朱 明，高 文，2，郭立強(qiáng)

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033; 2.中國(guó)科學(xué)院 研究生院，北京100039)

1 引言

隨著信息社會(huì)的發(fā)展，在日常生活中會(huì)經(jīng)常遇到獲取、存儲(chǔ)、處理以及傳輸海量信息的問(wèn)題。以數(shù)碼相機(jī)拍照為例，由于從CCD獲得的圖像數(shù)據(jù)量很大，若是直接存儲(chǔ)，一張1G Bit的存儲(chǔ)卡只能保存幾十張照片。而若通過(guò)某一壓縮算法對(duì)圖像信息進(jìn)行重新“表示”，即可剔除照片中的冗余信息，使一張存儲(chǔ)卡保存成百上千張照片。這是一個(gè)典型的信息編解碼過(guò)程，從數(shù)學(xué)角度來(lái)講就是信息的變換域處理。

整個(gè)編碼過(guò)程由兩個(gè)步驟構(gòu)成:信息的獲取(包含大量的冗余信息)和壓縮處理。對(duì)于信息的獲取，香濃-奈奎斯特采樣定理指出:信號(hào)的采樣頻率至少是信號(hào)最高頻率的2倍時(shí)才能從采樣信號(hào)恢復(fù)出原始信號(hào)。但是，在海量信息以及信號(hào)頻率很高的情況下，上述采樣方法會(huì)造成很大的數(shù)據(jù)冗余，同時(shí)也不得不考慮硬件成本的問(wèn)題。壓縮處理發(fā)生在數(shù)據(jù)被完整采集到之后，在數(shù)據(jù)壓縮過(guò)程中，絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)都要丟掉，而且壓縮算法的計(jì)算量要比解壓縮算法的計(jì)算量大。通過(guò)以上編碼過(guò)程的分析可推出:如果能以遠(yuǎn)低于信號(hào)最高頻率的采樣頻率來(lái)采樣，采樣數(shù)據(jù)量就可以大大減小，另外，如果丟棄對(duì)冗余信號(hào)的采集及壓縮，直接獲取壓縮后的數(shù)據(jù)，那么整個(gè)編碼過(guò)程會(huì)變得簡(jiǎn)單易行。

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)指出，如果信號(hào)在某一變換域是K-稀疏的或者說(shuō)是可壓縮的，那么可以設(shè)計(jì)一個(gè)與相變換基不相關(guān)的非滿秩矩陣(測(cè)量矩陣)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行“測(cè)量”。該測(cè)量值的長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于原始信號(hào)的長(zhǎng)度，即可利用測(cè)量值，通過(guò)求解一個(gè)凸的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的重構(gòu)。

CS 理論的奠基性文獻(xiàn)是 Cades［1］、Doho［2］和Tao［3］等人于2006年發(fā)表的3篇文章。文獻(xiàn)［1］指出，對(duì)于信號(hào)f，可以從它的部分變換域信息f^恢復(fù)出f，但前提是信號(hào)是稀疏的，而這一恢復(fù)過(guò)程就是一個(gè)典型的線性規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)［2-3］都圍繞著如何從測(cè)量信號(hào)準(zhǔn)確重建出原始信號(hào)這一主題進(jìn)行討論。文獻(xiàn)［2］把整個(gè)信號(hào)的稀疏采樣理論定義為壓縮感知，研究了準(zhǔn)確重建的基追蹤算法。文獻(xiàn)［3］給出了準(zhǔn)確重建準(zhǔn)則。

目前，有關(guān)CS的研究論文有百余篇之多，這些論文多側(cè)重于測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)、重構(gòu)算法，CS的新理論以及CS的應(yīng)用研究。這里簡(jiǎn)要回顧一下具有代表性的研究成果。

文獻(xiàn)［4］研究了測(cè)量矩陣的優(yōu)化問(wèn)題;文獻(xiàn)［5］利用線性調(diào)頻序列構(gòu)造了測(cè)量矩陣，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的量測(cè)和重構(gòu);文獻(xiàn)［6］討論了測(cè)量矩陣受干擾情況下的CS理論，這種干擾不同于以往的加性噪聲，而是乘性噪聲，在此模型下，Herman等人給出了信號(hào)準(zhǔn)確重建的條件。目前CS理論中，測(cè)量矩陣大多采用具有一致分布的隨機(jī)矩陣。隨機(jī)矩陣對(duì)信號(hào)觀測(cè)后也只能以很高的概率恢復(fù)出原始信號(hào)，能否構(gòu)造一個(gè)測(cè)量矩陣使得信號(hào)的重構(gòu)不停留在概率這一層面，另外，用硬件產(chǎn)生隨機(jī)矩陣等都是需要解決的問(wèn)題。

