盧國云，徐秀麗，王繼利，劉春平

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

帶單重工作休假和休假中斷的M/G/1排隊系統(tǒng)

盧國云，徐秀麗，王繼利，劉春平

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究單重工作休假和休假中斷的M/G/1排隊系統(tǒng),得到了其嵌入Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，采用M/G/1型結(jié)構(gòu)矩陣解析法，得到離去時刻穩(wěn)態(tài)隊長的母函數(shù)的解析表達式.采用經(jīng)典隨機分解方法，給出了隊長的條件隨機分解結(jié)構(gòu)、條件等待時間的隨機分解結(jié)果、穩(wěn)態(tài)等待時間的LST變換及穩(wěn)態(tài)下平均等待時間等性能指標.給出數(shù)值例子，并討論了系統(tǒng)參數(shù)對幾個主要性能指標的影響，從而驗證了理論分析的合理性和有效性.

單重工作休假； 休假中斷；M/G/1型矩陣； 隨機分解

0 引言

現(xiàn)實生活中有很多休假排隊，在休假時服務(wù)員不是完全停止工作，而是以一個比正常服務(wù)率相對低一些的服務(wù)率工作，這樣的休假制度稱為工作休假.目前工作休假排隊系統(tǒng)，是國內(nèi)外專家研究的重點[1-3].文獻[4]提出了休假中斷策略，考慮了具有離散時間的GI/Geo/1的多種工作休假及休假終止模型.

目前，研究單重工作休假排隊模型的不多，本文研究的是帶有單重工作休假和休假中斷策略的M/G/1排隊系統(tǒng).當(dāng)系統(tǒng)處于休假期，一旦有新顧客到達，以低速服務(wù)顧客，顧客離去后仍有顧客，則休假中斷，回到正常工作期，以高速率服務(wù)其他顧客.它的應(yīng)用背景在于設(shè)置了低速運行期，從而減少運營成本降低能源消耗，考慮了休假中斷策略，增強了系統(tǒng)的應(yīng)急能力，而且在多重工作休假的基礎(chǔ)上，縮短了休假時間，增加了系統(tǒng)閑期，以便接待隨時到達的顧客，提高系統(tǒng)收益和顧客滿意率.此外，本文使用隨機分解理論給出了帶單重工作休假和休假中斷排隊的M/G/1排隊及經(jīng)典休假M/G/1排隊的關(guān)系，豐富了工作休假排隊理論.

1 模型描述與嵌入Markov鏈

在一個到達率為λ服務(wù)率為μb的經(jīng)典M/G/1排隊系統(tǒng)中，同時引入單重工作休假和休假中斷策略.當(dāng)一次服務(wù)完成，系統(tǒng)變空時，服務(wù)員開始長度為V的休假，V服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.如果在休假期內(nèi)有顧客到達，服務(wù)員將以服務(wù)率μv接待顧客，而非完全停止服務(wù).當(dāng)休假期間的一個顧客服務(wù)完成，系統(tǒng)中仍有顧客，則服務(wù)員立即結(jié)束休假，以正常速率μb(μv<μb)服務(wù)其他顧客，即休假中斷發(fā)生,否則服務(wù)員繼續(xù)休假.同時，若休假結(jié)束系統(tǒng)中無顧客，服務(wù)員進入通常的閑期，直到有新顧客到達，以服務(wù)率μb開始一個正規(guī)忙期.此模型記為M/G/1(SWV,VI)模型,模型描述如下:

2)休假期間內(nèi)的服務(wù)時間Sv獨立同分布, 具有一般分布函數(shù)Gv(x),且設(shè)LST變換，均值和k階矩分別為:

3)假設(shè)到達時間間隔、工作休假時間、正常服務(wù)期內(nèi)的服務(wù)時間和工作休假期內(nèi)的服務(wù)時間彼此獨立，且遵循FCFO的服務(wù)規(guī)則.

其中，bk(dk)表示V>Sv(V=Sv)，且在一次休假服務(wù)時間Sv內(nèi)到達k個顧客的概率；vk表示V

因此，{bk,k≥0}，{vk,k≥0}和{dk,k≥0}是不完全概率分布,且有

顯然,

為考慮狀態(tài)0向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況，引入記號α，α=P{V>T}，其中T表示到達間隔.

首先，考慮第n次顧客離去后瞬間系統(tǒng)中有顧客，則其轉(zhuǎn)移情況同無休假M/G/1排隊，有

P{Ln=m-1+j|Ln=m}=aj,j≥0,m≥1.

下面考慮狀態(tài)0的轉(zhuǎn)移情況

當(dāng)V>T時，有3種情況造成離去時刻從狀態(tài)0轉(zhuǎn)移到j(luò)：(i)V>Sv，且在一次休假服務(wù)時間Sv內(nèi)到達j個顧客；(ii)V

當(dāng)V

P{Ln=j|Ln=0}=(1-α)aj+α(bj+cj+dj),j≥0.

2 穩(wěn)態(tài)隊長及隨機分解

(1)

下面給出穩(wěn)態(tài)隊長的母函數(shù).

