劉軼中，李物蘭，方春華，曾 誠

(1.貴州大學理學院數(shù)學系，中國 貴陽 550025；2.溫州醫(yī)學院信息與工程學院，中國 溫州 325035；3.湖南理工學院數(shù)學學院，中國 岳陽 414006；4.貴陽學院數(shù)學系，中國 貴陽 550005)

現(xiàn)實生活中各種波動現(xiàn)象或振動現(xiàn)象，諸如電磁波的波動過程，水波、聲波等各種機械波的波動過程，弦的振動過程等，都可以用雙曲型偏微分方程來表示．因為這類客體的量變規(guī)律具有共性，它們在適當條件下都可以抽象成理想化的狀態(tài)，雙曲型偏微分方程恰好提供了在理想化狀態(tài)下處理該類客體中各種量之間相互依存及發(fā)展變化的模式．因此求解雙曲型方程具有重大的理論意義和現(xiàn)實意義．

本文針對下述雙曲型方程的初邊值問題：

(1)

此方程是雙曲型方程的典型形式，不少其他雙曲型方程均可化為這種典型形式的方程或方程組，故而這種方程盡管簡單，但卻不失代表性．數(shù)學工作者們已在其求解方面做了大量工作，構造了大量求解此方程的差分格式[1-6]．本文構造了一類含參數(shù)的半顯差分格式，其優(yōu)點在于通過調節(jié)參數(shù)，可得一系列的穩(wěn)定性好、精度比已知算法都高的結果．

1 構造差分格式

(2)

選擇參數(shù)c、d1、d2、d3滿足方程組：

(3)

解得

(4)

令d=c+rd3，得逼近(1)的半顯差分格式：

(5)

其截斷誤差為

(6)

(7)

當r=1時，?d，差分格式(5)可化為：

(8)

當r=-1時，?d，差分格式(5)可化為：

(9)

(10)

(11)

綜上所述，得：

定理1差分格式(5)的精度一般為：

2 穩(wěn)定性分析

對于差分格式(5)的穩(wěn)定性分析，用Fourier變換[7]，有：

|1-d+d(cosθ+isinθ)|2=|1-d(1-cosθ)+idsinθ|2=1-2d(1-d)(1-cosθ)≥

(2+r-3d)(1-cosθ)3.

從而有

等價于

或

由(i)、(ii)可得

由此有如下定理：

3 實驗報告

3.1 實驗目的及要求

(1)有效求解雙曲型方程；(2)通過編程實例計算，驗證理論分析的正確性．

3.2 實驗(或算法)設計(上已敘述,略)

3.3 實驗硬件及軟件平臺

(1)硬件平臺：貴州大學理學院數(shù)學系應用數(shù)學與建筑力學實驗室的方正電腦．

(2)軟件平臺：VC6.0．

3.4 實驗步驟和實驗內容

(1)編寫程序(略)．

(2)具體數(shù)例：考慮雙曲型方程的初邊值問題

3.5 實驗結果與討論

(1)實驗結果

表1 差分格式(5)的誤差(r=1.8、h=0.01、d=0.94、n=15 000)

表2 差分格式(9)的誤差(r=1.9、h=0.01、d=0.975、n=15 000)

表3 差分格式(10)的誤差(r=1、h=0.01、d=-3、n=15 000)

(2)實驗討論

從以上數(shù)值例子可以看出：本文算法的計算過程具有長時間的穩(wěn)定性且精度比已知的算法都高．由此表明理論分析是正確的，格式是有效的．當r<0時，情況類似，略．

參考文獻：

[1] 童小嬌．解一階雙曲型方程的高精度差分格式[J]．長沙水電師院學報，1992，7(2)：147-150．

[2] 朱景輝．雙曲型方程初邊值問題的高精度差分格式[J]．廈門大學學報：自然科學版，1992，31(3)：306-308．

[3] 萬正蘇，陳光南．一維線性雙曲方程初邊值問題的高階差分格式[J]．數(shù)值計算與計算機應用，2003，24(1)：8-17．

[4] 劉軼中，張大凱．雙曲型方程的一類三層五點高精度顯格式[J]．貴州大學學報：自然科學版，2006，23(2)：134-138．

[5] 馬維元．解雙曲方程的一種高精度加權差分格式[J]．甘肅聯(lián)合大學學報：自然科學版，2009，23(4)：32-33．

[6] 方春華，董應珍．雙曲型方程的一類高精度帶參數(shù)差分格式[J]．湖南理工學院學報：自然科學版，2010，23(2)：14-16．

[7] 李榮華，劉 播．微分方程數(shù)值解法[M]．北京：高等教育出版社，2009.