廖春艷

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

S~3到CP~5中的等變?nèi)鮈AGRANGIAN極小浸入

廖春艷

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

研究3維球面 S3到復(fù)射影空間 C P5中的非常數(shù)截面曲率的等變?nèi)鮈agrangian極小浸入。關(guān)鍵詞：復(fù)射影空間；等變；弱Lagrangian；極小浸入

通過黎曼的角度來研究Lagrangian子流形得到了許多有趣的結(jié)論， 2003年，黎鎮(zhèn)琦在[2]中研究了常曲率的3維球面 S3到 C Pn中的極小浸入。在該文中，作者將 S3看成 S U ( 2)。利用 S U ( 2)的李群結(jié)構(gòu)引入等變的定義，給出了 C Pn中兩類常曲率等變極小 S3的例子。2003年，黎鎮(zhèn)琦和陶永芊研究了 C P3中的等變 Lagrangian極小 S3[3]，得到了 C P3中等變Lagrangian極小 S3的完全分類和解析表達式.2005年，周燕飛和黎鎮(zhèn)琦研究了3維球面 S3到復(fù)射影空間 C P4中的非常數(shù)截面曲率的等變?nèi)?Lagrangian極小浸入，在該文中，作者假設(shè)浸入是完滿的，應(yīng)用等變映射的性質(zhì)，證明了兩個主要定理，分別給出了非常曲率的等變?nèi)鮈agrangian極小 S3的完全分類和解析表達式。

在本文中，我們討論非常曲率的3維球面 S3到復(fù)射影空間 C P5中的等變?nèi)鮈agrangian極小浸入及其性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

設(shè)Sn= { x ∈ Cn+1| x,x = 1 }為單位球面,令? : S3→ C P5是等變的弱 Lagrangian極小浸入，其誘導(dǎo)度量具有非常數(shù)曲率。采用[2]中的記號和定義,將 S3與 S U ( 2)等同，用 S U ( 2)表示 S3(= S U(2))上的左不變向量場全體的集合。

SU ( 2)?表示 S3上的左不變1-形式全體的集合。既有? : S3= S U ( 2) → C P5= U ( 6)/U ( 1)× U (5)。存在一個全純同態(tài) E : S3→ U (5), 使得，其中 π1:U (5) → CP5= U (6)/ U (1) × U (5)是自然投影。

根據(jù)[2]中命題4.2，有 S3上平凡叢的整體定義的酉標架{e ,e,e,e,e,e } ，使得

顯然θAA是純虛的,可記θAA=iρA,其中i=?1,ρA是實值1-形式。

設(shè)Ω是 C P5的形式.如果??Ω=0,則稱 是弱Lagrangian浸入，在本文中我們總假設(shè):S3→CP4是等變?nèi)鮈agrangian極小浸入。

[1]Chen B. Y. Riemannian Geometry of Lagrangian Submanifolds [J]. Taiwanese J. Math. 2001, 4: 1-35.

[2]Li Z. Minimal S3with constant curvature in C Pn[J]. J. London Math. Soc. 2003, 68(2): 223-240.

[3]Li Z., Tao Y. Equivariant Lagrangian minimal S3in C P3[J]. Acta Math. Sinica. 2006, 22(4): 1197-1214.

[4]黎鎮(zhèn)琦，周燕飛： S3到 C P4中的等變?nèi)鮈agrangian極小浸入[J].南昌大學(xué)學(xué)報，2005,10(29) 5:409-415.

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A

1673-2219（2011）12-0013-03

2011－09－10

湖南科技學(xué)院2010年校級課題“ ~Sm到 ~CP n中的等變?nèi)鮈agrangian極小浸入”項目編號[10XKYTC029]。作者簡介：廖春艷（1984－），江西吉安人，湖南湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系教師，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)。

(責任編校：何俊華)