朱 明，高 文，2，郭立強

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033; 2.中國科學院 研究生院，北京100039)

1 引言

隨著信息社會的發(fā)展，在日常生活中會經(jīng)常遇到獲取、存儲、處理以及傳輸海量信息的問題。以數(shù)碼相機拍照為例，由于從CCD獲得的圖像數(shù)據(jù)量很大，若是直接存儲，一張1G Bit的存儲卡只能保存幾十張照片。而若通過某一壓縮算法對圖像信息進行重新“表示”，即可剔除照片中的冗余信息，使一張存儲卡保存成百上千張照片。這是一個典型的信息編解碼過程，從數(shù)學角度來講就是信息的變換域處理。

整個編碼過程由兩個步驟構(gòu)成:信息的獲取(包含大量的冗余信息)和壓縮處理。對于信息的獲取，香濃-奈奎斯特采樣定理指出:信號的采樣頻率至少是信號最高頻率的2倍時才能從采樣信號恢復出原始信號。但是，在海量信息以及信號頻率很高的情況下，上述采樣方法會造成很大的數(shù)據(jù)冗余，同時也不得不考慮硬件成本的問題。壓縮處理發(fā)生在數(shù)據(jù)被完整采集到之后，在數(shù)據(jù)壓縮過程中，絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)都要丟掉，而且壓縮算法的計算量要比解壓縮算法的計算量大。通過以上編碼過程的分析可推出:如果能以遠低于信號最高頻率的采樣頻率來采樣，采樣數(shù)據(jù)量就可以大大減小，另外，如果丟棄對冗余信號的采集及壓縮，直接獲取壓縮后的數(shù)據(jù)，那么整個編碼過程會變得簡單易行。

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)指出，如果信號在某一變換域是K-稀疏的或者說是可壓縮的，那么可以設計一個與相變換基不相關(guān)的非滿秩矩陣(測量矩陣)來對信號進行“測量”。該測量值的長度遠小于原始信號的長度，即可利用測量值，通過求解一個凸的最優(yōu)化問題來實現(xiàn)原始信號的重構(gòu)。

CS 理論的奠基性文獻是 Cades［1］、Doho［2］和Tao［3］等人于2006年發(fā)表的3篇文章。文獻［1］指出，對于信號f，可以從它的部分變換域信息f^恢復出f，但前提是信號是稀疏的，而這一恢復過程就是一個典型的線性規(guī)劃問題。文獻［2-3］都圍繞著如何從測量信號準確重建出原始信號這一主題進行討論。文獻［2］把整個信號的稀疏采樣理論定義為壓縮感知，研究了準確重建的基追蹤算法。文獻［3］給出了準確重建準則。

目前，有關(guān)CS的研究論文有百余篇之多，這些論文多側(cè)重于測量矩陣的設計、重構(gòu)算法，CS的新理論以及CS的應用研究。這里簡要回顧一下具有代表性的研究成果。

文獻［4］研究了測量矩陣的優(yōu)化問題;文獻［5］利用線性調(diào)頻序列構(gòu)造了測量矩陣，實現(xiàn)了信號的量測和重構(gòu);文獻［6］討論了測量矩陣受干擾情況下的CS理論，這種干擾不同于以往的加性噪聲，而是乘性噪聲，在此模型下，Herman等人給出了信號準確重建的條件。目前CS理論中，測量矩陣大多采用具有一致分布的隨機矩陣。隨機矩陣對信號觀測后也只能以很高的概率恢復出原始信號，能否構(gòu)造一個測量矩陣使得信號的重構(gòu)不停留在概率這一層面，另外，用硬件產(chǎn)生隨機矩陣等都是需要解決的問題。

文獻［7］從反應-擴散方程的角度，利用曲線波閾值方法提出了一種信號重構(gòu)算法;Chretien提出了交互式l1松弛算法用于信號重構(gòu)［8］，實驗將該方法用于文獻［9］所提出的再加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)法和再加權(quán)最小二乘法;文獻［10］給出了基于隨機梯度自適應濾波架構(gòu)的信號重建算法，實驗結(jié)果表明:所提出的算法在準確重建和抵抗噪聲等方面均優(yōu)于匹配追蹤等傳統(tǒng)算法;文獻［11］針對信號重構(gòu)的遞歸硬閾值算法給出了理論分析;文獻［12-13］研究了一類在正交基和非一致字典上不具備稀疏性而在冗余字典上具有稀疏性信號的重構(gòu)問題;文獻［14］討論了最優(yōu)基的選擇問題，利用多分辨率分析的思想，采用樹狀結(jié)構(gòu)字典對信號進行測量及重構(gòu);文獻［15］對Poisson噪聲下CS理論加以研究，給出了相關(guān)噪聲下信號重構(gòu)誤差的上限;文獻［16］提出了基于模型的CS理論并給出了相應的重構(gòu)算法。