文獻(xiàn)［7］從反應(yīng)-擴(kuò)散方程的角度，利用曲線波閾值方法提出了一種信號(hào)重構(gòu)算法;Chretien提出了交互式l1松弛算法用于信號(hào)重構(gòu)［8］，實(shí)驗(yàn)將該方法用于文獻(xiàn)［9］所提出的再加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)法和再加權(quán)最小二乘法;文獻(xiàn)［10］給出了基于隨機(jī)梯度自適應(yīng)濾波架構(gòu)的信號(hào)重建算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:所提出的算法在準(zhǔn)確重建和抵抗噪聲等方面均優(yōu)于匹配追蹤等傳統(tǒng)算法;文獻(xiàn)［11］針對(duì)信號(hào)重構(gòu)的遞歸硬閾值算法給出了理論分析;文獻(xiàn)［12-13］研究了一類在正交基和非一致字典上不具備稀疏性而在冗余字典上具有稀疏性信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題;文獻(xiàn)［14］討論了最優(yōu)基的選擇問(wèn)題，利用多分辨率分析的思想，采用樹(shù)狀結(jié)構(gòu)字典對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量及重構(gòu);文獻(xiàn)［15］對(duì)Poisson噪聲下CS理論加以研究，給出了相關(guān)噪聲下信號(hào)重構(gòu)誤差的上限;文獻(xiàn)［16］提出了基于模型的CS理論并給出了相應(yīng)的重構(gòu)算法。

在應(yīng)用方面，已有的文獻(xiàn)［17-29］證實(shí)了CS理論已應(yīng)用于雷達(dá)成像、醫(yī)學(xué)核磁共振成像、無(wú)線通道圖像傳輸、彩色圖像成像、相位編碼速度成像、視頻監(jiān)控、語(yǔ)音編碼、多通道盲信號(hào)處理及稀疏信道估計(jì)等方方面面。

這里，需要注意兩點(diǎn):首先，表面上看CS是把傳統(tǒng)數(shù)據(jù)的“采集”和“壓縮”2個(gè)步驟合并為一步，實(shí)際上并非如此，CS中的“采集”并非奈奎斯特采樣頻率，而是遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，同時(shí)能保證數(shù)據(jù)的可恢復(fù)性。

其次，CS的初衷是針對(duì)連續(xù)信號(hào)的A/D轉(zhuǎn)換，這里主要討論離散信號(hào)的CS理論。相對(duì)來(lái)講，它比較完善，容易理解。

2 CS理論架構(gòu)

CS過(guò)程實(shí)際上是用測(cè)量矩陣A對(duì)信號(hào)x進(jìn)行“測(cè)量”，得到測(cè)量向量y。具體描述如下:設(shè)x為離散信號(hào)，A=Φ^·Ψ為m×n測(cè)量矩陣，且m=n。y=A·x，其中稱y為測(cè)量信號(hào)。圖1為CS的實(shí)現(xiàn)示意圖。

圖1 CS的概要圖Fig.1 Schematic diagram of CS

這時(shí)測(cè)量信號(hào)y的長(zhǎng)度為m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原始信號(hào)長(zhǎng)度n。這樣便實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)x的壓縮。但是這樣一個(gè)矩陣乘法真的“感知”到原始信號(hào)x了嗎?換言之，如何從測(cè)量信號(hào)y恢復(fù)出x?回答這個(gè)問(wèn)題之前，首先給出2個(gè)概念，即稀疏性和非一致性。

