王建新白福忠寧 禹 黃林海 姜文漢

1)(中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，成都 610209)

2)(中國(guó)科學(xué)院自適應(yīng)光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610209)

3)(中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100049)

4)(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院，呼和浩特 010051)

5)(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)光電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

(2010年7月2日收到;2010年8月9日收到修改稿)

無調(diào)制兩面錐波前傳感器的衍射理論分析和數(shù)值仿真*

王建新1)2)3)?白福忠1)2)3)4)寧 禹1)2)5)黃林海1)2)姜文漢1)2)

1)(中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，成都 610209)

2)(中國(guó)科學(xué)院自適應(yīng)光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610209)

3)(中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100049)

4)(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院，呼和浩特 010051)

5)(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)光電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

(2010年7月2日收到;2010年8月9日收到修改稿)

兩面錐波前傳感器(two-sided pyramid wavefront Sensor，TSPWFS)是一種高空間采樣率和高光能利用率的波前傳感器.為了深入研究它的波前復(fù)原原理，采用波動(dòng)光學(xué)理論詳細(xì)推導(dǎo)了無調(diào)制TSPWFS的衍射理論，給出了無調(diào)制TSPWFS波前復(fù)原時(shí)線性重構(gòu)矩陣的解析解，并且通過數(shù)值仿真確定出最佳的光瞳像中心間距，并對(duì)靜態(tài)像差的波前復(fù)原及閉環(huán)校正進(jìn)行數(shù)值仿真.分析結(jié)果表明，無調(diào)制TSPWFS具有波前復(fù)原時(shí)不需要現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量響應(yīng)矩陣，可以校正系統(tǒng)像差，閉環(huán)校正結(jié)果穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，可以在實(shí)際自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行波前探測(cè).

自適應(yīng)光學(xué)，兩面錐波前傳感器，波前復(fù)原

PACS:95.75.Qr，42.68.Wt，42.30.Kq

1.引 言

自1996年 Ragazzoni［1］提出四棱錐波前傳感器(PWFS)以來，人們對(duì)它的研究一直在不斷地進(jìn)行［2—8］.與自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中其他的波前傳感器如哈特曼-夏克波前傳感器［9—11］相比，PWFS 具有空間采樣率高的優(yōu)點(diǎn);與自參考干涉波前傳感器［12］相比較，PWFS具有光能利用率高的優(yōu)點(diǎn)［13］.PWFS按照工作方式可以分為調(diào)制［1，14，15］和無調(diào)制［16］兩種方式，無調(diào)制PWFS具有光路簡(jiǎn)單、能夠觀測(cè)更弱星等的優(yōu)點(diǎn)［17］.通過分析無調(diào)制 PWFS的衍射理論發(fā)現(xiàn):兩面錐可以代替四棱錐對(duì)入射光波進(jìn)行分光，由此所建立的兩面錐波前傳感器(TSPWFS)具有更好的波前探測(cè)效果.

目前，人們對(duì)TSPWFS的研究仍處于初級(jí)階段.Philion和 Baker［18］于2006年提出直接相位復(fù)原算法，其原理類似于白光干涉儀，但僅對(duì)小像差進(jìn)行了數(shù)值仿真分析.Korkiakoski［19］在其論文中簡(jiǎn)單地提及了TSPWFS，也未對(duì)TSPWFS的波前復(fù)原原理、相關(guān)參數(shù)以及傳感器特性進(jìn)行具體分析.

本文首先詳細(xì)推導(dǎo)了無調(diào)制TSPWFS的衍射理論，結(jié)果表明這與傅科刀口衍射理論［20］完全一致，具有小像差測(cè)量精確、大像差需要閉環(huán)的特點(diǎn);進(jìn)一步分析了無調(diào)制TSPWFS的線性區(qū)域，可以利用線性重構(gòu)算法復(fù)原波前;另外分析了相鄰光瞳像中心間距對(duì)測(cè)量精度的影響;給出了線性重構(gòu)矩陣的解析解，并利用該重構(gòu)矩陣進(jìn)行波前復(fù)原;最后通過數(shù)值仿真對(duì)參數(shù)選擇、波前復(fù)原及閉環(huán)校正進(jìn)行分析.這些理論分析以及仿真結(jié)果為兩面錐器件的參數(shù)設(shè)計(jì)以及TSPWFS光路設(shè)計(jì)和波前復(fù)原提供了依據(jù).

