邸 男，付東輝，王毅楠

(1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033; 2.長春軌道客車股份有限公司，吉林 長春130062)

1 引言

天文望遠(yuǎn)鏡誕生400年以來，已從小型手控的光學(xué)器材發(fā)展到由計(jì)算機(jī)控制的龐大復(fù)雜儀器。其間，有兩個(gè)參數(shù)極其重要，即望遠(yuǎn)鏡的口徑(聚光能力)和角分辨率(圖像的清晰度)。為了提高圖像的角分辨率，光測設(shè)備的口徑不斷增大，然而，口徑的增大，帶來了大氣湍流對成像質(zhì)量影響的增強(qiáng)［1，2］，并成為制約該領(lǐng)域發(fā)展的主要問題。為了解決大氣湍流造成的圖像退化問題，國內(nèi)外很多專家學(xué)者提出了卡爾曼濾波、逆濾波、維納濾波等方法［3］，這些方法應(yīng)用的前提是點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)已知，而大多數(shù)情況下，由于大氣湍流的高度隨機(jī)性，建立一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型完備地描述大氣湍流很困難。目前，在點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)未知的情況下，盲解卷積［4，5］技術(shù)成為解決該問題的關(guān)鍵技術(shù)。

盲解卷積是從目標(biāo)的模糊圖像中確定目標(biāo)的成像特性和系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)的一種方法，該方法能夠在沒有任何目標(biāo)屬性和大氣湍流先驗(yàn)知識的情況下，利用單幀或多幀模糊圖像估計(jì)出PSF和真實(shí)圖像，具有高質(zhì)量的恢復(fù)能力。目前盲解卷積方法主要有:基于馬爾隨機(jī)場的迭代盲解卷積［6］、多重約束迭代盲卷積［7］、模擬退火方法以及最大熵方法［8］等。前兩種方法都需要對點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的支持域進(jìn)行較緊的約束，而且收斂性不夠好。模擬退火方法具有全局收斂性，但該方法計(jì)算量太大，難于實(shí)際應(yīng)用。

本文提出一種基于加權(quán)預(yù)測的迭代盲解卷積算法，對目前性能優(yōu)秀的用迭代實(shí)現(xiàn)盲卷積的L-R(Lucy-Richarson)算法［9］進(jìn)行優(yōu)化，在每次迭代結(jié)束后通過加權(quán)方法求出預(yù)測值，根據(jù)預(yù)測值計(jì)算方向加速算子，大大提高了算法的收斂速度。實(shí)驗(yàn)表明:該算法不僅對模糊退化圖像進(jìn)行了很好的復(fù)原，同時(shí)收斂速度快，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

2 盲解卷積圖像恢復(fù)原理

圖像的退化主要來源于大氣湍流，目標(biāo)的運(yùn)動，對焦不準(zhǔn)確等因素的影響，盲解卷積算法使用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來描繪這些影響。假設(shè)圖像的退化模型為

式中:g為采集到的模糊圖像，h為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，f為目標(biāo)的真實(shí)圖像，n為干擾噪聲，?為卷積運(yùn)算符。

由于干擾噪聲的隨機(jī)性，假設(shè)n服從參數(shù)為0的泊松分布，則g服從參數(shù)為h?f的泊松分布［10］。由此可見該泊松分布是以點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和目標(biāo)亮度函數(shù)為參數(shù)的函數(shù)。估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和目標(biāo)亮度函數(shù)就等同于估計(jì)泊松分布的參數(shù)，至此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常見的參數(shù)估計(jì)問題。

參數(shù)估計(jì)的方法有很多，由不完全數(shù)據(jù)求總體參數(shù)的估計(jì)主要是采用最大似然估計(jì)方法。但是，由于模型中不包含任何先驗(yàn)知識和約束條件，最大似然估計(jì)方法的無效結(jié)果會很多，很難得到確定的理想結(jié)果。為此，需要將盡可能多并且合理的先驗(yàn)知識和約束條件引入泊松分布的似然函數(shù)中，本文選擇目標(biāo)函數(shù)的亮度值和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)值非負(fù)作為約束條件。