對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為n的離散信號(hào)x，若x中含有k個(gè)不為零的分量，并且k=n，則稱信號(hào)x為K-稀疏。假設(shè)x是稀疏信號(hào)，y=x+ω，其中，‖ω‖是一個(gè)很小的常數(shù)。也就是信號(hào)y偏離稀疏信號(hào)x很小的量，則稱信號(hào)y是近似稀疏的?，F(xiàn)實(shí)生活中很難找到在時(shí)域具有稀疏性的信號(hào)。例如聲音信號(hào)，圖像信號(hào)，既不是近似稀疏的更不是K-稀疏的。這就需要考慮如何把不稀疏的信號(hào)“變成”稀疏的信號(hào)，從而涉及到信號(hào)的變換域表示問(wèn)題。對(duì)于信號(hào)x若存在一個(gè)基(或框架，字典)Ψ，使得x在Ψ上的投影結(jié)果為近似稀疏，則稱信號(hào)x是可壓縮的。用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下:x=Ψ·α，其中，α =αs+ω，αs是 K-稀疏向量且保持了α的絕大部分能量。

信號(hào)的稀疏表示是CS理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的基(字典)來(lái)表示信號(hào)，才能保證信號(hào)的稀疏性，從而保證其恢復(fù)精度。在研究信號(hào)的稀疏表示時(shí)，可以通過(guò)變換系數(shù)衰減速度來(lái)衡量變換基的稀疏表示能力。傳統(tǒng)的Fourier變換、小波變換以及后小波理論中的各個(gè)變換的核函數(shù)都能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行稀疏表示。從數(shù)學(xué)角度來(lái)講，信號(hào)的稀疏表示本質(zhì)上是典型的逼近論問(wèn)題。

2組基Φ與Ψ之間的非一致性定義表示如下:對(duì)于字典D=［Φ，Ψ］，其中Φ和 Ψ是兩個(gè)n×n正交矩陣。Φ與Ψ之間的一致性定義如下:Ψj分別是Φ的第i行與Ψ的第j列。上述定義給出了基Φ與Ψ中元素間相關(guān)性的最大值。μ(Φ，Ψ)的取值范圍是這里所感興趣的是μ值小的字典。非一致性要求μ值越小越好，μ值越小，說(shuō)明字典中的2個(gè)基越不一致。在CS理論中，2個(gè)基間的非一致性涉及信號(hào)的感知和表達(dá)，這是有效CS系統(tǒng)的一個(gè)至關(guān)重要的指標(biāo)。

那么如何從測(cè)量信號(hào)y恢復(fù)出x?文獻(xiàn)［29］中的一個(gè)定理回答了該問(wèn)題:

定理:設(shè)x∈in，且x在基 Ψ 上 K-稀疏，x=Ψ·α。在Φ中，等概率隨機(jī)地抽取m行，得到一個(gè)m×n矩陣。如果m≥c·μ2(Φ，Ψ)·k·log(n)，c為某一正的常數(shù)。那么x會(huì)以很大的概率從y中恢復(fù)出來(lái)。

可以通過(guò)如下的線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)重構(gòu)x:

由上述定理可推出:要把原始信號(hào)x從測(cè)量信號(hào)y中恢復(fù)出來(lái)，須滿足x是K-稀疏的。同時(shí)也指出了在測(cè)量矩陣A=Φ·Ψ中，Φ是從正交基Φ中等概率隨機(jī)地抽取m行得到的一個(gè)m×n矩陣。常用的測(cè)量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣和傅里葉隨機(jī)矩陣等。綜上所述，壓縮感知主要由信號(hào)的稀疏表示(Ψ)、測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)和信號(hào)重構(gòu)算法3個(gè)部分構(gòu)成。

在壓縮感知的3個(gè)部分中，一個(gè)合理的測(cè)量矩陣能夠保證K-稀疏信號(hào)x從n維空間映射到m維空間(m=n)過(guò)程中主要信息不丟失。在測(cè)量矩陣A=Φ^·Ψ中，Ψ用于信號(hào)的稀疏表示，一般是固定的，只有A滿足約束等距性(RIP)［30］，才能夠利用信號(hào)恢復(fù)算法準(zhǔn)確重建出原始信號(hào)。由此，A的RIP性是通過(guò)Φ的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的。RIP的定義為:

對(duì)于任意的 K-稀疏信號(hào)x，k=1，2，3，...，定義觀測(cè)矩陣A的等距常量δk滿足如下不等式:

