述

我們考慮DPD系統(tǒng)，該模型可以描述為：

2)設(shè)供應(yīng)商擁有無窮的原材料并且為制造商提供相同的半成品，而制造商卻有一個(gè)受限制的半成品庫存容量k.客戶到來時(shí)，如果庫存中有半成品則直接開始服務(wù)，若庫存中沒有半成品則需等待直到供應(yīng)商提供半成品后才開始服務(wù).當(dāng)制造商的庫存量為k時(shí)，供應(yīng)商不再提供半成品，只有當(dāng)制造商的庫存量不足k時(shí)，供應(yīng)商才提供半成品，且供貨只發(fā)生在時(shí)刻n-上.

4)當(dāng)產(chǎn)品的大部分由供應(yīng)商完成時(shí)，則最終產(chǎn)品很可能不太符合客戶的訂單需求，因此，設(shè)φ是半成品不符合客戶需求的可能性，那么φ的值可以被認(rèn)為是產(chǎn)品市場的一個(gè)特性，φ的值大表明客戶對完工產(chǎn)品的滿意度很低，而φ的值小則表明客戶對完工產(chǎn)品的滿意度很高.因?yàn)棣针Sθ單調(diào)遞增，所以φ可以有一系列的數(shù)字表示，如φ=dθn，n≥1,0

5)假設(shè)到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且模型服從先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則.

2 模型分析

其中，B,C,A0,A1,A2都是(k+1)×(k+1)的矩陣.

2.1穩(wěn)態(tài)條件

令A(yù)=A0+A1+A2，則

那么A是k+1階的隨機(jī)陣.設(shè)x={x0,x1,…,xk}是A的平穩(wěn)概率向量，則x滿足

xA=x,xe=1,

(1)

2.2穩(wěn)態(tài)分布和性能指標(biāo)

其中R稱為率陣，因?yàn)樗木_計(jì)算過程十分復(fù)雜，所以我們采用數(shù)值迭代算法來近似計(jì)算率陣R，其中迭代公式為Rn+1=A0(I-A1-RnA2)-1,n≥0，取初值R0=0，利用這一迭代公式就可以求出率陣R，即Rn收斂于R，然后通過|Rn+1-Rn|ij<10-3檢驗(yàn)近似計(jì)算率陣R的精度.最后我們得到了以下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：

1)系統(tǒng)中客戶等待平均隊(duì)長E(L)=π1(I-R)-2e.

E(L)=X′(1)=π1(I-R)-2e.

3)系統(tǒng)中半成品平均數(shù)量E(S)=π0(I-R)-1V,V=[0,1,2,…,k]T.

3 數(shù)值算例

為了更好地理解DPD系統(tǒng)，我們舉例說明實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需延遲平均時(shí)間E(W)、半成品平均數(shù)量E(S)和單位時(shí)間內(nèi)不適合的半成品平均數(shù)量E(U)隨k和θ的變化情況，所得結(jié)果將用matlab作圖驗(yàn)證.給定系統(tǒng)的參數(shù)值：λ=0.25，μ=0.3，φ=0.5θ，δ=θ.

圖1中，當(dāng)θ的值比較小時(shí)，實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需的延遲比較大.這是因?yàn)椋M管供應(yīng)商提供了充足的、合適的半成品，但是產(chǎn)品的大部分是由制造商完成的，最終的產(chǎn)品不可能很快地滿足客戶的需求.隨著θ值的增大，則產(chǎn)品的大部分工作由供應(yīng)商來完成，這時(shí)盡管供應(yīng)商的供應(yīng)率在減小，不適合產(chǎn)品率也在增加，但是這樣的損失會被制造商很高的客戶服務(wù)率所彌補(bǔ)，所以，這時(shí)實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需的延遲會減小.在θ的變化范圍內(nèi)，k值增大對實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需的延遲沒有顯著影響，這就是離散時(shí)間排隊(duì)模型較于以往研究的優(yōu)勢，制造商的庫存只要保持一個(gè)適度的量，就可以在一定程度上實(shí)現(xiàn)減少客戶訂單所需延遲的目標(biāo).對于一個(gè)給定的θ，隨著k的增加，單位時(shí)間內(nèi)不適合半成品的平均數(shù)量在增加(見圖2).當(dāng)θ逐漸增加時(shí)，供應(yīng)商提供的合適的半成品數(shù)量也在減少，這影響到了圖3的半成品庫存量.