在應用方面，已有的文獻［17-29］證實了CS理論已應用于雷達成像、醫(yī)學核磁共振成像、無線通道圖像傳輸、彩色圖像成像、相位編碼速度成像、視頻監(jiān)控、語音編碼、多通道盲信號處理及稀疏信道估計等方方面面。

這里，需要注意兩點:首先，表面上看CS是把傳統(tǒng)數(shù)據(jù)的“采集”和“壓縮”2個步驟合并為一步，實際上并非如此，CS中的“采集”并非奈奎斯特采樣頻率，而是遠低于奈奎斯特采樣頻率進行數(shù)據(jù)采集，同時能保證數(shù)據(jù)的可恢復性。

其次，CS的初衷是針對連續(xù)信號的A/D轉(zhuǎn)換，這里主要討論離散信號的CS理論。相對來講，它比較完善，容易理解。

2 CS理論架構(gòu)

CS過程實際上是用測量矩陣A對信號x進行“測量”，得到測量向量y。具體描述如下:設x為離散信號，A=Φ^·Ψ為m×n測量矩陣，且m=n。y=A·x，其中稱y為測量信號。圖1為CS的實現(xiàn)示意圖。

圖1 CS的概要圖Fig.1 Schematic diagram of CS

這時測量信號y的長度為m，遠遠小于原始信號長度n。這樣便實現(xiàn)了對信號x的壓縮。但是這樣一個矩陣乘法真的“感知”到原始信號x了嗎?換言之，如何從測量信號y恢復出x?回答這個問題之前，首先給出2個概念，即稀疏性和非一致性。

對于一個長度為n的離散信號x，若x中含有k個不為零的分量，并且k=n，則稱信號x為K-稀疏。假設x是稀疏信號，y=x+ω，其中，‖ω‖是一個很小的常數(shù)。也就是信號y偏離稀疏信號x很小的量，則稱信號y是近似稀疏的?，F(xiàn)實生活中很難找到在時域具有稀疏性的信號。例如聲音信號，圖像信號，既不是近似稀疏的更不是K-稀疏的。這就需要考慮如何把不稀疏的信號“變成”稀疏的信號，從而涉及到信號的變換域表示問題。對于信號x若存在一個基(或框架，字典)Ψ，使得x在Ψ上的投影結(jié)果為近似稀疏，則稱信號x是可壓縮的。用數(shù)學公式表達如下:x=Ψ·α，其中，α =αs+ω，αs是 K-稀疏向量且保持了α的絕大部分能量。

信號的稀疏表示是CS理論應用的基礎和前提，只有選擇合適的基(字典)來表示信號，才能保證信號的稀疏性，從而保證其恢復精度。在研究信號的稀疏表示時，可以通過變換系數(shù)衰減速度來衡量變換基的稀疏表示能力。傳統(tǒng)的Fourier變換、小波變換以及后小波理論中的各個變換的核函數(shù)都能夠?qū)π盘栠M行稀疏表示。從數(shù)學角度來講，信號的稀疏表示本質(zhì)上是典型的逼近論問題。

2組基Φ與Ψ之間的非一致性定義表示如下:對于字典D=［Φ，Ψ］，其中Φ和 Ψ是兩個n×n正交矩陣。Φ與Ψ之間的一致性定義如下:Ψj分別是Φ的第i行與Ψ的第j列。上述定義給出了基Φ與Ψ中元素間相關(guān)性的最大值。μ(Φ，Ψ)的取值范圍是這里所感興趣的是μ值小的字典。非一致性要求μ值越小越好，μ值越小，說明字典中的2個基越不一致。在CS理論中，2個基間的非一致性涉及信號的感知和表達，這是有效CS系統(tǒng)的一個至關(guān)重要的指標。

那么如何從測量信號y恢復出x?文獻［29］中的一個定理回答了該問題:

定理:設x∈in，且x在基 Ψ 上 K-稀疏，x=Ψ·α。在Φ中，等概率隨機地抽取m行，得到一個m×n矩陣。如果m≥c·μ2(Φ，Ψ)·k·log(n)，c為某一正的常數(shù)。那么x會以很大的概率從y中恢復出來。