若δk＜1，稱測(cè)量矩陣A滿足k階 RIP。

式(2)的一個(gè)等價(jià)說(shuō)法是從矩陣A任意抽取k列所構(gòu)成的子矩陣是近似正交的，也可以理解為從矩陣A任意抽取k列所構(gòu)成的子空間并非是零空間，否則就不能從測(cè)量信號(hào)中重構(gòu)出原始信號(hào)。

測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)是CS理論中的難點(diǎn)之一，另外一個(gè)難點(diǎn)就是信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題。由于最優(yōu)重構(gòu)信號(hào)的計(jì)算復(fù)雜度很高，所以大多數(shù)研究致力于尋找近似解。求近似解有兩個(gè)基本方法:一是貪婪算法，它是通過(guò)選擇合適的原子并經(jīng)過(guò)一系列的逐步遞增方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)矢量的逼近，這些統(tǒng)稱為匹配跟蹤算法。二是基跟蹤算法，它是利用lp(0＜p≤1)范數(shù)通過(guò)線性規(guī)劃求解。第2種方法所求解更加精確，但是計(jì)算復(fù)雜度較高。

3 壓縮感知理論在圖像處理中的應(yīng)用

這里主要介紹CS理論在成像系統(tǒng)、圖像融合、目標(biāo)識(shí)別以及圖像跟蹤等方面的應(yīng)用。

3.1 成像系統(tǒng)

在成像方面，CS理論的出現(xiàn)激起了人們研究新型傳感器的熱情，CS采樣對(duì)昂貴的成像器件的設(shè)計(jì)產(chǎn)生了重大影響。在地震勘探和核磁共振成像中，對(duì)于目標(biāo)信號(hào)，將有望采用少量的隨機(jī)觀測(cè)次數(shù)就能獲得高精度重構(gòu)［31-32］;取代傳統(tǒng)數(shù)碼相機(jī)拍照時(shí)采集大量像素的一種新型單像素CS相機(jī)已經(jīng)得到論證。相對(duì)于CS的理論研究進(jìn)展，其硬件實(shí)現(xiàn)還處于起步階段［33-35］。

美國(guó)Rice大學(xué)也已經(jīng)研制出單像素相機(jī)，如圖2所示。該相機(jī)具有一種全新的相機(jī)結(jié)構(gòu)，使用數(shù)字微鏡陣列完成圖像在偽隨機(jī)二值模型上線性投影的光學(xué)計(jì)算。它可利用單一的信號(hào)光子檢測(cè)器采樣得到比圖像像素點(diǎn)數(shù)少得多的點(diǎn)恢復(fù)圖像，并具有對(duì)圖像波長(zhǎng)自適應(yīng)的能力，這種自適應(yīng)能力是傳統(tǒng)的CCD和CMOS成像器件所不具備的。ARI-ZONA大學(xué)Baheti和Neifeld設(shè)計(jì)了具有特定功能的結(jié)構(gòu)成像設(shè)備，DUCK大學(xué)研制了單景光譜成像裝置。然而由于壓縮重構(gòu)算法的計(jì)算量比較大，難以達(dá)到實(shí)時(shí)性要求，因此實(shí)時(shí)高性能壓縮感知成像系統(tǒng)是未來(lái)重要的研究方向。

圖2 單像素相機(jī)Fig.2 Single pixel camera

3.2 圖像融合

圖像融合［36］是信息融合范疇內(nèi)以圖像為對(duì)象的研究領(lǐng)域。圖像融合將多個(gè)成像傳感器或同一成像傳感器在不同模式下獲取的同一場(chǎng)景的圖像信息加以綜合，獲取更為精確、全面、可靠的圖像描述。圖像融合技術(shù)在自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、遙感、機(jī)器人、自動(dòng)小車、復(fù)雜智能制造系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)圖像處理以及軍事應(yīng)用等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用潛力。

將不同模式下的待融合圖像采用CS理論進(jìn)行稀疏表示，使其在測(cè)量舉證的作用下，用遠(yuǎn)小于原圖像的數(shù)據(jù)量進(jìn)行計(jì)算得到融合結(jié)果，采用重構(gòu)算法將融合結(jié)果還原為圖像表示，可節(jié)省中間融合所需的計(jì)算量，并且能夠更好地利用原圖像中像素間的內(nèi)在聯(lián)系，是一個(gè)非常值得研究的課題。