一個(gè)基于排隊(duì)模型的DPD系統(tǒng)不僅表明了θ和k的相互關(guān)系，而且要求制造商必須在有多少工作應(yīng)由供應(yīng)商完成和半成品緩沖區(qū)應(yīng)有多大之間找到一個(gè)平衡，以使實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需的延遲最小.

4 制造商的最佳選擇問題

下面舉例說明TC(θ,k)是如何隨θ和k變化的.假設(shè)Ch=Cw=Cu=Cc=1.0,V(θ)=10θ,λ=0.25,μ=0.3,φ=0.5θ,δ=θ,τ=0.05,0<θ<1,k=0,1,….由圖4可以得到最佳的分化點(diǎn)和半成品緩沖區(qū)大小是(θ*,k*)=(0.418,2)，制造商花費(fèi)的最少的總成本費(fèi)用是TC(θ*,k*)=9.141 5.

圖1 系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)客戶訂單所需延遲平均時(shí)間Fig.1 Expected customer order fulfillment delay

圖2 單位時(shí)間不適合半成品的平均數(shù)量Fig.2 Expected number of unsuitable items produced per unit time

圖3 系統(tǒng)中半成品平均數(shù)量Fig.3 Expected semi-finished goods inventory

圖4 制造商花費(fèi)的總成本Fig.4 TC(θ,k)for various k

5 結(jié)束語

本文建立優(yōu)化模型來幫助我們理解延遲產(chǎn)品分化是如何影響客戶延遲和庫存風(fēng)險(xiǎn)的，并利用一個(gè)排隊(duì)模型來研究不同參數(shù)變化下DPD系統(tǒng)的性能指標(biāo)，最終測試了最佳的分化點(diǎn)和半成品緩沖區(qū)大小.DPD系統(tǒng)的研究是有意義的，因?yàn)槊舾锌蛻羰侨绾味x完工產(chǎn)品，什么樣的需求水平是客戶可以接受的，供應(yīng)商提供合適產(chǎn)品的能力如何等等這些問題對于制造商而言都是值得考慮的.

[1] Aviv Y,Federgruen A.Design for postponement:a comprehensive characterization of its benefits under unknown demand distribution[J].Operations Research, 2001, 49 (4):578-598.

[2] Aviv Y, Federgruen A.Capacitated multi-item inventory systems with random and seasonally fluctuating demands:Implications for postponement strategies[J].Management Science, 2001, 47 (4):512-531.

[3] Gupta D, Benjaafar S.Make-to-order,make-to-stock, or delay product differentiation?A common framework for modeling and analysis[J].IIE Transactions, 2004, 36(6):529-546.

[4] Elizabeth M J, Attahiru S A.A queueing model of delayed product differentiation[J].European Journal of Operation Research, 2009,199(3):734-743.

[5] 田乃碩, 徐秀麗, 馬占友.離散時(shí)間排隊(duì)論[M].北京:科學(xué)出版社, 2008:141-147.

[6] Li Jihong, Tian Naishuo.Analysis of the discrete time Geo/Geo/1 queue with single working vacation[J].Quality Technology and Quantitative Management, 2008, 5(1):77-89.

[7] Tian N S, Zhang Z G.A two threshold vacation policy in multiserver queueing systems[J].European Journal of Operational Research, 2006,168 (1):153-163.

[8] Liu Wenyuan,Xu Xiuli,Tian Naishuo.Stochastic decompositions in theM/M/1 queue with working vacations[J].Operation Research Letters, 2007,35 (5):595-600.

[9] 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng) [M].北京:北京大學(xué)出版社, 2001:256-320.

DiscreteTimeQueueingModelofDelayedProductDifferentiation

NING Xiao-hu, TIAN Nai-shuo, YUAN Xiao-juan, ZHAO Yuan, XU Li-hua

(SchoolofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

A production system of delayed product differentiation was studied. The supplier produced semi-finished items on the MTS basis for a manufacturer that would customize the items on a MTO basis after a customer order was placed.The proportion of total processing time undertaken by the supplier determined how suitable the semi-finished items met the customer demand.The manufacturer needed to determine the optimal point of differentiation and its optimal semi-finished goods buffer size.Various performance measures for this system were evaluated by using the quasi birth and death process and matrix geometric solution. A strategy was designed to optimize the system, and the optimization results were got by system simulation.

delayed product differentiation; point of differentiation; semi-finished goods buffer size; quasi birth and death process; matrix geometric solution

O 226

A

1671-6841(2011)03-0011-05

2010-06-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號10671170.

寧小虎(1986-),男, 碩士研究生, 主要從事排隊(duì)論研究,E-mail:xiaohu134@163.com.