可以通過如下的線性規(guī)劃問題來重構(gòu)x:

由上述定理可推出:要把原始信號x從測量信號y中恢復出來，須滿足x是K-稀疏的。同時也指出了在測量矩陣A=Φ·Ψ中，Φ是從正交基Φ中等概率隨機地抽取m行得到的一個m×n矩陣。常用的測量矩陣有高斯隨機矩陣和傅里葉隨機矩陣等。綜上所述，壓縮感知主要由信號的稀疏表示(Ψ)、測量矩陣的設計和信號重構(gòu)算法3個部分構(gòu)成。

在壓縮感知的3個部分中，一個合理的測量矩陣能夠保證K-稀疏信號x從n維空間映射到m維空間(m=n)過程中主要信息不丟失。在測量矩陣A=Φ^·Ψ中，Ψ用于信號的稀疏表示，一般是固定的，只有A滿足約束等距性(RIP)［30］，才能夠利用信號恢復算法準確重建出原始信號。由此，A的RIP性是通過Φ的設計實現(xiàn)的。RIP的定義為:

對于任意的 K-稀疏信號x，k=1，2，3，...，定義觀測矩陣A的等距常量δk滿足如下不等式:

若δk＜1，稱測量矩陣A滿足k階 RIP。

式(2)的一個等價說法是從矩陣A任意抽取k列所構(gòu)成的子矩陣是近似正交的，也可以理解為從矩陣A任意抽取k列所構(gòu)成的子空間并非是零空間，否則就不能從測量信號中重構(gòu)出原始信號。

測量矩陣的設計是CS理論中的難點之一，另外一個難點就是信號的重構(gòu)問題。由于最優(yōu)重構(gòu)信號的計算復雜度很高，所以大多數(shù)研究致力于尋找近似解。求近似解有兩個基本方法:一是貪婪算法，它是通過選擇合適的原子并經(jīng)過一系列的逐步遞增方法實現(xiàn)信號矢量的逼近，這些統(tǒng)稱為匹配跟蹤算法。二是基跟蹤算法，它是利用lp(0＜p≤1)范數(shù)通過線性規(guī)劃求解。第2種方法所求解更加精確，但是計算復雜度較高。

3 壓縮感知理論在圖像處理中的應用

這里主要介紹CS理論在成像系統(tǒng)、圖像融合、目標識別以及圖像跟蹤等方面的應用。

3.1 成像系統(tǒng)

在成像方面，CS理論的出現(xiàn)激起了人們研究新型傳感器的熱情，CS采樣對昂貴的成像器件的設計產(chǎn)生了重大影響。在地震勘探和核磁共振成像中，對于目標信號，將有望采用少量的隨機觀測次數(shù)就能獲得高精度重構(gòu)［31-32］;取代傳統(tǒng)數(shù)碼相機拍照時采集大量像素的一種新型單像素CS相機已經(jīng)得到論證。相對于CS的理論研究進展，其硬件實現(xiàn)還處于起步階段［33-35］。

美國Rice大學也已經(jīng)研制出單像素相機，如圖2所示。該相機具有一種全新的相機結(jié)構(gòu)，使用數(shù)字微鏡陣列完成圖像在偽隨機二值模型上線性投影的光學計算。它可利用單一的信號光子檢測器采樣得到比圖像像素點數(shù)少得多的點恢復圖像，并具有對圖像波長自適應的能力，這種自適應能力是傳統(tǒng)的CCD和CMOS成像器件所不具備的。ARI-ZONA大學Baheti和Neifeld設計了具有特定功能的結(jié)構(gòu)成像設備，DUCK大學研制了單景光譜成像裝置。然而由于壓縮重構(gòu)算法的計算量比較大，難以達到實時性要求，因此實時高性能壓縮感知成像系統(tǒng)是未來重要的研究方向。

圖2 單像素相機Fig.2 Single pixel camera

3.2 圖像融合

圖像融合［36］是信息融合范疇內(nèi)以圖像為對象的研究領(lǐng)域。圖像融合將多個成像傳感器或同一成像傳感器在不同模式下獲取的同一場景的圖像信息加以綜合，獲取更為精確、全面、可靠的圖像描述。圖像融合技術(shù)在自動目標識別、計算機視覺、遙感、機器人、自動小車、復雜智能制造系統(tǒng)、醫(yī)學圖像處理以及軍事應用等領(lǐng)域有著廣泛的應用潛力。

