官云蘭 劉紹堂 周世健 張立亭 魯鐵定

(1)東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，撫州 344000 2)河南工程學(xué)院土木工程系，鄭州 451191 3)江西省科學(xué)院，南昌330029)

基于整體最小二乘的穩(wěn)健點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合*

官云蘭1)劉紹堂2)周世健1，3)張立亭1)魯鐵定1)

(1)東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，撫州 344000 2)河南工程學(xué)院土木工程系，鄭州 451191 3)江西省科學(xué)院，南昌330029)

針對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法沒(méi)有完整考慮測(cè)量數(shù)據(jù)中的誤差及系數(shù)陣中誤差的情況，提出穩(wěn)健整體最小二乘點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法。該法以整體最小二乘法為基礎(chǔ)，在考慮全部觀測(cè)量存在誤差的情況下，通過(guò)一定的準(zhǔn)則刪除數(shù)據(jù)中的粗差或異常值，從而獲得穩(wěn)健的平面參數(shù)估值。實(shí)驗(yàn)中，分別利用最小二乘法、特征值法和穩(wěn)健整體最小二乘擬合法對(duì)仿真點(diǎn)云數(shù)據(jù)和真實(shí)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合，結(jié)果顯示該法能克服異常值的影響，得到可靠的平面參數(shù)估值，具有穩(wěn)健性。

點(diǎn)云數(shù)據(jù);整體最小二乘;平面擬合;異常值;穩(wěn)健性

1 引言

地面三維激光掃描是一種新型的空間數(shù)據(jù)獲取技術(shù)，利用它可以對(duì)實(shí)物進(jìn)行數(shù)字化，快速獲取物體表面大量點(diǎn)的三維坐標(biāo)，稱(chēng)為點(diǎn)云數(shù)據(jù)，從而迅速描繪和量化復(fù)雜環(huán)境。該技術(shù)為快速獲取空間數(shù)據(jù)提供了有效手段［1］。利用點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行建模也成為許多3D建模研究人員關(guān)注的問(wèn)題之一。

平面擬合是地面三維激光掃描數(shù)據(jù)處理中的常用步驟之一，通過(guò)平面擬合不僅可以實(shí)現(xiàn)平面標(biāo)靶的定位，從而完成基于平面標(biāo)靶的多視點(diǎn)云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)，也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)場(chǎng)景中平面特征的建模。眾多學(xué)者［2-5］對(duì)從點(diǎn)云數(shù)據(jù)中提取平面特征進(jìn)行了研究，包括最小二乘法、特征值法等。最小二乘法在假設(shè)x、y為獨(dú)立變量，不含誤差，而z為依賴(lài)變量，包含誤差的情況下解算平面參數(shù)，但由于點(diǎn)云數(shù)據(jù)獲取時(shí)x、y、z 3個(gè)方向均存在誤差，因此嚴(yán)格來(lái)說(shuō)最小二乘法并不適合于點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合的解算;特征值法是在滿(mǎn)足條件a2+b2+c2=1情況下，根據(jù)平面方程ax+bY+cz=d計(jì)算平面參數(shù)，這種方法僅根據(jù)x、y、z 3個(gè)方向誤差的整體組合解算平面參數(shù)，并未單獨(dú)考慮各方向的誤差影響。文獻(xiàn)［5］在特征值算法的基礎(chǔ)上，以最小二乘法為原則，提出了穩(wěn)健的平面擬合算法。本文則在考慮點(diǎn)云數(shù)據(jù)在x、y、z 3個(gè)方向上均有誤差、同時(shí)數(shù)據(jù)中存在粗差或異常值的情況下，提出基于整體最小二乘的穩(wěn)健點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合算法。

2 整體最小二乘平面擬合

設(shè)空間平面方程為

其中a、b、c為待估參數(shù)。

設(shè)對(duì)某一平面進(jìn)行掃描，得到n個(gè)掃描點(diǎn)坐標(biāo){(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n}?？紤]到數(shù)據(jù)在x、y、z 3個(gè)方向均存在誤差，則方程改為：