定理1當(dāng)ρ<1時，離去時刻的穩(wěn)態(tài)隊長的母函數(shù)為

L(z)=K(1-ρ){z[(1-α)A(z)+α(B(z)+C(z)+D(z))]-A(z)}/[z-A(z)],

(2)

證明對πk(k≥0)取母函數(shù)，且由(1)式有

進而得

L(z)=π0{z[(1-α)A(z)+α(B(z)+C(z)+D(z))]-A(z)}/[z-A(z)].

(3)

由正規(guī)化條件L(1)=1，可得

將π0代入(3)式，引入記號K，定理得證.

定理2若ρ<1，離去時刻穩(wěn)態(tài)隊長L可以分解成兩個隨機變量之和L=L0+Ld，其中L0為經(jīng)典M/G/1排隊在離去時刻的穩(wěn)態(tài)隊長,附加隊長Ld的母函數(shù)表達式為Ld(z)=[1-Ψ(z)]/[Ψ′(1)(1-z)],其中,

Ψ(z)=z[(1-α)A(z)+α(B(z)+C(z)+D(z))]/A(z).

3 等待時間的隨機分解

定義S=0或1，取決于任一顧客以休假服務(wù)率服務(wù)完成或正常速率服務(wù)完成，在下面的穩(wěn)態(tài)等待時間隨機分解中，將用到處于這兩種狀態(tài)的概率，因此，我們給出

Pb=P{S=1}=1-Pv

當(dāng)顧客以正常服務(wù)速率服務(wù)完成時，剩余顧客即為此顧客等待時間Wb和正常服務(wù)時間Sb到達的顧客.因此，有

(4)

由條件概率可得

因此，任一顧客的穩(wěn)態(tài)等待時間W的LST變換為:

4 數(shù)值例子

圖1 M/(M1,M2)/1(SWV,VI)系統(tǒng)中E(L)隨μv的變化趨勢Fig.1 The curves of E(L)with the change of μv in the M/(M1,M2)/1(SWV,VI)model

通過分析，我們得到了平均穩(wěn)態(tài)隊長、平均等待時間的表達式.對于不同的系統(tǒng)，參數(shù)不同.當(dāng)然，改變參數(shù)，例如降低服務(wù)速率μv，就會影響模型的隊長、等待時間等.所以，我們給出一些具體情況下的數(shù)值例子來說明模型可以有效地代表一些實際問題.

從圖1可看出，在3種不同的休假率θ下，平均隊長隨休假服務(wù)率μv的增大而減小；固定μv及其他特征，平均隊長隨θ的增大而減小，這是符合實際情形的.

而在實際問題中，為使系統(tǒng)性能更好，需選用不同的休假策略，在此，以兩種模型M/(M1,M2)/1(SWV,VI)和M/(M1,E2)/1(SWV,VI)對比，由圖2形象的給出了休假服務(wù)率μv對平均隊長及平均等待時間的影響.

圖2 不同模型的對比Fig.2 The comparison of different models

從圖2中可以分析出增大休假服務(wù)率μv，可以減少系統(tǒng)中聚集的顧客數(shù)以及等待時間，節(jié)省資源，達到充分利用的目的，同時給出了服從不同時間分布的平均隊長的對比.例子說明，根據(jù)實際情形，設(shè)置不同的休假策略，再適當(dāng)改變μv,ρ(θ)的值，可以使系統(tǒng)性能提升.

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[2] Servi L D, Finn S G.M/M/1 queue with working vacations (M/M/1/WV)[J].Perform Evaluation,2002, 50(1):41-52.

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[4] Li Jihong,Tian Naishuo.The discrete-time GI/Geo/1 queue with working vacation and vacation interruption[J].Applied Mathematics and Computation,2007,185(1):1-10.

[5] Neuts M.Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models[M].Baltimore:Johns Hopkins University Press, 1981:40-65.

[6] Shanthikumar T.On stochastic decomposition inM/G/1 type queues with generalized server vacations[J].Oper Res,1988,36(4):566-569.

M/G/1QueuewithSingleWorkingVacationandVacationInterruption

LU Guo-yun, XU Xiu-li, WANG Ji-li, LIU Chun-ping

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

AnM/G/1 queue system with a single working vacation and working interruption was studied.AnM/G/1-type transition probability matrix of the embedded Markov chain was obtained.And using theM/G/1-type matrix analysis method, the PGF of the stationary queue length for the customers at departure epochs was derived.By the classic stochastic decomposition solution, the stochastic decomposition results of the stationary queue length and the conditional waiting time were presented.And some performance measures of the system such as the LST of the stationary waiting time and the expected waiting time were also obtained.Numerical examples were presented to show the influence of the system parametes on several main performance characteristics,and the rationality and the effectiveness of the theoretical analysis were proved.

single working vacation; vacation interruption;M/G/1-type matrix; stochastic decomposition

O 226

A

1671-6841(2011)03-0006-05

2010-05-31

國家自然科學(xué)基金資助項目，編號10671170；河北省自然科學(xué)基金資助項目，編號F2008000864.

盧國云(1984-)，女，碩士研究生，主要從事排隊論研究，E-mail:luguoyun114@126.com.