圖3 CS用于圖像融合的流程框圖Fig.3 Frame of image fusion by using CS

3.3 目標(biāo)識(shí)別

目標(biāo)識(shí)別是計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖像處理中的一個(gè)重要課題，其在軍事、安防、農(nóng)業(yè)、機(jī)器人控制等方面都有較好的應(yīng)用前景。目標(biāo)識(shí)別是指在圖像/視頻中尋找指定的物體(目標(biāo))，對(duì)于人類來(lái)說(shuō)，即使小孩子也能很輕松地在復(fù)雜圖像中找到所需要的物體，哪怕是目標(biāo)被遮擋、發(fā)生形變、模糊不清等情況。而對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)非常富有挑戰(zhàn)的課題。

文獻(xiàn)［37］將CS理論應(yīng)用于雜草種子分類識(shí)別中，文中首先對(duì)待處理的圖像進(jìn)行規(guī)范化，包括對(duì)圖像進(jìn)行校準(zhǔn)使每幅圖像中種子均在圖像的正中間并且方向向上，圖像均以黑色作為背景。

假定一個(gè)類中的樣本都是在一個(gè)子空間中，如果第i類訓(xùn)練樣本充足，那么任意一個(gè)同類的且不在訓(xùn)練集中的測(cè)試樣本都可以大致由同類樣本線性組合來(lái)表示，若將訓(xùn)練圖像按行、列重組為一列，將n個(gè)不同類的訓(xùn)練圖像組成一個(gè)矩陣，即，第i，i=1，…，n的類內(nèi)訓(xùn)練圖像為mi幅，訓(xùn)練圖像大小為w*h，則訓(xùn)練矩陣A的大小為(w×，測(cè)試圖像y可由式(3)得:

若測(cè)試圖像y屬于訓(xùn)練集中的某一類j，則x0中只有與j類對(duì)應(yīng)的元素非零，其他元素均為零，即系數(shù)向量是稀疏向量，可用訓(xùn)練樣本本身作為基元素去表示測(cè)試樣本。求解該過(guò)程就如CS中的求解重建稀疏信號(hào)的優(yōu)化方程，最后歸結(jié)為求解lp范數(shù)意義下的優(yōu)化問(wèn)題，以獲得x0的精確解或近似逼近解。

文獻(xiàn)［31］的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:基于CS理論的分類方法優(yōu)于主成分分析(PCA)+最近鄰點(diǎn)(NN)算法以及衡量稀疏表示算法的分類效果。

3.4 目標(biāo)跟蹤

視頻目標(biāo)跟蹤是使用可見(jiàn)、紅外等被動(dòng)式成像傳感器實(shí)現(xiàn)目標(biāo)測(cè)量的核心技術(shù)之一，是目標(biāo)識(shí)別、視頻圖像的壓縮編碼等高層次的視頻處理和應(yīng)用理解的基礎(chǔ)，也是視頻監(jiān)控技術(shù)自動(dòng)化和實(shí)時(shí)應(yīng)用的關(guān)鍵。目標(biāo)跟蹤的實(shí)質(zhì)是通過(guò)對(duì)圖像傳感器拍攝到的視頻序列進(jìn)行分析，計(jì)算出目標(biāo)在每幀圖像中的位置、大小和運(yùn)動(dòng)速度。

文獻(xiàn)［38-40］闡述了基于CS理論的目標(biāo)跟蹤。首先對(duì)目標(biāo)進(jìn)行建模，而后對(duì)后續(xù)幀圖像進(jìn)行相應(yīng)的模型建立，將求取兩模型最相似的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取某相似參數(shù)的l1范數(shù)最小化問(wèn)題，對(duì)高數(shù)據(jù)維的特征信息處理有明顯優(yōu)勢(shì)，但是計(jì)算量大，復(fù)雜度高，是否對(duì)所有目標(biāo)都具有魯棒的跟蹤效果有待于在目標(biāo)跟蹤方面做進(jìn)一步研究。

4 結(jié)束語(yǔ)

