梁 飛, 尹洪輝

(1.安徽科技學(xué)院 理學(xué)院, 安徽 鳳陽 233100； 2.淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

一個(gè)非局部拋物方程的穩(wěn)態(tài)解及其穩(wěn)定性

梁 飛1, 尹洪輝2

(1.安徽科技學(xué)院 理學(xué)院, 安徽 鳳陽 233100； 2.淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

非局部拋物型方程; 穩(wěn)態(tài)解; 整體存在

0 引言

在本文中, 我們主要考慮下述非局部拋物方程的穩(wěn)態(tài)解及其穩(wěn)定性:

(1)

這里λgt;0, 0lt;p≤1,f滿足條件

(2)

一個(gè)相似的問題

(4)

吸引了研究者的興趣[1-4].Antontsev和Chipot[5]利用能量方法證明了方程(4)解的爆破性,并在文[6]中把結(jié)果進(jìn)一步提高.Lacey[7,8]和Tzanetis[9]分別研究了方程(4)對應(yīng)于一維和二維徑向?qū)ΨQ解的漸近性態(tài),首次利用穩(wěn)態(tài)解的方法求出爆破的臨界值λ*,并利用穩(wěn)態(tài)解構(gòu)造出一個(gè)隨時(shí)間遞增的下解證明出當(dāng)λgt;λ*時(shí)方程(2)的解是爆破的.另外,如果f是增函數(shù),方程(2)的解不可能發(fā)生爆破[7,10].

1 穩(wěn)態(tài)解

我們首先考慮問題(1)的穩(wěn)態(tài)問題,對應(yīng)于(1)的穩(wěn)態(tài)問題是

(4)

為了研究非局部穩(wěn)態(tài)問題(4),考慮下述橢圓方程

Δw+μf(w)=0,x∈Ω;w=0,x∈?Ω

(5)

為了建立非局部問題(4)和局部問題(5)之間的關(guān)系,對于任意μ≥0的,令

(6)

因?yàn)閣(x;μ)是非負(fù)的,所以這樣定義的函數(shù)是有意義的.由于w(x;μ)對μ是解析的,不難推斷函數(shù)λ(μ)對μ也是解析的.下面的定理建立了非局部問題(4)和局部問題(5)解之間的關(guān)系.證明是顯然的.

上述定理允許我們通過分析函數(shù)λ(μ)的性質(zhì)來研究問題(4).下面的引理給出(5)解的一些性質(zhì).

引理2 設(shè)w(x;μ)是問題(5)的解,則有

(i)w(x;μ)關(guān)于μ是嚴(yán)格遞增的,并且對于固定的μ,wμ在Ω內(nèi)是有界的.

證明方程(5)對μ求導(dǎo),得到

(7)

下面利用引理2證明對于0lt;p≤1問題(4)的解是唯一的.

定理3 如果0lt;p≤1,則對于任意的λ≥0,問題(4)的解是唯一的.

證明由定理1, 只需證明λ(μ)是嚴(yán)格遞增的.對方程(4)在Ω上積分,我們有

(8)

對μ求導(dǎo)得

證畢.

2 穩(wěn)定性

讓μ(t)是下面方程

(9)

的解.如果存在μ0使得

λ≤λ(μ0),w(x;μ0)≤u0(x),

則μ(t)遞減的.從而v(x;t)也是遞減的并且滿足

所以v(x;t)是(1)的一個(gè)遞減的上解.如果存在μ0使得

λ≥λ(μ0),w(x;μ0)≤u0(x),

則μ(t)遞增的.從而v(x;t)也是遞增的并且滿足

所以v(x;t)是(1)的一個(gè)遞增的下解.

有了以上的準(zhǔn)備, 就可以討論問題(1)解的穩(wěn)定性.

定理4 設(shè)0lt;p≤1,對任意的λgt;0,(1)的解是整體存在的,其穩(wěn)態(tài)解是全局漸近穩(wěn)定的.

證畢.

[1] Krzywicki A, Nadzieja T. Some results concerning the Poisson-Boltzmann equation?[J].Zastosowania Mat Appl Math, 1991, 21(2): 265-272.

[2] Cimatti G. Remark on existence and uniqueness for the thermistor problem under mixed boundary conditions?[J].Quart J Appl Math, 1989, 47: 117-121.

[3] Kavallaris N I, Tzanetis D E. Blow-up and stability of a non-local diffusion-convection problem arising in Ohmic heating of foods?[J]. Differential Integral Equations, 2002, 15(3): 271-288.

[4] Kavallaris N I, Tzanetis D E.On the blow-up of a non-local parabolic problem?[J], Appl Math Lett, 2006, 21: 921-925.

[5] Antontsev S N, Chipot M. The thermistor problem: existence, smoothness, uniqueness, blow-up?[J].SIAM J Math Analysis, 1994, 21: 1128-1156.

[6] Antontsev S N, Chipot M. The analysis of blow-up for non-local the thermistor problem?[J].Sb Math J, 1997, 38: 827-841.

[7] Lacey A A. Thermal runaway in a nonlocal problem modelling Ohmic heating, Part I: Model derivation and some special cases?[J]. European J App Math, 1995, 6: 127-144.

[8] Lacey A A. Thermal runaway in a nonlocal problem modelling Ohmic heating, Part II: General proof of blow-up and asymptotics of runaway?[J].European J Appl Math, 1995, 6: 201-224.

[9] Tzanetis D E. Blow-up of radially symmetric solutions of nonlocal problem modelling Ohmic heating?[J]. Electron J Diff Eqns, 2002, 11: 1-26.

[10] Bebernes J W, Lacey A A. Global existence and finite-time blow-up for a class of non-local parabolic problem, Part I: Model derivation and some special cases?[J], Adv Differential Equations, 1997, (2): 927-953.

[11] Sattinger D H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems?[J]. Indiana Univ Math. J, 1972, 21: 979-1000.

[12] Gilbarg D, Trudinger N S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order?[M].Springer-Verlag Berlin, 1977.

[責(zé)任編輯：李春紅]

StationarySolutionandStabilityforaNonlocalParabolicEquation

LIANG Fei1, YIN Hong-hui2

(1.School of Science, Anhui Science And Technology University, Fengyang Anhui 233100, China)(2.School of Mathematical Sciences Huaiyin Normal University, Jiangsu Huaian 223300,China)

nonlocal parabolic equation; steady-state; global

O175.26

A

1671-6876(2011)02-0095-04

2010-11-20

安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目(2011SQRL115)

梁飛(1980-), 男, 安徽阜陽人, 講師, 博士研究生, 研究方向?yàn)槠⒎址匠?