張德全

（桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)校，廣西 桂林 541004）

輸油管的布置模型

張德全

（桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校，廣西 桂林 541004）

管線費(fèi)用；中位數(shù)；最優(yōu)；最優(yōu)方案

2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 C題是“輸油管的布置”，其關(guān)鍵問題是：（1）三家工程咨詢公司對附加費(fèi)用進(jìn)行估計，分別為21、24、20（萬元/千米），由于這三家工程咨詢公司資質(zhì)不同，選擇切合實(shí)際的附加費(fèi)用才能給出輸油管布置的最優(yōu)方案；（2）針對題目的要求，可以建立管線費(fèi)用不同的最優(yōu)模型，而最終應(yīng)給出管線費(fèi)用統(tǒng)一的最優(yōu)模型；（3）其最優(yōu)方案還要考慮管線的美觀性。文章選取中位數(shù)21（萬元/千米）作為附加費(fèi)用，建立了管線費(fèi)用統(tǒng)一的最優(yōu)模型，得到管線最少費(fèi)用在區(qū)間[249.4422萬元，252.8104萬元]內(nèi)，并考慮到管線與城區(qū)分界線以及鐵路之間的布局的合理性、美觀性與和諧性，確定出最優(yōu)方案的其他三個選擇方案。

（一）問題重述與模型假設(shè)

1.問題重述

某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用（以下簡稱管線費(fèi)用）最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。要求：（1）針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形；（2）設(shè)計院目前需對一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖1所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖1中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖1中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線（以下簡稱城區(qū)分界線）用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米 7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進(jìn)行了估算。公司一、公司二、公司三附加費(fèi)用（萬元/千米）估算結(jié)果分別為21、24、20，要求為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用；（3）在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。

圖1

2.模型假設(shè)和符號約定

根據(jù)題目的要求，有以下假設(shè)和符號約定：

（1）鐵路為一幾何線而不計寬度。設(shè)計路線時，不考慮管道轉(zhuǎn)彎角度以及地面坡度，不考慮地質(zhì)情況以及氣候條件等影響；管線按直線鋪設(shè)，除所給不同費(fèi)用外，不再考慮其他費(fèi)用，并約定管線建設(shè)費(fèi)用簡稱為管線費(fèi)用，兩個區(qū)域的分界線簡稱為城區(qū)分界線，拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用簡稱為附加費(fèi)用。

（3）P表示煉油廠A和煉油廠B輸送管線接點(diǎn)，如圖5所示，Q表示車站，當(dāng) PQ= 0時，P點(diǎn)和Q點(diǎn)重合；F表示城區(qū)分界線與鋪設(shè)管線的交點(diǎn)。

（二）模型的建立與求解

1.附加費(fèi)用 按中位數(shù)選取

平均數(shù)分為算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。而平均數(shù)又有簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)之分。若按簡單算術(shù)平均數(shù)計算，≈ 21.6667。從本題可看到，使用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)才能反映實(shí)際情況。但題目沒有給出權(quán)數(shù)，若咨詢公司按具有甲級資質(zhì)、乙級資質(zhì)定義權(quán)重分別為 0.6和 0.4（其他級別資質(zhì)咨詢公司權(quán)重忽略不計）計算，即可反映乙級資質(zhì)咨詢公司的一般估算水平。的取值與中位數(shù)21很接近。從數(shù)據(jù)資料來看，極大值24影響了平均數(shù)，而具有甲級資質(zhì)的咨詢公司更具有權(quán)威性，因此取中位數(shù)21較合適，具有較高的代表性。

2.最小管線費(fèi)用模型的建立

（1）P點(diǎn)在矩形區(qū)域MGEC內(nèi)

如果P點(diǎn)在矩形MGEC區(qū)域之外（見圖 2），簡單的計算就可以判斷其之外任意一點(diǎn)建立模型，所用相應(yīng)管線長度大于矩形內(nèi)建立模型所用管線長度，使費(fèi)用提高，所以P點(diǎn)在矩形區(qū)域MGEC內(nèi)。

（2）P=Q，所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用相同均為7.2（萬元/千米）時的模型利用勾股定理容易得到（見圖3）模型為：

圖2

圖3

用Mathematical軟件計算得解為：

（3）輸送A廠成品油每千米5.6萬元，輸送B廠成品油每千米6.0萬元，附加費(fèi)用取λ=21時的模型

（4）輸送A廠成品油每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，附加費(fèi)用λ=21，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元， P, F, B三點(diǎn)在一直線上時的模型P點(diǎn)的情況有兩種，見圖4和圖5。