CS理論自從被D.Donoho(美國(guó)科學(xué)院院士)、E.Candes(Ridgelet，Curvelet創(chuàng)始人)及 T.Tao(華裔科學(xué)家，2006年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者，2008年被評(píng)為世界上最聰明的科學(xué)家)等人提出后，在信息論、信號(hào)/圖像處理、醫(yī)療成像、模式識(shí)別、地質(zhì)勘探、光學(xué)/雷達(dá)成像、無(wú)線通信等領(lǐng)域受到高度關(guān)注，并被美國(guó)科技評(píng)論評(píng)為2007年度10大科技進(jìn)展之一。

本文簡(jiǎn)要說(shuō)明了壓縮感知理論的基本原理，及其目前在國(guó)內(nèi)的發(fā)展現(xiàn)狀和應(yīng)用推廣。CS理論使采集很少一部分?jǐn)?shù)據(jù)并且從這些少量數(shù)據(jù)中“解壓縮”出更大量信息的想法變成可能，開(kāi)拓了在信息處理方面的新思路。隨著其理論的完善和應(yīng)用推廣，其劃時(shí)代的意義不言而喻。

［1］CANDèS E，OMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles：exact signal recognition from highly incomplete frequency information［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2006，52(2)：489-509.

［2］DONOHO D.Compressed sensing［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2006，52(4)：1289-1306.

［3］CANSèS E，TAO T.Near optimal signal recovery from random projections：universal encoding strategies? ［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2006，52(12)：5406-5425.

［4］ELAD M.Optimized projections for compressed sensing［J］.IEEE Trans.Signal Proc.，2007，55(12)：5695-5702.

［5］APPLEBAUM L，HOWARD S D，SEARLE S，et al..Chirp sensing codes：deterministic compressed sensing measurements for fast recovery［J］.Appl.Comput，Harmon.Anal.，2009，26：283-290.

［6］HERMAN M A，STROHMER T.General deviants：an analysis of perturbations in compressed sensing［J］.IEEE J.Selected Topics in Signal Proc.，2010，4(2)：342-349.

［7］MA J W.Compressed sensing by inverse scale space and curvelet thresholding［J］.Appl.Math.Comput.，2008，206：980-988.

［8］CHRETIEN S.An alternatingl1approach to the compressed sensing problem［J］.IEEE Signal Proc.Lett.，2010，17(2)：181-184.

［9］CCANDèS E，WAKIN M，BOYD S.Enhancing sparsity by reweightedl1minimization［J］.J.Fourier Anal.Appl.，2008，14：877-905.

［10］JIN J，GU Y，MEI S.A stochastic gradient approach on compressive sensing signal reconstruction based on adaptive filtering framework［J］.IEEE J.Selected Topics Signal Proc.，2010，4(2)：409-420.

［11］BLUMENSATH T，DAVIES M E.Iterative hard thresholding for compressed sensing［J］.Appl.Comput.Harmon.Anal.，2009，27：265-274.

［12］RAUHNT H，SCHNASS K，VANDERGHEYNST P，et al..Compressed sensing and redundant dictionaries［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2008，54(5)：2210-2219.

［13］CANSèS E J，ELDAR Y C，NEADELL D，et al..Compressed sensing with coherent and redundant dictionaries［J］.Appl.Comput.Harmon.Anal.，2010，31(1)：1-21.

［14］DEYRE G.Best basis compressed sensing［J］.IEEE Trans.Signal Proc.，2010，58(5)：2613-2622.

［15］RAGINSKY M R，WILLETT R M，HARMANY I T，et al..Compresed sensing performance bounds under poisson noise［J］.IEEE Trans.Signal Proc.，2010，58(8)：3990-4002.

［16］BARANIUK R G，CEVHER V，DUARTE M F，et al..Model-based compressive sensing［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2010，56(4)：1982-2001.

［17］HERMAN A，STROHMER T.High-resolution radar via compressed sensing［J］.IEEE Trans.Signal Proc.，2009，57(6)：2275-2284.

［18］EUDER H G.On compressive sensing applied to radar［J］.Signal Proc.，2010，90：1402-1414.

［19］POTTER L C，ERTIN E，PARKER J T，et al..Sparsity and compressed sensing in radar imaging［J］.Proc.IEEE，2010，98(6)：1006-1020.

［20］LUSTIG M，DONOHO D L，DANLY J M.Sparse MRI：the application of compressed sensing for rapid MR imaging［J］.Magn.Reson.Med.，2007，58：1182-1195.