2.無調(diào)制TSPWFS理論

無調(diào)制TSPWFS的原理如圖1所示.分束鏡首先將入射光分成兩路，每路光均經(jīng)過兩個(gè)傅里葉透鏡組成的4f縮束系統(tǒng)以及一個(gè)兩面錐(屋脊棱錐)，其中，透鏡1(或透鏡3)的焦距為f1，透鏡2(或透鏡4)的焦距為 f2;兩個(gè)兩面錐的對(duì)稱棱邊相互正交(其中一個(gè)沿水平方向，另一個(gè)沿垂直方向)，且棱邊放置于4f系統(tǒng)的焦平面.兩面錐將透鏡1(或透鏡3)聚焦后的光束沿垂直于對(duì)稱棱邊的方向分成兩束，每一束只攜帶一半的頻譜信息，然后經(jīng)過另一個(gè)透鏡2(或透鏡4)后成像在CCD圖像探測(cè)器.Ix+，Ix－分別表示x方向上的兩個(gè)光瞳像光強(qiáng)分布，Iy+，Iy－分別表示y方向上的兩個(gè)光瞳像光強(qiáng)分布.進(jìn)一步分析同一方向的光瞳像的光強(qiáng)差異，可以計(jì)算x和y方向的測(cè)量信號(hào)Sx和Sy.

設(shè)入射光瞳處的光場(chǎng)為

其中，u0和φ(x，y)分別表示入射光場(chǎng)的強(qiáng)度和相位，P為光瞳函數(shù)，λ為波長(zhǎng).光場(chǎng) E1(x，y)被分束鏡分成兩路，分束鏡的透射率與反射率之比等于a/b，傳播至透鏡焦平面處的光場(chǎng)可用它的傅里葉變換 E2x(u，v)和 E2y(u，v)來表示如下:

棱邊分別與x和y軸相垂直時(shí)，焦平面處兩面錐的相位延遲函數(shù)分別表示為

其中，m=0表示光線落在坐標(biāo)軸正方向的錐面，m=1表示光線落在坐標(biāo)軸負(fù)方向的錐面，sgn(u)為折射率，α表示錐側(cè)面與底面之間的夾角.兩面錐后的光場(chǎng)復(fù)振幅為:

接著該光場(chǎng)經(jīng)過中繼透鏡2(或透鏡4)成像在CCD圖像傳感器，此處沿x和y方向分束的光場(chǎng)復(fù)振幅分別表示為

式中，“＜”表示卷積.(8)和(9)式中的最后一項(xiàng)卷積部分等效于一個(gè)位置平移作用，在分析光瞳像面上光場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)不需要考慮這一項(xiàng)的影響，此后，光瞳像的復(fù)振幅簡(jiǎn)化為

式中Re()表示取復(fù)振幅實(shí)部，“*”為共軛符號(hào).通過比較同一方向兩個(gè)光瞳像之間的光強(qiáng)差異可以得到測(cè)量信號(hào)Sx和Sy

將(14)式代入(15)和(16)式，整理后得到測(cè)量信號(hào)與待測(cè)波前之間的關(guān)系式

上面兩式中積分限P(x)和P(y)表示過(x，y)垂直于坐標(biāo)軸的直線與光瞳函數(shù)邊界交點(diǎn).

從(19)和(20)式可以看出，當(dāng)被測(cè)波前為小像差時(shí)，無調(diào)制TSPWFS的測(cè)量信號(hào)是該探測(cè)點(diǎn)與其他各點(diǎn)畸變波前之差的加權(quán)平均，而相鄰點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的影響權(quán)值最大.即使對(duì)于小像差測(cè)量，將測(cè)量信號(hào)等效成波前偏導(dǎo)信息僅保留了信號(hào)中的主要信息.由CCD探測(cè)器記錄的光強(qiáng)信息得到的測(cè)量信號(hào)Sx和Sy是前N階Zernike項(xiàng)在系數(shù)較小時(shí)各階信號(hào)Gxk與Gyk的線性疊加.

式中的波前復(fù)原矩陣G+表示響應(yīng)矩陣G的廣義逆，通過采用奇異值分解法(SVD)計(jì)算得到.

當(dāng)待測(cè)波像差較大時(shí)，(17)和(18)式中正弦函數(shù)使用泰勒低階展開代替時(shí)的誤差較大，此時(shí)測(cè)量信號(hào)不再具有線性結(jié)構(gòu)，因此使得無調(diào)制 TSPWFS不能再準(zhǔn)確地進(jìn)行波前測(cè)量.然而由于測(cè)量信號(hào)的斜率測(cè)量趨勢(shì)是正確的，于是就可以使用變形鏡對(duì)入射光場(chǎng)進(jìn)行負(fù)反饋閉環(huán)校正.