由于似然函數(shù)形式復(fù)雜，需要運(yùn)用迭代算法實(shí)現(xiàn)最大似然估計(jì)過程。L-R算法是一種性能優(yōu)秀的迭代算法，它使用EM(期望最大化)方法對泊松分布的參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，從而求得參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值(即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和目標(biāo)真實(shí)圖像的最優(yōu)估計(jì)值)。該迭代算法簡潔表示如下:

式中:f^

k為第k次迭代f的估計(jì)值，·為矩陣對應(yīng)元素相乘運(yùn)算符，*為互相關(guān)運(yùn)算符，ψ(f^k)為L-R函數(shù)。

3 基于加權(quán)預(yù)測的迭代盲解卷積原理

3.1 算法原理

本文對L-R算法進(jìn)行優(yōu)化，加快收斂速度。與以往的線性加速算法不同的是，本算法在每次迭代結(jié)束后通過當(dāng)前迭代位置和前一個(gè)迭代位置計(jì)算迭代方向向量和加權(quán)值，然后使用加權(quán)方法求出預(yù)測值。根據(jù)預(yù)測值計(jì)算方向加速算子，可以大大提高算法的收斂速度。優(yōu)化后的L-R函數(shù)為:

3.2 算法實(shí)現(xiàn)

假設(shè)n為迭代次數(shù)，f^k的初值為采集的模糊圖像，h^k的初值為m×m維矩陣，所有元素都是1。基于加權(quán)預(yù)測的迭代算法具體實(shí)現(xiàn)如下:

①計(jì)算第k次迭代預(yù)測的恢復(fù)圖像為:

式中，αk為恢復(fù)圖像加速算子。

預(yù)測的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為:

式中，βk為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)加速算子。

②計(jì)算第k+1次迭代的恢復(fù)圖像估計(jì)值為:

以及點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的估計(jì)值:

③計(jì)算恢復(fù)圖像方向算子:

④計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的方向算子:

⑤更新加速算子:

⑥k++:

如果k＜n執(zhí)行步驟1;

圖1 盲解卷積圖像恢復(fù)實(shí)驗(yàn)Fig.1 Restoration results of turbulence-degraded image

4 圖像恢復(fù)實(shí)驗(yàn)

利用本文提出的算法和L-R算法對大量深空探測望遠(yuǎn)鏡實(shí)拍退化圖像進(jìn)行了盲解卷積圖像恢復(fù)實(shí)驗(yàn)，圖1為對128×128大小圖像的恢復(fù)結(jié)果。

可以看出，本文算法與L-R算法相比，達(dá)到了相近的恢復(fù)效果，證明本文算法的加速處理并沒有影響圖像恢復(fù)性能。

5 時(shí)間性能分析

采用L-R算法和本文算法對不同大小的圖像進(jìn)行圖像恢復(fù)處理，在達(dá)到相近效果的情況下，對比了兩種算法的迭代速度。如表1所示。

表1 L-R算法與本文算法的迭代次數(shù)比較Tab.1 Comparison of times iterated for algorithms

由表1可以看出，對于64×64大小的圖像，本文算法的迭代次數(shù)減少約495/46=10.7倍，即運(yùn)算速度提高約10.7倍;對于為128×128大小的圖像，本文算法迭代次數(shù)減少約9 875/225=43.8倍，即運(yùn)算速度提高約43.8倍。由此可見，隨著圖像的增大，采用本文算法的計(jì)算速度提高更加明顯。

6 結(jié)論

本文提出一種基于加權(quán)預(yù)測的迭代盲解卷積算法，對目前性能優(yōu)秀的用迭代實(shí)現(xiàn)盲卷積的L-R算法進(jìn)行優(yōu)化，在每次迭代結(jié)束后通過加權(quán)方法求出預(yù)測值，根據(jù)預(yù)測值計(jì)算方向加速算子，從而大大提高了算法的收斂速度。實(shí)驗(yàn)表明:該算法不僅對模糊退化圖像進(jìn)行了很好的復(fù)原，同時(shí)收斂速度提高約43.8倍，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

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