王蘭

西安航空職業(yè)技術(shù)學院，陜西 西安

大傳動比減速器動力學建模及分析

王蘭

西安航空職業(yè)技術(shù)學院，陜西 西安

重視機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學問題，研究機械系統(tǒng)在實際工作狀態(tài)下的受力變化、運動情況及其動態(tài)行為，以滿足機械結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)特性及低振動、低噪聲的要求。因此，有必要對所設計的減速器系統(tǒng)進行扭振動力學分析，找到影響動態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為進一步動態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計、提高減速器的動態(tài)性能提供了理論依據(jù)。

傳動比；動力學；數(shù)學模型；扭轉(zhuǎn)；振動

Drive ratio;Dynamics;Mathematical model;torsional;Viberation

機械臂在探測器執(zhí)行任務中起著決定性的作用，機械臂的各個關(guān)節(jié)的減速器必須具有較輕的質(zhì)量，以減輕關(guān)節(jié)驅(qū)動電機的負載，而且應該具有較大的傳動比以提高機械臂機械手的控制品質(zhì)。因此，小體積、大傳動比、高轉(zhuǎn)矩、高效率減速器的研制開發(fā)已成為減速器產(chǎn)品研究的新課題。本文對所設計的減速器系統(tǒng)進行扭振動力學分析，找到影響動態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為進一步動態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計、提高減速器的動態(tài)性能提供了理論依據(jù)。

1.系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動力學模型的建立

減速器結(jié)構(gòu)如圖1所示,為了分析該傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，首先需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動力學模型。根據(jù)各種零件動力學作用的不同，可把組成系統(tǒng)的各元件分成兩類，即慣性元件和彈性元件。

A.將軸上的齒輪和其他質(zhì)量較大而直徑比較小的零件作為只有慣性而無彈性的慣性元件。

B.計算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動慣量，將各軸段的轉(zhuǎn)動慣量迭加到該軸的兩慣性元件上，各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應與兩慣性元件之間實際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。

C.將各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段,轉(zhuǎn)換到同一軸線上，構(gòu)成單一軸線的當量圓盤系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動力學模型。

圖1 減速器傳動系統(tǒng)機構(gòu)簡圖

1.1 慣性元件的等效轉(zhuǎn)動慣量

假設輸入軸上齒輪的角速度為ω1,外齒輪2，3的自轉(zhuǎn)速度為ωz2、公轉(zhuǎn)速度為ωg2,J’

1表示外齒輪1的轉(zhuǎn)動慣量，J’2表示外齒輪2，3的轉(zhuǎn)動慣量。由于三齒輪表面經(jīng)過滲碳淬火，彈性變形很小(嚙合處的彈性元件可以忽略)，所以相嚙合的3個齒輪可合并成一個慣量元件,轉(zhuǎn)換后該等效元件的當量轉(zhuǎn)動慣量為J1。按動能相等原則有

圖2 軸的轉(zhuǎn)動慣量分配

設等效分配到慣性元件1上的轉(zhuǎn)動慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉(zhuǎn)動慣量為J02,則有所有軸的轉(zhuǎn)動慣量，均可作同樣的處理，從而求得系統(tǒng)振動中各單元的轉(zhuǎn)動慣量如表1所示。

1.2 彈性元件扭轉(zhuǎn)剛度的確定

1 )軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學的理論，軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中G—為材料的剪切彈性模量；

l—為軸的受扭長度(mm)；

Jp—為軸的極慣性矩(m4)。

利用上述公式，求出各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度k1,k2,……,kn，再根據(jù)剛度串聯(lián)公式(8)：

將各軸段的剛度串聯(lián)起來，從而求得整根軸的扭轉(zhuǎn)剛度k。

2 )軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度

彈性元件按轉(zhuǎn)換前后勢能相等的原則進行轉(zhuǎn)換,其通用轉(zhuǎn)換公式為

上式為r軸上的彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度kr向s 軸轉(zhuǎn)換后得到的新扭轉(zhuǎn)剛度ks。

假設該軸的彎曲應變能為U1，扭轉(zhuǎn)應變能為U，等效扭轉(zhuǎn)應變能為U，則

式中P——軸上承受的集中力 ；

J——極慣性矩;

E——拉壓彈性模量;