其中vx、vy、vz分別為x、y、z 3個(gè)方向的誤差改正數(shù)。

將上式整理，可得

式中EA、EL分別表示矩陣A和向量L的誤差，即

通常采用矩陣奇異值分解(SVD)解算待定參數(shù)的整體最小二乘解［6-8］。

其中

則參數(shù)的整體最小二乘估值為：

殘差矩陣為：

單位權(quán)中誤差為：

也可以采用如下公式進(jìn)行計(jì)算［9］：

其中σ3為增廣矩陣［A L］的最小特征值。

3 異常點(diǎn)的刪除

在利用地面激光掃描系統(tǒng)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行掃描時(shí)，由于各種因素影響，如掃描時(shí)行人通過(guò)、樹(shù)木遮擋等，必然使得獲取的點(diǎn)云數(shù)據(jù)存在異常點(diǎn)。因此為了提高擬合精度，在采用整體最小二乘法解算時(shí)，還需要去除點(diǎn)云數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)，以獲取穩(wěn)健的平面參數(shù)a、b、c的估計(jì)值。具體算法如下：

1)利用整體最小二乘法計(jì)算a、b、c的初始值;

2)根據(jù)計(jì)算出的a、b、c值，采用

計(jì)算每個(gè)點(diǎn)至擬合平面的距離di;

3)利用

計(jì)算距離di的標(biāo)準(zhǔn)偏差。其中：

4)當(dāng)di＞2σ時(shí)，此點(diǎn)被認(rèn)為是異常點(diǎn)，刪除;反之，保留;

5)利用所有保留下來(lái)的點(diǎn)通過(guò)整體最小二乘重新計(jì)算參數(shù)a、b、c，即可獲得最佳平面參數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本算法的可靠性和穩(wěn)健性，首先采用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。設(shè)要擬合的空間平面方程為

利用Matlab［10］從此平面上隨機(jī)抽取1 000個(gè)點(diǎn)(圖1)，并通過(guò)Matlab編程，利用最小二乘法、特征值法及穩(wěn)健整體最小二乘法對(duì)上述仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，表1為計(jì)算結(jié)果。

當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)(人為地使其中的8個(gè)點(diǎn)成為異常點(diǎn)(圖2，小圈圈出的表示異常點(diǎn)))的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

通過(guò)表1、2可以看出：當(dāng)數(shù)據(jù)不存在異常值時(shí)，3種方法計(jì)算結(jié)果基本一致，本文方法精度最高;當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)，本文方法最準(zhǔn)確且精度最高。

圖1 模擬平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)Fig.1 Simulated plane point clouds

表1 模擬平面參數(shù)的設(shè)定值及各種方法的參數(shù)估值(不含異常值的結(jié)果)Tab.1 Parameters of simulated plane and its estimated values(without outliers)

圖2 具有異常點(diǎn)的模擬平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)Fig.2 Simulated plane point clouds with outliers

表2 模擬平面參數(shù)的設(shè)定值及各種方法參數(shù)估值(人為加入異常值后的結(jié)果)Tab.2 Parameters of simulated plane model and its estimated values(with outliers)

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文算法的準(zhǔn)確性，采用真實(shí)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。該數(shù)據(jù)為在距離一平面標(biāo)靶10m處對(duì)其進(jìn)行掃描，掃描結(jié)果見(jiàn)圖3。

由圖3可知數(shù)據(jù)中存在大量的非標(biāo)靶平面上的點(diǎn)?，F(xiàn)利用最小二乘法、特征值法及穩(wěn)健整體最小二乘法估計(jì)標(biāo)靶的參數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表3。

為了驗(yàn)證平面參數(shù)的正確性，現(xiàn)根據(jù)計(jì)算出的空間平面參數(shù)，計(jì)算掃描儀到該平面標(biāo)靶的距離，結(jié)果見(jiàn)表4。

由表4可知，根據(jù)穩(wěn)健整體最小二乘法計(jì)算出的結(jié)果最接近真實(shí)的距離，由此可見(jiàn)，本文方法的計(jì)算結(jié)果比其他方法所得結(jié)果更可靠。

圖3 平面標(biāo)靶及其點(diǎn)云數(shù)據(jù)Fig.3 Plane target and its point cloud data

表3 各種方法得到的空間平面參數(shù)值Tab.3 Estimated parameters for real plane target obtained with various methods

表4 掃描儀到標(biāo)靶的平面距離(單位：m)Tab.4 Estimated distances between the real target and scanner(unit：m)

5 總結(jié)