［21］LUSTIG M，DONOHO D L，SANTOS J M，et al..Compressed sensing MRI［J］.IEEE Signal Proc Mag.，2008，3：72-82.

［22］GAO D H，LIU D H，F(xiàn)ENG Y Q，et al..A robust image transmission scheme for wireless channels based on CS［J］.Lecture notes in Computer Science，2010，6216：334-341.

［23］MAJUMDAR A，WARD K.Compressed sensing of color images［J］.Signal Proc.，2010，90：3122-3127.

［24］HOLLAND D J，MALIOUTOV D M，BLAKE A，et al..Reducing data acquisition times in phase-encoded velocity imaging using compressed sensing［J］.J.Magnetic Resonance，2010，203：236-246.

［25］MAKALANOBIS A，MUISE R.Object specific image reconstruction using a compressive sensing architecture for application in surveillance systems［J］.IEEE Trans.Aerospace and Electronic Systems，2009，45(3)：1167-1180.

［26］GIACOBELLO D，CHRISTENSEN M G，MURTHI M，et al..Retrieving sparse patterns using a compressed sensing framework：applications to speech coding based on sparse linear prediction［J］.IEEE Signal Proc.Lett.，2010，17(1)：103-106.

［27］MISHALI M，ELDAR Y C.Blind multiband signal reconstruction：compressed sensing for analog signals［J］.IEEE Trans.Signal Proc.，2009，57(3)：993-1009.

［28］BERGER C R，WANG ZH H，HUANG J ZH，et al..Application of compressive sensing to sparse channel estimation［J］.IEEE.Commun.Mag.，2010，10：164-174.

［29］CAND E J，ROMBERG J.Sparsity and incoherence in compressive sampling［J］.Inverse Problems，2007，23(3)：969-985.

［30］CAND S E，TAO T.Decoding by linear programming［J］.IEEE Trans.Info.Theory，2005，51(12)：4203-4215.

［31］HERRMANN F J，HENNENFENT G.Non-parametric seismic data recovery with curvelet frames［J］.Geophysical J.International，2008，173(1)：233-248.

［32］HERRMANN F J，WANG D L，HENNENFENT G，et al..Curvelet based seismic data processing：a multiscale and nonlinear approach［J］.Geophysic，2008，73(1)：A1.

［33］DUARTE M F，DAVENPORT M A，TAKHAR D，et al..Single-pixel imaging via compressive sampling［J］.IEEE Signal Proc.Mag.，2008，(3)：83-91.

［34］AKHAR D，LASKA J N，WAKIN M B，et al..A new compressive imaging camera architecture using optical domain compression［J］.SPIE，2006，6065：606509.

［35］LUSTIG M，SANTOS J M，DONOHO D L，et al..Kt SPARSE：High frame rate dynamic MRI exploiting spatiotemporal sparsity［C］.Proceedings of the 14th Annual Meeting of ISMRM，Seattle，Washington，2006：2420 22443.

［36］SMITH M I，HEATHER J P.A review of image fusion technology in 2005［J］.SPIE，2005，5782：29-45.

［37］蔡騁，張明，朱俊平.基于壓縮感知理論的雜草種子分類識(shí)別［J］.中國(guó)科學(xué)：信息科學(xué)，2010，40(增):160-172.CAI CH，ZHANG M，ZHU J P.Weed seeds classification based on compressive sensing theory［J］.Science China Information Science，2010，40(s):160-172.(in Chinese)

［38］LI H X，SHEN CH H.Robust real-time visual tracking with compressed sensing［C］.Proc.of 2010 IEEE 17th International Conference on Image Processing，Hongkong，China，12-15 Sept.2010:45-48.

［39］COSSALTER M，TAGLIASACCHI M，VALENZISF G.Privacy-enabled object tracking in video sequences using compressive sensing［C］.Proc.of 2009 IEEE 6th International Conference on Advanced Video and Signal Based Surveillance，Genova，Italy，2-4 Sept，2009:436-441.

［40］REDDY D，SANKARANARAYANAN A C，CEVHER V，et al..Compressed sensing for multi-view tracking and 3-D voxel reconstruction［C］.2008，15th IEEE International Conference on Image Processing，San Diego，CA，2008:221-224.