李石濤

具有放養(yǎng)率的時(shí)滯捕食模型的分岔行為

李石濤

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，遼寧 遼陽(yáng) 111000)

考慮一類具有常數(shù)放養(yǎng)率的時(shí)滯捕食種群模型，研究了種群穩(wěn)定性和分岔行為。通過(guò)對(duì)特征方程的研究，得到種群穩(wěn)定及發(fā)生分岔行為的充分條件;利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，給出相空間的軌跡，得到時(shí)滯與放養(yǎng)率是影響種群穩(wěn)定的兩個(gè)重要因素，驗(yàn)證了理論分析所得結(jié)果的正確性。

時(shí)滯;放養(yǎng)率;穩(wěn)定性;分岔

0 引言

可更新資源的持續(xù)開(kāi)發(fā)和利用，已成為經(jīng)濟(jì)管理學(xué)家和生態(tài)學(xué)家都在關(guān)心的問(wèn)題之一，而時(shí)滯對(duì)生物種群的動(dòng)力學(xué)行為的影響也得到生物學(xué)家的關(guān)注［1，2，3］。許多學(xué)者研究了具有開(kāi)發(fā)的時(shí)滯的捕食—被捕食種群模型，關(guān)于可持續(xù)開(kāi)發(fā)給出研究結(jié)果［4，5，6］。已有的大部分工作集中在不含放養(yǎng)項(xiàng)的捕食—被捕食系統(tǒng)，對(duì)模型的分岔點(diǎn)及正平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件給出了一些研究結(jié)果［7，8］。本文考慮了具有常數(shù)放養(yǎng)率的時(shí)滯功能性捕食模型如下

其中x(t)，y(t)分別代表被捕食者，捕食者種群密度;r為被捕食者出生率;K為最大容納量;d為捕食者死亡率;τ為時(shí)滯量;H為被捕食者的常數(shù)放養(yǎng)率;為捕食者種群的Holling II型功能性反應(yīng)函數(shù);a，b，c，d，r，k，H 皆為正數(shù)。

1 主要結(jié)論

設(shè) E*(x*，y*)為模型(1)的平衡點(diǎn)，即(x*，y*)滿足

定理1若模型(1)滿足則存在正平衡點(diǎn)E*(x*，y*)。

模型(1)在正平衡點(diǎn)E*(x*，y*)處線性化，對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣的特征方程為

從上面的分析，可得

為了研究分岔發(fā)生的充分條件，對(duì)方程(3)的兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得

令ω0是與(k=0)對(duì)應(yīng)的純虛根，即，由此可計(jì)算

定理3設(shè)E*(x*，y*)為模型(1)的正平衡點(diǎn)，若時(shí)，E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定;當(dāng)時(shí)，E*(x*，y*)是不穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí)，模型(1)發(fā)生分岔。

2 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性以及時(shí)滯和放養(yǎng)率的改變對(duì)穩(wěn)定性的影響，采用數(shù)值模擬的方法給出相空間的相軌跡，更好的揭示種群的變化趨勢(shì)。

在模型(1)中取 r=1，K=100，a=60，b=1，c=4，d=2，H=10，通過(guò)定理 2 可得正平衡點(diǎn)(x*，y*)=(60，68)，p=0.4833=0.9098，可知時(shí)滯 τ＜0.9098 時(shí)，有漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn);τ＞0.9098 時(shí)，有不穩(wěn)定的平衡點(diǎn);下面使用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，分別給出τ=0.90及τ=0.93時(shí)的相軌跡。

圖1 當(dāng) τ=0.90，H=10時(shí)模型(1)的相圖

圖2 當(dāng) τ=0.93，H=10時(shí)模型(1)的相圖

從圖中可以清楚的看出，當(dāng)τ=0.90時(shí)，平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定，相軌跡最終進(jìn)入相平面的有界區(qū)域并趨近于正平衡點(diǎn)。當(dāng)τ=0.93時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)分岔周期解，種群的數(shù)量進(jìn)行周期性振蕩。這種情況表明時(shí)滯的微小變化對(duì)穩(wěn)定性有著重要影響。

為了更好的理解放養(yǎng)對(duì)種群穩(wěn)定性的影響，在保持時(shí)滯不變的情況下，可以看到放養(yǎng)率的改變同樣影響平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。如圖3、圖4所示:

圖3 當(dāng) τ=0.90，H=20時(shí)模型(1)的相圖

圖4 當(dāng) τ=0.93，H=5時(shí)模型(1)的相圖

通過(guò)對(duì)圖1、圖3的比較，可以得出在時(shí)滯不變的情況下，放養(yǎng)率的增加改變了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)應(yīng)自然界的兩種群，在增加放養(yǎng)的同時(shí)，使得被捕食者數(shù)量顯著增加，改變了捕食者與被捕食者的種群數(shù)量的平衡，進(jìn)而出現(xiàn)種群的周期性振蕩現(xiàn)象。從圖2與圖4可以得出，放養(yǎng)率的減少使得原本周期震蕩的種群數(shù)量穩(wěn)定于一個(gè)具體的數(shù)值，對(duì)應(yīng)自然界的兩種群，在放養(yǎng)減少的情況下，捕食者對(duì)被捕食者種群數(shù)量的影響成為主要因素，最終兩種群數(shù)量趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

［1］ 滕勇，李石濤.一類具有時(shí)滯的捕食－被捕食模型的持久性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，49(3):478－480.

［2］ 李石濤，李冬梅.一類具有時(shí)滯的捕食模型的持久性和穩(wěn)定性［J］.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(6):687－692.

［3］ 李石濤，李冬梅.一類具有時(shí)滯的捕食模型的全局穩(wěn)定性［J］.沈陽(yáng)理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，27(5):91－94.

［4］ Annik Martin，Shigui Ruan.Predator-Prey models with delay and prey harvesting［J］.Mathematical Biology，2001(43):247 －267.

［5］ 李石濤，許爽爽.具有時(shí)滯和常數(shù)收獲率種群模型的穩(wěn)定性［J］.高師理科學(xué)刊，2004，19(1):87－92.

［6］ Cook，K.L.，Grossman，Z.Discrete delay，distributed delay and stability switches［J］.J.Math.Anal.Appl.，1982(86):592 －627.

［7］ Chen Fengde.The Permanence and Global Attractivity of Lotka-Volterra Competition System with Feedback Controls［J］.Nonlinear Analysis Real World Applications，2006，7(1):133 －143.

［8］ 楊建雅，張鳳琴.一類具時(shí)滯的捕食－被捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分支［J］.數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐，2010，40(18):163－167.

Bifurcation Behavior of the Breeding Rate-based Predator-prey Model with Time Delays

LI Shi-tao

(Department of Basic Courses，Shenyang University of Technology，Liaoyang 111000，China)

This paper considers a class of predator-prey species model with time delay which has the constant breeding rate and studies the stability and bifurcation of the species.Sufficient condition for stability and bifurcation is obtained by studying the characteristic equation.The numerical simulation is carried out by using Matlab software and the trace of phase space is obtained.It comes to a conclusion that time delay and stocking rate are the two factors effecting stability of species，which verifies the correctness of the theoretical analysis result.

time delay;stocking rate;stability;bifurcation

O175

A

1009－3907(2011)12－0060－04

2011-09-16

黑龍江省自然基金資助項(xiàng)目(A200502);黑龍江省教育廳資助項(xiàng)目(10051061)

李石濤(1978-)，男，遼寧遼陽(yáng)人，講師，主要從事微分方程、生物數(shù)學(xué)的研究。

責(zé)任編輯:鐘 聲