圖4

圖5

（5）輸送A廠成品油每千米5.6萬元，輸送B廠成品油每千米6.0萬元，附加費(fèi)用λ=21，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元， P, F, B三點(diǎn)不在一直線上時的模型

P點(diǎn)的情況有兩種，見圖6和圖7：

圖6

圖7

用LINGO軟件計算得解為：

（三）模型的統(tǒng)一和 取20、21、24以及按簡單算術(shù)平均數(shù)21.6667計算的最優(yōu)值列表

1.統(tǒng)一模型

根據(jù)以上計算可知，可以把以上四個模型統(tǒng)一為模型：

由統(tǒng)一模型Ⅴ，使用LINGO軟件，容易計算 取20、21、24、21.6667時的最優(yōu)值，其中21.6667是按簡單算術(shù)平均數(shù)計算得出的值，列表如下：

表1 取20、21、24、21.6667時最優(yōu)值表

表1 取20、21、24、21.6667時最優(yōu)值表

工程咨詢公司 資質(zhì) 附加費(fèi)用λ（萬元/千米） x y z 最優(yōu)值（萬元）minS(x,y,z)公司一 甲級 21 6.7423 0.1327 7.2659 249.4422公司二 乙級 24 6.8065 0.8639 7.1642 256.6524公司三 乙級 20 6.7606 0.1195 7.2370 244.3865按簡單平均數(shù)λ＝21.6667計算 21.6667 6.7310 0.1409 7.2839 252.8104

（四）在λ=21時，其它最優(yōu)方案的計算與分析

以上計算來看只考慮了問題的最優(yōu)解，得到y(tǒng)=0.132千米，z＝7.266千米，但是沒有考慮管線和城區(qū)結(jié)合線以及與鐵路之間的布局的合理性，美觀以及與自然的和諧性?？梢钥吹?，y=0千米， z=8千米時比最優(yōu)解更好，這時輸油車站建在鐵路線上。以下對四個特殊情況進(jìn)行計算，并與=21時的最優(yōu)解進(jìn)行比較和分析。

1.y=0且BF與EF平行的情況

這個結(jié)果比最優(yōu)結(jié)果249.442萬元多增加費(fèi)用1.697萬元。

圖8

圖9

2. y≥ 0且BF與EF平行的情況

因?yàn)锽F與EF平行，見如圖9，所以z=8，應(yīng)用最優(yōu)模型Ⅳ，即

這個結(jié)果比最優(yōu)結(jié)果249.442萬元多增加費(fèi)用0.432萬元。

因?yàn)锽F與EF平行見如圖9，所以z=8，應(yīng)用最優(yōu)模型Ⅳ，即

這個結(jié)果比最優(yōu)結(jié)果249.442萬元多增加費(fèi)用12.020萬元。

圖10

圖11

4. x=0且BF與EF平行的情況

這個結(jié)果比最優(yōu)結(jié)果249.442萬元多增加費(fèi)用13.340萬元。

5.四種特殊方案的分析

從以上結(jié)果來看，方案 1與最優(yōu)結(jié)果比較僅僅增加費(fèi)用不超過 1.697萬元，比最優(yōu)方案花費(fèi)增加不多，并且輸油車站建在鐵路線上，這是個不錯的選擇。方案 2中y=0.467千米，可合并為方案 1。若考慮管線與城區(qū)結(jié)合線和鐵路之間的布局的合理性、美觀以及與自然的和諧性，也可以選擇方案3（圖10）和方案4（圖11）。因此方案1（圖8）、3（圖10）、4（圖11）是最優(yōu)方案的其他選擇方案。

（五）模型的評估與分析

模型比較符合實(shí)際，直觀，便與應(yīng)用；2.得到統(tǒng)一模型Ⅴ和模型Ⅵ，使得模型Ⅰ，模型Ⅱ，模型Ⅲ，模型Ⅳ均為參數(shù)α , β, λ, μ取不同值的特殊情況；考慮了布局的合理性、美觀性，給出了特殊情況下管道費(fèi)用，并與最優(yōu)解比較，確定出最優(yōu)方案的其他選擇三個方案；選取中位數(shù)21萬元作為附加費(fèi)用 的值，與實(shí)際最優(yōu)值最接近，但也會有一定的誤差。

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2011-01-08

廣西壯族自治區(qū)教育廳“新世紀(jì)教改工程”課題(桂教高教[2006]194 號) , 廣西教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年度立項(xiàng)課題（桂教科學(xué)[2010]8號）

張德全（1959－），男，河南漯河人，桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校計算機(jī)系教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育、組合數(shù)學(xué)。