將不同模式下的待融合圖像采用CS理論進行稀疏表示，使其在測量舉證的作用下，用遠小于原圖像的數(shù)據(jù)量進行計算得到融合結(jié)果，采用重構(gòu)算法將融合結(jié)果還原為圖像表示，可節(jié)省中間融合所需的計算量，并且能夠更好地利用原圖像中像素間的內(nèi)在聯(lián)系，是一個非常值得研究的課題。

圖3 CS用于圖像融合的流程框圖Fig.3 Frame of image fusion by using CS

3.3 目標識別

目標識別是計算機視覺和圖像處理中的一個重要課題，其在軍事、安防、農(nóng)業(yè)、機器人控制等方面都有較好的應用前景。目標識別是指在圖像/視頻中尋找指定的物體(目標)，對于人類來說，即使小孩子也能很輕松地在復雜圖像中找到所需要的物體，哪怕是目標被遮擋、發(fā)生形變、模糊不清等情況。而對于計算機來說，這是一個非常富有挑戰(zhàn)的課題。

文獻［37］將CS理論應用于雜草種子分類識別中，文中首先對待處理的圖像進行規(guī)范化，包括對圖像進行校準使每幅圖像中種子均在圖像的正中間并且方向向上，圖像均以黑色作為背景。

假定一個類中的樣本都是在一個子空間中，如果第i類訓練樣本充足，那么任意一個同類的且不在訓練集中的測試樣本都可以大致由同類樣本線性組合來表示，若將訓練圖像按行、列重組為一列，將n個不同類的訓練圖像組成一個矩陣，即，第i，i=1，…，n的類內(nèi)訓練圖像為mi幅，訓練圖像大小為w*h，則訓練矩陣A的大小為(w×，測試圖像y可由式(3)得:

若測試圖像y屬于訓練集中的某一類j，則x0中只有與j類對應的元素非零，其他元素均為零，即系數(shù)向量是稀疏向量，可用訓練樣本本身作為基元素去表示測試樣本。求解該過程就如CS中的求解重建稀疏信號的優(yōu)化方程，最后歸結(jié)為求解lp范數(shù)意義下的優(yōu)化問題，以獲得x0的精確解或近似逼近解。

文獻［31］的仿真實驗結(jié)果表明:基于CS理論的分類方法優(yōu)于主成分分析(PCA)+最近鄰點(NN)算法以及衡量稀疏表示算法的分類效果。

3.4 目標跟蹤

視頻目標跟蹤是使用可見、紅外等被動式成像傳感器實現(xiàn)目標測量的核心技術(shù)之一，是目標識別、視頻圖像的壓縮編碼等高層次的視頻處理和應用理解的基礎，也是視頻監(jiān)控技術(shù)自動化和實時應用的關(guān)鍵。目標跟蹤的實質(zhì)是通過對圖像傳感器拍攝到的視頻序列進行分析，計算出目標在每幀圖像中的位置、大小和運動速度。

文獻［38-40］闡述了基于CS理論的目標跟蹤。首先對目標進行建模，而后對后續(xù)幀圖像進行相應的模型建立，將求取兩模型最相似的問題轉(zhuǎn)化為求取某相似參數(shù)的l1范數(shù)最小化問題，對高數(shù)據(jù)維的特征信息處理有明顯優(yōu)勢，但是計算量大，復雜度高，是否對所有目標都具有魯棒的跟蹤效果有待于在目標跟蹤方面做進一步研究。

4 結(jié)束語

CS理論自從被D.Donoho(美國科學院院士)、E.Candes(Ridgelet，Curvelet創(chuàng)始人)及 T.Tao(華裔科學家，2006年菲爾茲獎獲得者，2008年被評為世界上最聰明的科學家)等人提出后，在信息論、信號/圖像處理、醫(yī)療成像、模式識別、地質(zhì)勘探、光學/雷達成像、無線通信等領(lǐng)域受到高度關(guān)注，并被美國科技評論評為2007年度10大科技進展之一。

本文簡要說明了壓縮感知理論的基本原理，及其目前在國內(nèi)的發(fā)展現(xiàn)狀和應用推廣。CS理論使采集很少一部分數(shù)據(jù)并且從這些少量數(shù)據(jù)中“解壓縮”出更大量信息的想法變成可能，開拓了在信息處理方面的新思路。隨著其理論的完善和應用推廣，其劃時代的意義不言而喻。

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