真實(shí)場(chǎng)景中存在大量的平面特征，利用地面三維激光掃描儀對(duì)其進(jìn)行掃描時(shí)，獲取的數(shù)據(jù)中不可避免地存在誤差及異常值。本文在整體最小二乘的基礎(chǔ)上，提出了一種穩(wěn)健平面擬合方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，結(jié)果證明了該算法的穩(wěn)健性和可靠性。該方法不僅適用于從點(diǎn)云數(shù)據(jù)中擬合平面，也適用于其他包含異常值的數(shù)據(jù)的平面擬合。

需要說(shuō)明的是，在進(jìn)行擬合前，需要對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，將可能相同特性的點(diǎn)劃分為同一集合再進(jìn)行擬合。

1 羅德安，等.基于3維激光影像掃描技術(shù)的整體變形監(jiān)測(cè)［J］.測(cè)繪通報(bào)，2005，(7)：40-42.(Luo Dean，et al.Whole object deformation monitoring based on 3D laser scanning technology［J］.Bulletin of Surveying and Mapping， 2005，(7)：40-42)

2 Prabhat K Acharya，et al.Parameter estimation and error analysis of range data［B/OL］.http：//ieee-xplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=12312，2002.8.

3 何文峰，查紅彬.基于平面特征的深度圖像配準(zhǔn)［A］.中國(guó)人工智能進(jìn)展［C］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2003.(He Wenfeng and Zha Hongbing.Registration of range data based on planar features［A］.Advance in artificial intelligence in China［C］.Beijing：Beijing University of Posts and Telecommunications Press，2003)

4 Wang Caihua，et.al.Comparison of local plane fitting methods for range data［B/OL］.http：//ieeexplore.ieee.org/ xpls/abs_all.jsp?arnumber=990538，2003.4.

5 官云蘭，等.一種穩(wěn)健的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，36(7)：981-984.(Guan Yunlan，et al.A robust method for fitting a plane to point clouds［J］.Journal of Tongji University(Natural Science)，2008，36(7)：981-984)

6 Golub G H and Lan Loan F C.An analysis of the total least squares problem［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1980，17(6)：883-893.

7 Burkhard Schaffrin.A note on constrained total least squares estimation［J］.Linear Algebra and its Application，2006，(417)：245-258.

8 魯鐵定，等.基于整體最小二乘的地面激光掃描標(biāo)靶球定位方法［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2009，(4)：102-105.(Lu Tieding，et al.Sphere target fixing of point cloud data based on TLS［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29(4)：102-105)

9 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.(Zhang Xianda.Matrix analysis and applications［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2008)

10 龔劍，朱亮.Matlab 5.X入門(mén)與提高［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000.(Gong Jian and Zhu Liang.Matlab 5.X introduction and improvement［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2000)

ROBUST PLANE FITTING OF POINT CLOUDS BASED ON TLS

Guan Yunlan1)，Liu Shaotang2)，Zhou Shijian1，3)，Zhang Liting1)and Lu Tieding1)

(1)School of Surveying and Mapping Engineering，East China Institute of Technology，F(xiàn)uzhou 344000 2)Department of Civil Engineering，Henan Institute of Engineering，Zhengzhou 451191 3)Jiangxi Academy of Science，Nanchang330029)

In traditional plane fitting methods for point clouds，people don’t consider errors in data and in coefficients matrix simultaneously，which will result in incorrectness of plane parameters.In order to overcome this shortcoming，a new method for fitting local plane to point clouds was proposed.The method is based on total least squares.In consideration of the errors in all observation data，we tried to delete outliers from point clouds，and thus obtained a robust solution to plane fitting parameter.Analytical experiments based on simulated data and real data were conducted，and comparisons between the method and traditional methods such as least square method and eigenvalue method were also implemented.The results show that the method has the capability to overcome bad influence from outliers，and to increase the reliability of parameters estimation.

point clouds;Total Least Squares(TLS);plane fitting;outliers;robustness

1671-5942(2011)05-0080-04

2011-05-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(40874010);江西省自然科學(xué)基金(2008GQC0001，2010GZC0009，2010GZC0008);地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(10-01-06)

官云蘭，女，1975年生，副教授，博士，主要從事攝影測(cè)量與遙感、GIS的教學(xué)與科研工作.E-mail：guan8098@163.com

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