唐樹喬,郭 彥
(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系,南京 211100;2.亳州師范高等專科學(xué)校 理化系,安徽 亳州 236800;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210046)
帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的爆破
唐樹喬1,2,郭 彥1,3
(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系,南京 211100;2.亳州師范高等專科學(xué)校 理化系,安徽 亳州 236800;3.南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210046)
通過引入特征函數(shù)和構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳辖?,討論了一類帶有變指?biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程的爆破行為,并證明了這類方程初邊值問題的非負(fù)解在有限時(shí)刻爆破和整體存在。
非線性拋物方程;特征函數(shù)方法;整體存在;爆破
本文考慮下列帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物問題
其中Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,q>1,初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)。而連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)則滿足以下條件:
幾十年來,人們對非線性拋物方程ut=Δu+f(u)解的爆破問題進(jìn)行了大量深入的研究,如參考文獻(xiàn)[1-3]。然而帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的爆破現(xiàn)象,卻是近幾年才開始步入人們的視野,已發(fā)表的論文也不多,有興趣的讀者不妨查閱下文后所列的參考文獻(xiàn)[4-9]。
定義1.1如果存在常數(shù) T(0<T<∞),使得方程(1)的解 u(x,t)在上存在,并且有,那么稱方程(1)的解u(x,t)在有限時(shí)刻T爆破,時(shí)間T稱為爆破時(shí)間。
定義1.2如果方程(1)的解u(x,t)在上存在,那么稱方程的解u(x,t)整體存在。
引理1.1設(shè)η(t)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足不等式:
其中常數(shù) q>1,a,b,c>0。若 η(0) >0,-aη(0)+bηq(0) -c>0,則 η(t)爆破。證明:取
只要 η(0)≥k0,就有在[0,T)上積分并注意到 q>1,有,從而η(t)爆破。
對于方程(1)的解的爆破性質(zhì),我們有如下定理:
定理2.1設(shè)Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù),連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)滿足條件(2)-(4),那么當(dāng)p->q>1時(shí),對于充分大的初值u0(x),方程(1)的非負(fù)解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破。
由帶權(quán)的 H?ld不等式[10],我們可以推知
于是當(dāng)方程(1)的初值u0(x)充分大時(shí),即y(0)=∫Ωu0(x)w(x)dx充分大時(shí),由引理1.1即可推知方程(1)的解在有限時(shí)刻爆破。
對于方程(1)的解的整體存在性質(zhì)我們給出以下結(jié)論:
定理3.1設(shè)Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,q>1,初值u0(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù),連續(xù)函數(shù)p(x)、a(x)、b(x)滿足條件(2)-(4),那么當(dāng)p(x)≤1時(shí),方程(1)的非負(fù)解u(x,t)對任意初值整體存在。
證明:當(dāng)p(x)≤1時(shí),構(gòu)造函數(shù)
從而v(t)為方程(1)的上解,所以方程(1)的非負(fù)解對任意初值整體存在。
[1] Fujita H.On the blowing up solutions of thecauchy problem for ut= Δu+u1+α[J].J.Fac.Sci.Univ.Tokyo.Sect.A.Math,1996(16):105 -113.
[2] Weier P.On the critical exponent for reaction—diffusion equations[J].Arch.Rational Mech,1990(109):63 -71.
[3] Liu,Qilin;Li,Yuxiang;Gao,Hongjun.Uniform blow-up rate for a nonlocal degenerate parabolic equations[J].Nonlinear Anal,2007(66):881-889.
[4] S.N.Antontsev,S.I.Shmarev,Existence and uniqueness of solutions of degenerate parabolic equations with variable exponents of nonlinearity[J].J.Math.Sci,2008(150):2289 -2301.
[5] S.N.Antontsev,S.I.Shmarev,A model porous medium equation with variable exponent nonlinearity:existence,uniqueness and localization properties of solutions[J].Nonlinear Anal,2005(60):515 - 545.
[6] J.P.Pinasco.Blow-up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents[J].Nonlinear Anal,2009(71):1094 - 1099.
[7] Xueli Bai and Sining Zheng.A semilinear parabolic system with coupling variable exponents[J].Annali di Mathematic Pura ed Application,2011,190(3):525-537
[8] Ferreira,R.,de Pablo,A.,Pérez-Llanos,M.,Rossi,J.D.Critical exponents for a semilinear parabolic equation with variable reaction[J].preprint.
[9] 劉云霞.帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的半線性拋物方程的臨界指標(biāo)[D].大連:大連理工大學(xué),2009.
[10] 王術(shù).Sobolev空間與偏微分方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,2009:18-19.
Blow-up of Solutions to Nonlinear Parabolic Equations with Variable Exponents
TANG Shu-qiao1,2,GUO Yan1,3
(1.Department of Mathematics,Southeast China University,Nanjing 211100,China;2.Department of Science,Bozhou Teachers College,Bozhou 236800,China;3.Applied Mathematics Institute,Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing 210046,China)
Through introducing characteristic function and constructing proper upper solutions,this paper discusses the blow-up of a class of nonlinear parabolic equations with variable exponents and proves the blow-up and global existence of the nonnegative solutions to the initial boundary problems.
nonlinear parabolic equation;characteristic function method;global existence;blow-up
O175.26
A
1009-3907(2011)12-0068-02
2011-09-24
安徽省自然科學(xué)基金(KJ2011Z258);亳州師范高等??茖W(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)(省級特色專業(yè));江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK2010404)
唐樹喬(1973-),男,安徽蒙城人,講師,碩士,主要從事非線性偏微分方程(組)理論及其應(yīng)用方面的研究。
責(zé)任編輯:鐘 聲