3.數(shù)值仿真

3.1.光瞳像中心間距的確定

光瞳像的復(fù)振幅是入射光瞳的復(fù)振幅與兩面錐相位延遲函數(shù)的逆傅里葉變換的卷積，這會(huì)造成CCD圖像探測(cè)器上光瞳像周圍存在衍射效應(yīng)，當(dāng)兩個(gè)光瞳像相隔很近的時(shí)候，衍射造成的外溢能量就會(huì)落到相鄰光瞳像內(nèi)部，從而影響測(cè)量的精度.為減小這一現(xiàn)象對(duì)波前測(cè)量和閉環(huán)校正的影響，光瞳像之間要有一定間隔，光瞳像的能量外溢寬度越寬，取得最佳復(fù)原精度所需的光瞳像中心間隔就越大.光瞳像中心間隔與光瞳像的比值用參數(shù)M來表示，M=2α(n－1)f1/d.通過數(shù)值仿真確定出最佳的M值，進(jìn)而為光學(xué)系統(tǒng)中一些主要參數(shù)(兩面錐底角α，光學(xué)系統(tǒng)F數(shù)f1/d)的設(shè)計(jì)提供依據(jù).

仿真中假設(shè)4f系統(tǒng)放大率等于1，在511×511像素的圖像中心選擇一個(gè)63×63像素的圓形區(qū)域作為入射光瞳的有效區(qū)域.通過對(duì)入射波前進(jìn)行傅里葉變換得到焦平面處的復(fù)振幅，引入描述兩面錐分光作用的相位延遲函數(shù)Φx和Φy后再對(duì)振幅濾波結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換得到光瞳像強(qiáng)度分布.圖2顯示了平面波經(jīng)過TSPWFS后在水平方向的兩組光瞳像，可以看出，由幾何光學(xué)所決定的光瞳像的周圍會(huì)有衍射現(xiàn)象存在，當(dāng)光瞳中心間隔較近時(shí)，兩個(gè)光瞳像之間光強(qiáng)分布相對(duì)較強(qiáng)，并且光瞳像內(nèi)部(有效區(qū)域)的光強(qiáng)分布也受到兩光瞳像之間干涉作用的影響.為了減小這種干涉作用對(duì)測(cè)量精度和閉環(huán)穩(wěn)定性的影響，同時(shí)又能最大限度地利用CCD圖像探測(cè)器的靶面，我們需要選擇合適的光瞳像中心間距，為此進(jìn)行了數(shù)值仿真.

圖2 平面波經(jīng)過TSPWFS后在水平方向的兩組光瞳像 (a)M=1.2，(b)M=3.5

波前復(fù)原精度β定義為殘余波前的均方根誤差(RMS)與原始波前的RMS之比.首先對(duì)一個(gè)d/r0=2波前誤差較小的Kolmogorov大氣湍流相位屏進(jìn)行波前復(fù)原(3至65階Zernike像差組成，d表示入瞳直徑，r0表示Fried常數(shù)，波面 RMS值等于0.08λ，峰谷值等于0.5λ)，其復(fù)原精度隨M的變化關(guān)系如圖3(a)所示.對(duì)于兩組不同的空間采樣率，復(fù)原精度隨著光瞳像中心間距的增加呈現(xiàn)出的變化規(guī)律一致，隨著光瞳中心間隔變大先提高后趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)，在M>3后復(fù)原精度幾乎不隨著M的變大而有所提高，而且采樣率高時(shí)復(fù)原精度高.圖3(b)是對(duì)一個(gè)d/r0=20波前誤差較大的大氣湍流相位屏(RMS值等于0.93λ，峰谷值等于4.53λ)進(jìn)行閉環(huán)校正，在經(jīng)過17次閉環(huán)迭代以后復(fù)原精度隨M的變化關(guān)系.同樣可以得到上面的結(jié)論，即M>3閉環(huán)校正精度較高且基本不變化，而M<1.4時(shí)即使增加閉環(huán)迭代次數(shù)，校正精度也不再提高.圖3表明光瞳像中心間距對(duì)波前復(fù)原精度的影響很大，同時(shí)又影響一定像素?cái)?shù)的CCD的靶面利用率，從而影響波前探測(cè)的采樣密度，M應(yīng)選擇為2—3.實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)采樣密度.測(cè)量精度和閉環(huán)速度進(jìn)行折中選擇.當(dāng)用于波前測(cè)量時(shí)，M值應(yīng)大一些，而用于閉環(huán)時(shí)則可以小一些，既可以保證CCD靶面的利用率和采樣密度，同時(shí)又能兼顧波前測(cè)量和閉環(huán)校正的精度.