G——剪切彈性模量;

x——軸向長度變量;

ψ——扭轉(zhuǎn)角;

l——軸段長度。

即可得到曲柄軸段的等效扭轉(zhuǎn)剛度為：

式中 k—只考慮扭轉(zhuǎn)變形時軸段的扭轉(zhuǎn)剛度(N.mm/rad)；

R —曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉(zhuǎn)半徑 (mm)。

1.3 軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的確定

軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin和C.Lee等的分析，其扭轉(zhuǎn)阻尼可根據(jù)下式進行計算：

式中ks—軸類零件的扭轉(zhuǎn)剛度 (N.m/rad)；

ξs—軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，根據(jù)D.R.Houser等的實驗研究

J1J2—分別為軸類零件兩端慣性元件的轉(zhuǎn)動慣量(kg.m2)。

在按照上述公式將各軸的剛度和阻尼轉(zhuǎn)換到輸入軸上后,根據(jù)該減速器各元件的實際尺寸計算得到表2和表3的數(shù)值。

表2 各彈性元件的等效剛度(N.mm/rad)

表3 各彈性元件的等效扭轉(zhuǎn)阻尼(N.mm.s/rad )

2.系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動數(shù)學模型的建立

2.1 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)中慣性元件的數(shù)學模型

圖3為慣性元件的力學模型,Jj為元件轉(zhuǎn)動慣量, fj為外加激振力矩,兩端與相鄰元件的連接點分別為 jL和jR,作用于該元件左右兩端的扭矩與扭角分別為

圖3 慣性元件的力學模型簡圖

2.2 系統(tǒng)扭振數(shù)學模型的建立

圖3中所示的諧波傳動系統(tǒng)是由十四個二端元件組成,七個慣性元件和七個彈性元件,利用傳遞矩陣的原理,建立系統(tǒng)的扭振數(shù)學模型。將圖中十四個元件從左到右依次編號為，則其各個二端元件的數(shù)學模型分別為：

方程(19)為一個累積矩陣的數(shù)學模型。用它可以對扭振系統(tǒng)進行計算、分析和評價，也可以進行系統(tǒng)的修改和優(yōu)化設計。3.扭振動力學分析

利用前面建立起來的減速器系統(tǒng)的動力學模型對減速器系統(tǒng)進行扭振分析。

本文采用數(shù)值法編制MATLAB程序?qū)ζ溥M行迭代求解，流程圖如圖4所示。另外，利用該程序還繪制出了減速器系統(tǒng)的振型曲線，如圖5所示。由振型曲線圖可以看出5～6之間振幅劇增，即此環(huán)節(jié)最弱,主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可。通過適當增大軸的直徑或減小其長度可以提高其扭轉(zhuǎn)剛度。本文將軸頸增大2mm后得到新的振型如圖6所示。

圖4 固有頻率求解流程圖

圖6 調(diào)整后的振型曲線

4.小結(jié)

為了保證減速器具有良好的動態(tài)性能必須對減速器進行動力學分析。根據(jù)集中參數(shù)法將減速器的各個零件簡化成相應的慣性元件和彈性元件，建立了減速器系統(tǒng)的動力學模型。同時，根據(jù)能量守恒定理將各慣性元件和彈性元件轉(zhuǎn)換到輸入軸上，進一步得到了適于用傳遞矩陣法進行動力學分析的等效動力學模型。在建立起慣性元件和彈性元件動力學數(shù)學模型的基礎上，利用傳遞矩陣法建立了減速器系統(tǒng)的動力學數(shù)學模型。利用所建立的動力學模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動，得到了該系統(tǒng)的固有頻率和各階振型等動態(tài)特性參數(shù)，結(jié)果表明，該裝置具有良好的動態(tài)特性，非常適合用于空間機械臂傳動及其他精密機械傳動中。

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Attention to the dynamics of mechanical structure system to study the mechanical system in the state of the actual work force change, movement and their dynamic behavior to meet the mechanical structure of static and dynamic characteristics and low vibration and low noise requirements. Therefore, it is necessary to the design of the gear torsional vibration analysis system, find the weak link of the dynamic characteristics, dynamic structure for the further optimization of design to improve the dynamic performance of gear to provide a theoretical basis.

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.19.051