圖3 β隨M的變化關(guān)系 (a)對(duì)d/r0=2的湍流相位屏靜態(tài)像差復(fù)原結(jié)果，(b)對(duì)d/r0=20的湍流相位屏閉環(huán)校正結(jié)果

3.2.靜態(tài)像差波前復(fù)原及閉環(huán)校正

下面的仿真中選擇 M=3，空間采樣率為63×63.首先對(duì)RMS值分別等于0.02λ和0.1λ的單階Zernike像差進(jìn)行波前復(fù)原，對(duì)應(yīng)的復(fù)原精度如圖4所示.單階Zernike像差的數(shù)值仿真結(jié)果表明:1)高階Zernike像差的復(fù)原精度普遍低于低階像差;2)原始波前 RMS值越大，復(fù)原精度越低.因此，對(duì)于較大像差，TSPWFS的復(fù)原結(jié)果已經(jīng)不能滿足測(cè)量精度要求，需要采用閉環(huán)校正.

圖5 d/r0=20大氣湍流相位屏閉環(huán)校正過程中波前RMS值的變化曲線

接下來對(duì)一個(gè)d/r0=20的大氣湍流相位屏(RMS值等于0.70λ，峰谷值等于3.66λ)進(jìn)行閉環(huán)校正，圖5顯示在15次迭代過程中殘余波前RMS值的變化曲線.結(jié)果顯示，隨著迭代次數(shù)的增加，殘余波前RMS值迅速降低，當(dāng)?shù)螖?shù)大于6次后殘余波前RMS值接近于零且趨于穩(wěn)定.仿真數(shù)據(jù)表明TSPWFS閉環(huán)校正結(jié)果穩(wěn)定，可以用于在實(shí)際自適應(yīng)系統(tǒng)中進(jìn)行波前測(cè)量.

4.結(jié) 論

本文根據(jù)波動(dòng)光學(xué)理論，推導(dǎo)了無調(diào)制TSPWFS的衍射理論，給出了測(cè)量信號(hào)與待測(cè)波前之間的關(guān)系式.理論分析顯示，無調(diào)制TSPWFS的衍射理論與傅科刀口衍射理論完全一致，具有小像差測(cè)量準(zhǔn)確，大像差需要閉環(huán)的特點(diǎn).針對(duì)這種特點(diǎn)，提出采用符合無調(diào)制TSPWFS衍射理論的Zernike模式解析解，按照實(shí)際系統(tǒng)的空間采樣率對(duì)該解析解進(jìn)行數(shù)值離散，然后將離散結(jié)果作為線性重構(gòu)矩陣進(jìn)行波前復(fù)原.

通過數(shù)值仿真確定光瞳中心距的最佳數(shù)值，對(duì)其物理機(jī)理進(jìn)行分析，數(shù)值仿真與理論分析結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中透鏡F數(shù)以及兩面錐底角的設(shè)計(jì)提供依據(jù).Zernike像差波前復(fù)原仿真結(jié)果以及一個(gè)d/r0=20大氣湍流相位屏的閉環(huán)校正結(jié)果顯示，無調(diào)制TSPWFS具有不需要現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量響應(yīng)矩陣，可以校正系統(tǒng)像差和閉環(huán)校正結(jié)果穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn).

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PACS:95.75.Qr，42.68.Wt，42.30.Kq

Diffraction theory analysis and numerical simulation of non-modulation two-sided pyramid wavefront sensor*

Wang Jian-Xin1)2)3)?Bai Fu-Zhong1)2)3)4)Ning Yu1)2)5)Huang Lin-Hai1)2)Jiang Wen-Han1)2)
1)(Institute of Optics and Electronics，Chinese Academy of Sciences，Chengdu 610209，China)
2)(Key Laboratory on Adaptive Optics of the Chinese Academy of Sciences，Chengdu 610209，China)
3)(Graduate University of the Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)
4)(College of Mechanical Engineering，Inner Mongolia University of Technology，Huhhot 010051，China)
5)(College of Photon-Electron Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)
(Received 2 July 2010;revised manuscript received 9 August 2010)

Two-sided pyramid wavefront sensor(TSPWFS)is a kind of wavefront sensor with high spatial resolution and light energy utilization.To deeply study the principle of wavefront reconstruction of this wavefront sensor using wave optics theory，this paper deduces the diffraction theory of non-modulation TSPWFS and gives the analytic solution of linear reconstruction matrix for wavefront reconstruction.With numerical simulation the optimal distance between adjacent pupil image centers was determined.Also，wavefront reconstruction and closed-loop correction of static aberrations by using nonmodulation TSPWFS as a wavefront sensor were simulated.The results show that non-modulation TSPWFS has three main advantages.i.e.，it does not require measuring the response matrix in real optical setup，and can correct the optical systemic aberration，and can achieve stable closed-loop correction result.Additionally，non-modulation TSPWFS can be applied to a real adaptive optics system to detect wavefront.

adaptive optics，two-sided pyramid wavefront sensor，wavefront reconstruction

*國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):61008038)資助的課題.

*Project supported by the Young Scientists Fund of the National Natural Science Fanndation of China(Grant No.61008038).